У Дины в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Дина наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит менее 60 рублей.
У Дины в копилке лежит 7 + 5 + 6 + 2 = 20 монет на сумму 7 + 10 + 30 + 20 = 67 рублей. Менее 60 рублей останется, если достать из копилки десятирублёвую монету. Искомая вероятность равна 2 : 20 = 0,1.
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?
Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 3 и 5 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна Таким образом, искомая вероятность равна
Прочитайте фрагмент словарной статьи, в которой приводятся значения слова, выделенного в первом предложении текста. Определите значение, в котором это слово употреблено в тексте. Выпишите цифру, соответствующую этому значению в приведённом фрагменте словарной статьи.
1) То, что образовалось как результат роста. Образование на коже. Жировое образование.
2) Получение систематизированных знаний и навыков, обучение, просвещение. Право на образование. Народное образование.
3) Совокупность знаний, полученных в результате обучения. Дать образование кому-нибудь. Получить образование Начальное, среднее, высшее, специальное образование.
4) Отрасль экономики, хозяйства страны, объединяющая организации, учреждения, предприятия, занятые обучением, воспитанием, передачей знаний, выпуском учебной литературы, подготовкой учительских кадров. Министерство образования.
5) То же, что происхождение. Образование семьи. Образование жизни на планете.
В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Женщин среди взрослого населения 100 % − 48 % = 52 %, среди них 52 % · 0,15 = 7,8% пенсионерок. Всего в городе 12,6 % пенсионеров, поэтому мужчин-пенсионеров 12,6 % − 7,8 % = 4,8 % от взрослого населения города. Поскольку всего среди взрослого населения города 48 % мужчин и среди них 4,8 % пенсионеров, пенсионером является каждый десятый: Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный мужчина окажется пенсионером равна 0,1.
Приведём другое решение.
Пусть х — доля мужчин-пенсионеров среди всех мужчин. Построим дерево вероятностей (см. рис.
Пенсионеры составляют 0,126 взрослого населения города, откуда получаем:
Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.
Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна
Аналогично, вероятность события C:
Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре:
Теперь найдём искомую вероятность:
Ответ: 0,125.
Приведем другое решение.
В первом туре турнира участвуют 16 игроков, разбить их на произвольные пары можно способами. Пусть n — число всех возможных вариантов прохождения игр турнира. В первом туре встречаются 8 пар игроков, поэтому во всех возможных n вариантах первого тура может быть 8n пар. Все эти пары равновозможны, поэтому вероятность того, что одну из них составляют два выбранных игрока равна то есть
Если выбранные игроки не встретились в первом туре, они могут встретиться во втором. В нем примут участие 4 команды, вероятность встречи игроков равна или
В третьем туре примут участие 4 человека, из них можно составить две пары, в четвертой игре участвуют 2 человека, пара только одна; искомые вероятности суть и соответственно.
Перечисленные события несовместны, поэтому искомая вероятность равна
Решим задачу в общем виде.
Пусть в турнире по олимпийской системе (игра навылет, плей-офф) участвуют n игроков (n — степень двойки, всего в турнире проводится n −1 игра). Разбить n игроков на произвольные пары можно способами. Для каждого возможного турнира построим дерево игр, в вершинах которого укажем имена двух встретившихся в соответствующей игре игроков. Любая пара игроков в турнире может сыграть друг с другом не больше одного раза. Выберем один из турниров, рассмотрим событие, состоящее в том, что двое наперед выбранных игроков встретились в первой игре первого тура. Вероятность этого события равна 1/k, то есть Выбираем вторую игру первого тура, третью и так далее до последней n −1 -ой игры последнего тура. Эти события равновероятны и несовместны, а потому искомая вероятность их суммы равна
Поскольку команда A победила в первых трёх играх, она является либо сильнейшей среди всех команд, либо второй по силе, либо третьей по силе. Рассмотрим три случая.
Первый случай — команда A — сильнейшая. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxxA, где x — некоторая команда. Тогда есть 1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку команда A является сильнейшей, вероятность выигрыша в четвёртом раунде равна 1.
Второй случай — команда A является второй по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxAx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A может располагаться одна из двух ещё не проигравших ей команд, значит, есть 2 · 1 · 4 · 3 · 2 · 1 = 48 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, одна из которых слабее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0,5.
Третий случай — команда A является третьей по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxAxx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A могут располагаться две ещё не проигравшие ей команды, а слева — три проигравших ей команды, значит, есть 2 · 1 · 1 · 3 · 2 · 1 = 12 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, обе из которых сильнее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0.
Таким образом, поскольку известно, что некоторые три команды слабее команды A, всего имеется 120 + 48 + 12 = 180 способов расположить шесть команд по силе. Так как три вышеперечисленных случая — несовместные события, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна
Приведем еще одно решение.
Пронумеруем команды по возрастанию их силы, так что 1 — самая слабая команда, а 6 — самая сильная. Заметим, что если команда играет с командой с большим номером, то она проигрывает, а если с меньшим номером, то выигрывает. Команда A победила в трех первых играх, следовательно, она имеет номер 4, 5 или 6. При этом команды, с которыми играла команда A в первых трех играх, имеют меньшие номера. Следовательно, возможны всего 15 вариантов наборов номеров команд, принимавших участие в первых четырех играх, и каждый из этих вариантов может быть реализован с вероятностью (в наборах команда A записана последней). Сведем варианты в таблицу.
Первые три игрыКоманда, с которой играет A в четвертой игреВероятность выигрыша A в четвертой игре1234123512361245 124612561345134613561456234523462356245634565 или 64 или 64 или 53 или 63 или 53 или 42 или 62 или 52 или 42 или 31 или 61 или 51 или 41 или 31 или 200,510,5110,51110,51111
Таким образом, вероятность выиграть в четвертой игре равна
Примечание ко второму решению.
Можно не перебирать в явном виде все варианты, а только подсчитывать их количество. В первых трех играх, кроме команды A, принимают участие три команды, их номера надо выбрать среди номеров команд, меньших, чем у команды A.
Если команда A имеет номер 4, то в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2 и 3, и есть лишь один набор номеров команд: При этом в четвертой игре команда A заведомо проигрывает.
Если команда A имеет номер 5, в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2, 3 и 4, и есть четыре набора номеров команд: При этом в четвертой игре команда A выигрывает с вероятностью 0,5.
Если команда A имеет номер 6, в первых трех играх кроме нее могли участвовать только команды с номерами 1, 2, 3, 4 и 5, и есть десять наборов номеров команд: При этом в четвертой игре команда A заведомо выигрывает.
Таким образом, вероятность выигрыша команды A в четвертой игре равна
Приведем решение Дмитрия Казанцева.
Команда А уже обыграла три команды, поэтому, если расставить их по силе в порядке убывания, получится
где О — обыгранная команда. Следующий соперник может располагаться на одном из пяти равновероятных мест:
Из этих пяти положений четыре находятся справа от А, и в этих случаях команда А победит, а одно слева, при этом команда А проиграет. Значит, вероятность победы команды А в четвёртом раунде равна
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Найдите значение выражения
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции g(x) = 6f(x) − 3x в точке x0.
Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите b.
В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Найдите точку минимума функции
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.