Центральные и вписанные углы сдам гиа

Окружность на ЕГЭ и ОГЭ — сложно. Все потому, что эта фигура не похожа на остальные: у неё нет углов и сторон, зато есть совсем другие элементы. В этой статье мы подробно поговорим про элементы окружности, углы, отрезки и прямые, которые с ней связаны, а также обсудим длину окружности и площадь круга. Ну и разберем основные задания ЕГЭ и ОГЭ, конечно же!

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ — разбор заданий и задач

Для начала давайте разберёмся, что же такое окружность. Окружность — это замкнутая линия, состоящая из множества точек, которые равноудалены от центра окружности. Основной элемент окружности — это радиус, он соединяет центр с любой точкой на окружности.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II1. Вспоминай формулы по каждой теме2. Решай новые задачи каждый день3. Вдумчиво разбирай решения

(lacktriangleright) Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. (lacktriangleright) Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

(lacktriangleright) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (или на диаметр), равен (90^circ). Задание
15

#3522Уровень задания: Равен ЕГЭНайдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Обозначим хорду за (AB). Рассмотрим ( riangle AOB), где (O) – центр окружности.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Так как (AB) равна радиусу окружности, то ( riangle AOB) – равносторонний. Следовательно, (angle
AOB=60^circ). Заметим, что (angle AOB) и (angle ACB) – центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, (angle ACB=0,5angle AOB=30^circ). Задание
16

#633Уровень задания: Равен ЕГЭХорда (CD) перпендикулярна диаметру (AB). Найдите разность градусных мер дуг (AC) и (AD) (тех, которые меньше полуокружности). Ответ дайте в градусах. Построим отрезки (CA), (AD) и (CB), точку пересечения (CD) и (AB) обозначим (E).

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание
17

#3104Уровень задания: Равен ЕГЭСторона (AB) тупоугольного треугольника (ABC) равна радиусу описанной около него окружности. Найдите тупой угол (C). Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание
18

#631Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание
19

#2160Уровень задания: Сложнее ЕГЭНа рисунке (O) – центр окружности, (AO=OB=BC=CA). Найдите угол (ADC). Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Четырехугольник, все стороны которого равны, является ромбом. Следовательно, (AOBC) – ромб. Значит, диагонали делят его углы пополам. Следовательно, (angle AOC=angle BOC=angle ACO=angle
BCO=x).

Центральные и вписанные углы сдам гиа

вся окружность равна (360^circ), то (x+x+2x+2x=360^circ quad
Rightarrow quad x=60^circ). Задание
20

#2158Уровень задания: Сложнее ЕГЭСекущая (AB) пересекает окружность и диаметр (CD) так, как показано на рисунке.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Центральные и вписанные углы сдам гиа

(BCparallel AD), то (angle CBT=angle DAT=30^circ). (angle
DCK), как вписанный и опирающийся на дугу (KD), равен ее половине, то есть (20^circ). (angle CKD) опирается на диаметр (CD), следовательно, равен половине от половины окружности, то есть (90^circ). Значит, (angle CDK=180^circ -90^circ
-20^circ=70^circ). (angle BTD) — внешний угол для треугольника (ATD), следовательно, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: (angle
BTD=angle TDA+angle TAD=30^circ+70^circ=100^circ). Задание
21

#2157Уровень задания: Сложнее ЕГЭНа окружности в следующем порядке отмечены четыре точки: (A), (B), (C) и (D), причем (AB=BC, CD=DA). Найдите угол (BAD). Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Центральные и вписанные углы окружности(lacktriangleright) Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. (lacktriangleright) Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

(lacktriangleright) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (или на диаметр), равен (90^circ). Задание
1

#2156Уровень задания: Равен ЕГЭТочки (A) и (B) делят окружность на две дуги, одна из которых равна (170^circ), а другая точкой (K) делится в отношении (11:8), считая от точки (A). Найдите (angle BAK). Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание
2

#2159Уровень задания: Равен ЕГЭХорды (KN) и (LM) взаимно перпендикулярны. Найдите угол (NLM), если угол (KML) равен (35^circ). Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Вписанные углы (KML) и (KNL) опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, значит, (angle KNL=35^circ). Тогда (angle NLM=180^circ-90^circ-35^circ=55^circ). Задание
3

#2155Уровень задания: Равен ЕГЭТочки (A) и (C) разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна (280^circ) и на которой отмечена точка (B). Найдите угол (BAC), если (AB=AC). Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание
4

#630Уровень задания: Равен ЕГЭТочки (A), (B), (C) и (D) лежат на окружности с центром в точке (O) (так, что (ABCD) – четырёхугольник). Длина дуги (AD) (которая меньше полуокружности) составляет (0,8) длины дуги (AB) (которая меньше полуокружности). Найдите, во сколько раз (angle AOB) больше, чем (angle DCA).

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Градусные меры дуг окружности относятся как их длины, тогда градусная мера дуги (AB) в (1: 0,8 = 1,25) раз больше, чем градусная мера дуги (AD). Градусной мерой дуги называется градусная мера центрального угла, который на неё опирается. Задание
5

#632Уровень задания: Равен ЕГЭ

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание
6

#3531Уровень задания: Равен ЕГЭЧетырехугольник (ABCD) вписан в окружность. Угол (ABD) равен (75^circ), угол (CAD) равен (35^circ). Найдите угол (ABC). Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание
7

#3523Уровень задания: Равен ЕГЭЧему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Теперь рассмотрим отрезки и прямые в окружности. Приготовьтесь, их будет много!

Есть хорда — это отрезок, который соединяет 2 любые точки на окружности. Если хорда пройдёт через центр окружности, то она превратится в диаметр. Кстати, если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что диаметр — это 2 радиуса!

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Хорда, диаметр, радиус и центр окружности на схеме

Теперь продлим хорду в обе стороны за пределы окружности, получим прямую, которая переСЕКает нашу окружность, отсюда и её название — секущая. Можно заметить, что секущая имеет 2 общих точки пересечения с окружностью. А ещё мы можем провести прямую так, чтобы она имела с окружностью только 1 точку пересечения, то есть касалась её, такая прямая будет называться касательная.

Подробнее со свойствами касательной и секущей можно ознакомиться на рисунке:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Свойства касательной и секущей в окружности на схеме

Рассмотрим на примерах заданий про окружность в ЕГЭ и ОГЭ:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Первый пример задания на касательную в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Второй пример задания на касательную в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ

Теперь я предлагаю ознакомиться с теоремами, которые появляются в комбинациях различных прямых и отрезков в окружности.

Теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Первая теорема про хорду и касательную звучит так:

Угол между касательной и хордой равен половине дуге, которую стягивает хорда.

Подробнее с выведением вы можете ознакомиться на рисунке:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Вот так выводится теорема про хорду и касательную

Однако хочу обратить ваше внимание, что если вы просто запомните формулировку, то многие задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ покажутся вам супер-простыми и будут решаться в 1 действие. Давайте в этом убедимся:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Пример решения задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ с использованием теоремы про хорду и касательную

Вот так просто и быстро в 1 действие мы справились с задачей. Правда здорово?!

А теперь давайте посмотрим на одну из моих самых любимых теорем. А любимая она, потому что без неё некоторые задачи кажутся практически нерешаемыми, а с ней их можно решить быстро и просто! Звучит она так:

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. Я советую запоминать именно словесную формулировку, так как чертежи и буквы на них могут быть разными, и есть риск всё перепутать.

Наглядно познакомиться с теоремой можно на рисунке ниже:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Теорема: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть

И конечно же давайте отработаем на практике!

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Если бы мы не знали ту теорему, которую только что прошли, то было бы много версий, как можно решить задачу. Кто-то начал бы строить радиус к касательной и рассматривать треугольники, а кто-то просто не стал бы решать, однако у нас есть формула: давайте её используем!

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Вот так просто решается это задание!

Если вы ещё не устали от теорем, то давайте познакомимся с ещё одной, которая связывает хорду с диаметром (радиусом).

Эта теорема интересна тем, что работает в обе стороны:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Вот так хорду можно связать с диаметром (радиусом)

Конечно же я не могу оставить вас без тренировки, поэтому посмотрим на следующую задачу:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание на нашу теорему и его решение

Пересекающиеся хорды

Последнее, с чем я вас познакомлю в контексте прямых и отрезков в окружности будет свойство пересекающихся хорд:

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Свойство пересекающихся хорд на рисунке

Для наглядности отрезки выделены разными цветами, так вам будет проще запомнить свойство.

А теперь отработаем его на практике:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание на свойство пересекающихся хорд и его решение

Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ

На самом деле это всё, что я хотела вам рассказать в данной статье. Давайте ещё раз повторим, что вы узнали.

  • Сначала мы познакомились с понятием окружность, потом посмотрели, какие бывают углы в окружности.
  • Затем увидели множество отрезков и прямых в окружности, записали их свойства, а также несколько теорем с ними.
  • В завершение мы поговорили про длину окружности, площадь круга, а также поиск площади и длины дуги сектора.

Самое ценное, что всю теорию мы закрепили на реальных заданиях из ОГЭ и ЕГЭ. Конечно, это далеко не всё, что вам может встретиться. Если вы хотите хорошо разбираться в окружности и в других темах, которые встречаются на экзаменах, записывайтесь на наши курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. На них мы подробно изучаем всю теорию, решаем много заданий, запоминаем удобные лайфхаки и решаем пробные экзамены, чтобы не стрессовать на реальном. Присоединяйтесь!

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

ㄥAOB = ◡ AB

Центральные и вписанные углы сдам гиа

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Центральные и вписанные углы сдам гиа

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Как решаем: окружность 360° −

AC −

CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½. ㄥACB = ½

AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол. На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½

AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Центральные и вписанные углы сдам гиа

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от

CB = 72° / 2 = 36°

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Длина окружности и площадь круга

Вот мы и подошли с вами к самому интересному, формулам длины окружности и площади круга, давайте их запишем:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Формулы длины окружности и площади круга

Эти формулы очень походы, в них есть двойка, число Pi и радиус, однако можно заметить, что у формулы длины окружности двойка слева, а у площади круга справа в степени.

Так как же их не путать? Очень просто: запомните, что вторая степень (или квадрат) должна быть у площади, значит двойка слева будет у длины.

Давайте это закрепим:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание на длину окружности и площадь круга в ЕГЭ и ОГЭ

Вот так просто и быстро мы закрепили сразу обе формулы.

Как находить площадь и длину дуги сектора круга

А теперь перейдём к самому интересному — нахождению площади и длины дуги сектора круга. Многие ученики думаю, что это сложно, но на самом деле это не так. Я предлагаю записать 2 коротких алгоритма, с помощью которых вы сможете легко найти площадь или длину дуги сектора.

Центральные и вписанные углы сдам гиа

2 алгоритма для поиска площади и длины дуги сектора

И конечно же давайте закрепим эти алгоритмы на практике:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задача на поиск площади сектора круга в ЕГЭ и ОГЭ

Теперь вы умеете решать задания на поиск площади сектора. Согласитесь, что с алгоритмом всё намного понятнее и проще?

Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ

У окружности есть 2 вида углов:

  • вписанные (их вершина лежит на окружности);
  • центральные (тут всё понятно из названия, у них вершина в центре окружности).

Расположение и свойства углов в окружности можно увидеть на схеме ниже:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Теория: углы в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Давайте отработаем это на практике:

Центральные и вписанные углы сдам гиа

Задание на углы окружности в ЕГЭ и ОГЭ

Решение

Можно заметить, что угол АСВ — вписанный и опирается на дугу АВ, соответственно, центральный угол АОD, опирающийся на ту же дугу будет в 2 раза больше, то есть 70 градусов. Теперь рассмотрим развёрнутый угол ВОD, он состоит из углов АОВ и АОD. Градусная мера развёрнутого угла 180 градусов, следовательно искомый угол АОD будет равен 180 – 70 = 110 градусов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector