Версия для печати и копирования в MS Word
Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 р. на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если проценты начисляются ежегодно на текущую сумму долга и весь кредит с процентами возвращается в банк после срока?
Пусть S0 = 50 000 руб. , r = 0,2. Тогда сумма S (в рублях), которую необходимо вернуть, составляет
Ответ: 124 416.
Сообщить об ошибке · Помощь
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 35% меди, второй — 5% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 80 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Пусть масса первого сплава m кг, масса второго — кг, а масса третьего сплава — кг. Первый сплав содержит 35% меди, второй — 5% меди, третий сплав — 30% меди. Тогда:
Таким образом, масса третьего сплава равна 120 кг.
Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Пусть масса первого сплава m кг, а масса второго — кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах и соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. Получаем уравнение:
Следовательно, масса второго сплава 135 кг. Разность масс — 45 кг.
Проценты – это одна из сложнейших тем математики и химии, физики и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов, и умение производить процентные расчёты в других предметных областях, необходимы для каждого человека.
Прикладное значение темы “Проценты” велико и затрагивает финансовую, экономическую и другие сферы нашей жизни.
Умение выполнять процентные вычисления и расчёты необходимо всем, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни.
Сделана подборка задач по математике из ОГЭ и ЕГЭ для подготовки учащихся к сдаче экзамена по математике.
На биржевых торгах в понедельник вечером цена акции банка «Городской» повысилась на некоторое количество процентов, а во вторник произошло снижение стоимости акции на то же число процентов. В результате во вторник вечером цена акции составила 99% от ее первоначальной цены в понедельник утром. На сколько процентов менялась котировка акции в понедельник и во вторник?
Обозначим за q процент изменения цены. Повышение цены акции в понедельник составит b2 = b1(1 + q). Понижение цены акции во вторник составит b3 = b2(1 − q), кроме того из условия известно, что после понижения цены стоимость акции составила b3 = 0,99 · b1. Составим уравнение и найдем процент котировки цены.
Вкладчик разместил в банке 32 тысячи рублей. Несколько лет он получал то 5%, то 10% годовых, а за последний год получил 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равным 53 361 рублю. Сколько лет пролежал вклад?
Пусть x лет банк начислял 5% годовых, а y лет банк начислял 10% годовых. Тогда
Значит, и и всего вклад пролежал в банке 5 лет.
Ответ: 5 лет.
Более сложные варианты этой задачи см. в номерах 620778, 508635, 532959 и 506948.
Критерии оценивания выполнения заданияБаллыОбоснованно получен верный ответ2Верно построена математическая модель1Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0Максимальный балл2
В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Женщин среди взрослого населения 100 % − 48 % = 52 %, среди них 52 % · 0,15 = 7,8% пенсионерок. Всего в городе 12,6 % пенсионеров, поэтому мужчин-пенсионеров 12,6 % − 7,8 % = 4,8 % от взрослого населения города. Поскольку всего среди взрослого населения города 48 % мужчин и среди них 4,8 % пенсионеров, пенсионером является каждый десятый: Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный мужчина окажется пенсионером равна 0,1.
Приведём другое решение.
Пусть х — доля мужчин-пенсионеров среди всех мужчин. Построим дерево вероятностей (см. рис.
Пенсионеры составляют 0,126 взрослого населения города, откуда получаем:
Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Пусть сумма кредита равна По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно:
К концу каждого месяца к сумме долга добавляется Пусть Тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
Всего следует выплатить:
Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:
Откуда получаем, что
15 декабря 2021 года Антон планирует взять кредит в размере 700 тысяч рублей на покупку машины. Условия его возврата, таковы:
— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— с 10 числа по 14 число каждого месяца, необходимо выплатить одним платежом часть долга.
На какое минимальное количество месяцев Антон может взять кредит, чтобы каждая выплата не превышала 90 тысяч рублей?
Минимальное число месяцев соответствует максимальным ежемесячным выплатам. Значит, нужно чтобы все выплаты, кроме возможно последней, составляли 90 тыс. руб.
Срок кредита не может составлять менее 8 месяцев, так как за семь месяцев сумма выплат составит не более 630 тыс. руб. , что меньше суммы кредита.
В первый месяц начисленные проценты составят тыс. руб. , а во второй месяц — не менее тыс. руб. Значит, срок кредита не может составлять 8 месяцев, так как за восемь месяцев сумма выплат составит не более 720 тыс. руб. , что меньше суммы кредита и суммы процентов за первые два месяца.
Приведем пример расчёта кредита и выплат на 9 месяцев.
НомермесяцаДолгс начисленными процентамитыс. руб. Выплататыс. руб. Долгтыс. руб. 7001714906242624 · 1,02 = 636,4889,485473547 · 1,02 = 557,9489,944684468 · 1,02 = 477,3689,363885388 · 1,02 = 395,7689,763066306 · 1,02 = 312,1289,122237223 · 1,02 = 227,4689,461388138 · 1,02 = 140,7689,7651951 · 1,02 = 52,0252,020
Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6).
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой.
К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других символов.
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.
На сколько процентов площадь, которую занимает баня, меньше площади, которую занимает гараж?
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Нагреватель (котёл)Прочее оборудование и монтажСредн. расход газа/ средн. потребл. мощностьСтоимость газа/ электроэнергииГазовое отопление20 000 руб. 15 370 руб. 1,6 куб. м/ч4,9 руб. /куб. мЭлектр. отопление15 000 руб. 14 000 руб. 4,9 кВт4,2 руб. /( кВтч )
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Площадь всего участка является площадью прямоугольника со сторонами 20 м и 30 м. Следовательно, его площадь равна: Аналогично найдем площади строений. Гаража: сарая: бани: и жилого дома как сумму площадей двух прямоугольников: Всего постройки занимают От площади всего участка их общая площадь составляет
Ответ: 29.
Задачи на проценты в ОГЭ и ЕГЭ
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
1Частное общеобразовательное учреждение «Школа-интернат № 1 среднего общего образования открытого акционерного общества «Российские железные дороги»
Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF
Проценты встречаются в нашей жизни ежедневно: мы сталкиваемся с повышением зарплаты, ростом уровня инфляции, цен на нефть, на коммунальные услуги. Проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике, здравоохранении и образовании. Планирование семейного бюджета, крупные покупки (техника, недвижимость), связанные с кредитованием – всё это стало обычным явлением. Неумение решать задачи на проценты может обернуться для людей финансовыми потерями. Если человек не вносит своевременно плату за коммунальные услуги, или не платит вовремя кредит или налоги, на него налагается штраф – “пеня”. Он рассчитывается согласно законодательству Российской Федерации, как определенный процент от суммы коммунальных услуг за каждый просроченный день.
В курсе школьной математики проценты изучаются только в 4 четверти 5 класса, а в заданиях Основного Государственного Экзамена и Единого Государственного Экзамена встречаются достаточно часто. Например, с 2016 года в заданиях второй части ЕГЭ появилась задача № 17 с экономическим содержанием, с которой, согласно статистико-аналитическому отчёту о результатах ЕГЭ в 2017 году справились 5,3% участников.
Поскольку в будущем я планирую поступить в университет, меня заинтересовали задачи на проценты, я сделал подборку задач из Открытого банка заданий ОГЭ и ЕГЭ и постарался разобраться с основными способами решения задач на проценты.
изучение литературы по данной теме в печатном и электронном виде;
изучение истории возникновения процентов, понятия процента, процентного отношения, схем решения задач с процентами;
отработка полученных знаний в ходе решения задач из Открытого банка заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике;
ознакомление обучающихся 6-11 классов с применением процентов ходе решения задач из ОГЭ и ЕГЭ.
Объект исследования:процентные отношения
Предмет исследования – практические задачи на проценты из Открытого банка заданий ЕГЭ и ОГЭ по математике.
выполнение практических заданий;
сравнение и обобщение полученных результатов.
Практическая значимость: использование материала при подготовке к олимпиадам и государственной итоговой аттестации.
Новизна проведённой исследовательской работы: изучение методов решения задач с использованием процентного отношения, встречающихся среди заданий № 17 Единого государственного экзамена, как выходящих за рамки программы по математике 5 класса
Выдвинута гипотеза: формула сложных процентов помогает решить задачи с экономическим содержанием.
История возникновения понятия «процент»
Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще у жителей древнего Вавилона. Но самое широкое распространение проценты получили в Древнем Риме.
Римляне называли процентами деньги, которые платил должник кредитору за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/). Так возник современный, привычный для нас символ для обозначения процента.
Таким образом, один процент от величины равен одной сотой данной величины.
В жизни многие величины связаны процентным отношением – один процент от центнера равен одному килограмму, один процент от метра – одному сантиметру, один процент от гектара – одному ару.
Основные типы задач на проценты
Задачи на проценты можно разделить на три основных группы:
Нахождение процентов от числа:
Чтобы найти проценты от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Саша, составляет 55кг. Вес Саши равен 110% среднего веса. Сколько килограммов весит Саша?
55 110 : 100 = 55 1,1 = 60,5(кг) Ответ 60,5 кг
Очень удобно превращать проценты в десятичную или обыкновенную дробь.
Проценты
Десятичная дробь
Обыкновенная дробь
10%
0,1
20%
0,2
25%
0,25
50%
0,5
75%
0,75
Например, для нахождения 50% от числа достаточно разделить его на 2 и получить нужный результат. Для нахождения 20% от числа достаточно разделить его на 5. Эти приёмы очень упрощают вычисления и позволяют избежать ошибок.
Предыдущий пример можно решить так: 55+ 0,1 55 = 60,5(кг)
2 тип задач на проценты: нахождение числа по его процентам.
Чтобы найти число по его процентам, нужно проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.
В ходе распродажи после снижения цены на 20 % товар стал стоить 600 рублей. Какова была цена товара до распродажи?
Если взять исходную цену за 100%,то новая цена составит 100% – 20% = 80 %.
600 : 0,8 = 750(рублей) Ответ: 750 р.
3 тип задач на проценты: нахождение процентного отношения чисел.
Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Пакет сока стоит в магазине 40 рублей, а пенсионер заплатил за сок 34 рубля. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?
Решение: Скидка составила 6 рублей. Найдем процентное отношение: 6 : 0,4 = 15%
Ответ :15 %
Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах
Мною было проведено анкетирование среди обучающихся 7,10 и 11 классов. Предлагались 3 задачи на проценты согласно типам плюс для 10-11 кл вопрос об умении решать задачу № 17. Итоги анкетирования приводятся в таблице.
Класс
Количество опрошенных
1 тип
2 тип
3 тип
№17(только для 10-11 кл)
7
18
14 (78%)
12 (67%)
11 (61%)
–
10
12
12 (100%)
11 (92%)
10 (83%)
3 (25%)
11
11
11 (100%)
9 (82%)
9 (82%)
2 (18,1%)
На основании этого можно сделать вывод, что данные по старшей школе соответствуют данным статистико-аналитического отчёта о результатах ЕГЭ за 2017 год, согласно которому задачу на проценты 1 типа верно решили среди сдающих базовый уровень 93,5% участников, профильный уровень – 96,2 % участников. Малое количество умеющих решать задание № 17 в 10-11 классах обусловлено тем, что в 11 классе 45% опрошенных сдают базовый уровень, в 10 классе 50 % опрошенных планируют сдавать базовый уровень.
Несмотря на то, что решение задач, связанных с процентами, достаточно просто, ошибки возникают чаще всего при подсчёте процентов от разных величин.
Очень часто встречаются задачи на проценты, связанные с банковским делом и кредитами.
Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли. Формула сложного процента – это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.
s = (1+0,01p)n – начальная сумма, р – процентная ставка, n – время
По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого года начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт на 100000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течение двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение: Эту задачу можно решить двумя способами:
1) 1000000▪0,12=12000 (руб) – доход за 1 год
2) 100000+12000=112000(руб) – будет на счету по окончании 1 года.
3) 112000▪ 0,12=13440 (руб) – доход за 2 год.
4) 112000 + 13440 = 125440 (руб. )- на счету по окончании 2 года
5) 125440 – 100000=25440(руб).
ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 25440 руб.
2 способ :воспользуемся формулой сложных процентов: Пусть: s = 100000 начальный вклад p= 12% годовых n = 2 года, получим:
100000(1+ 0,12)2 = 1000001,12 2 = 125440 руб.
Этим узнали конечную сумму на счету после двух лет. Сумма дохода за 2 года составит
125440- 100000=25440 руб.
ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 25440 руб.
Делаем вывод, что с использованием формулы сложных процентов данная задача решается быстрее.
Молоко дает 22 процента сливок, сливки дают 25 процентов масла. Сколько масла получится из 300 кг молока?
Решение: эту задачу легче решить, переведя проценты в десятичные дроби
300 0,22 0,25 = 16,5(кг)
Ответ: 16,5 кг.
7 одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов 10 этих же рубашек дороже куртки?
Решение: Взяв цену куртки за 100%,мы найдем цену 7 рубашек: 100 – 2= 98%
Одна рубашка составляет по 98 : 7 = 14% цены куртки
10 рубашек стоят 140 % от цены куртки, следовательно, 140–100=40% Ответ: на 40%.
Сумма вклада увеличивалась первого числа каждого месяца на 2% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца. Аналогично, цена на кирпич возрастала на 36% ежемесячно. Отсрочив покупку кирпича,1 мая в банк под проценты положили некоторую сумму. На сколько процентов меньше в этом случае можно купить кирпича на 1 июля того же года на всю сумму, полученную из банка вместе с процентами?
Цена 1 кирпича, у. Сумма денег, у. Количество кирпичей, шт. x
y
1. 06
1. 36x
1. 02y
1. 361. 36x
1. 021. 02y
Учитывая, что 1,02² =1,0404 1,36² = 1,8496 ,найдем отношение количества кирпичей, которые можно было купить 1 июля, к количеству кирпичей, которые можно было купить
1 мая: = 0,5625. Это составляет 56,25%. Следовательно, к указанной дате можно купить на 100% –56,25 % = 43,75% меньше кирпича, двумя месяцами раньше.
Ответ: на 43,75%
Задача 4 (математика, № 11, профильный уровень)Собрали 4 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 90%. После того, как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
Решение. Решение подобных задач основано на условном разделении объекта на воду и так называемое «сухое вещество», масса которого при любых условиях не меняется.
Масса, в кг
Содержание, в %
воды
Сухого вещества
Свежие цветы
4
90
100 — 90 = 10
Высушенныецветы
х
20
100 — 20 = 80
1) 0,1 · 4 = 0,4 (кг) — масса сухого вещества в 4 кг;
2) Составим пропорцию
0,4 кг — 80%
Отсюда, х = 0,4 · 100 : 80 = 0,5 (кг). Ответ: 0,5 кг
изучив литературу по теме, я ознакомился с понятием процента как частного вида десятичных дробей, научился решать задачи на проценты, в том числе и с формулой сложных процентов
подтверждена необходимость уметь решать задачи с процентами в повседневной жизни, а также для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ.
проведено анкетирование, составлена таблица по результатам опроса.
в ходе оформления работы я научился работать с математическими формулами в текстовом редакторе Word.
Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчёты и поэтому очень распространены.
В ходе своего исследования я убедился в том, что проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчёты. При решении более сложных задач на проценты вместо того, чтобы применять стандартные способы, целесообразней воспользоваться формулой сложных процентов, что подтверждает выдвинутую мной гипотезу.
В будущем я планирую продолжить изучение задач, связанных с процентами
Энциклопедия «Аванта плюс», том 11 «Математика» (Главный редактор М. Аксёнова, Москва, 2001)
Виленкин Н. Математика 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций /Н. Виленкин, В. Жохов, А. Чесноков, С. Шварцбурд. -34 издание. , Просвещение , 2017/
Ященко И. «ЕГЭ-2018. Типовые экзаменационные варианты». , «Экзамен», 2017)
Ященко И. « 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1. – «Экзамен», МЦНМО,2014.
Типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ
1МБОУ “ООШ № 12” Асбестовского городского округа
В настоящее время людям часто приходится встречаться с понятием «процент». Современный человек должен уметь вычислять скидку на интересующий его товар; решать задачи на смеси, сплавы, растворы, в которых без процентов не обойтись. Например, нужно знать, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать клей для обоев, как приготовить раствор для заливки фундамента дома, как разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу. На этикетках продуктов питания часто указывается массовая доля вещества, например, жира, выраженная в процентах. Задачи на проценты встречаются на ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней. Это, как правило, практико-ориентированные задания. Поскольку мне тоже предстоит сдавать экзамен по математике, я решил рассмотреть задачи на проценты и способы их решения в задачах ОГЭ и ЕГЭ. Так как будущую профессию я хочу связать с экономической специальностью, руководствуясь примером моей мамы, которая работает в банке, я быстро определился с практической частью моего проекта. Я провел интервью с сотрудником банка, которому задал интересующие меня вопросы.
Цель проекта: исследовать типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.
Изучить историю возникновения процентов.
Проанализировать информационные источники по теме: «Типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ».
Разобрать решение задач на проценты из ОГЭ и ЕГЭ.
Провести интервьюирование сотрудника и клиентов банка ПАО КБ «УБРиР» города Асбеста с целью понять, как начисляются проценты на кредиты и вклады.
Разработать анкету и провести анкетирование среди обучающихся основной школы №12, обработать результаты.
Объект исследования: задачи на проценты.
Предмет исследования: типы задач на проценты и способы их решения.
Гипотеза: опираясь на знания по математике, полученные в 5-6 классах по теме «Проценты», можно решить любую задачу на проценты из банка задач ОГЭ и ЕГЭ.
Изучить литературу по данной теме.
Интервьюирование сотрудника и клиентов банка ПАО КБ «УБРиР» города Асбеста.
Анкетирование и обработка его результатов.
Истрия возникновения процентов
Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римский сенат даже должен был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.
Впервые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе – особой записи десятичных дробей.
Знак “%” происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошёл в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.
Иногда применяют и более мелкие доли целого – тысячные, т. десятые части процента. Их называют “промилле” (от латинского pro mille – “с тысячи”), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало ее дальнейшему развитию.
Таким образом, появились проценты далеко в прошлом и в настоящее время понятие «процент» очень активно используется в банковской системе, в торговле (скидка на товар, различные акции в магазинах и пр. ), экономике (налогообложении и пр. ), статистике и др. Также понятие процент встречается на ОГЭ по математике.
В настоящие время задачи на проценты в заданиях ОГЭ встречаются под номерами 1-5 и 22, причём в одной задаче сочетаются сразу несколько типов задач на проценты. Также задачи на проценты встречаются в заданиях ЕГЭ базового и профильного уровней. Рассмотрим некоторые из них.
Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.
Способ решения: что бы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов. 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.
Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).
Способ решения: Что бы найти число от данного числа процентов, нужно количество процентов записать десятичной дробью, а затем умножить число равное количеству процентов на проценты, записанные десятичной дробью.
Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 23% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.
Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).
Способ решения: Число процент, которого нужно узнать, надо сначала разделить на второе число, затем умножить на сто.
Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, процент которого требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.
Тип 4: Увеличиваем число на процент.
Способ решения: нужно к данному числу прибавить это же число делённое на сто и умноженное на количество процентов, на которое должно увеличиться число.
Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.
Тип 5: Уменьшаем число на процент.
Способ решения: нужно из данного числа вычесть это же число, делённое на сто и умноженное на количество процентов, на которое должно уменьшиться число.
Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в этом году выпускников на 25% меньше. Сколько выпускников в этом году?
Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.
Тип 6: Задачи на простые проценты.
Способ решения: формула для расчета простых процентов:
A-получаемая сумма.
Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку:
S = 5000 · (1 + 12 · 0,15) = 14000.
Тип 7: Задачи на сложные проценты.
Способ решения: формула для начисления сложного процента:
R- СТАВКА ПРОЦЕНТА;
T- КОЛИЧЕСТВО ПЕРИОДОВ;
S- ПОЛУЧАЕМАЯ СУММА.
Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% – процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 – искомая сумма.
Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще.
Таким образом, мною выделено семь типов задач на проценты, подробно описан способ их решения и также приведены конкретные примеры.
Практическая часть.
Мною в теоретической части проекта было выделено семь типов задач на проценты, теперь подробнее рассмотрим решение задач из ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней.
Задача из ЕГЭ по математике базового уровня.
В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. Сколько взрослых жителей работает?
Решение: Численность детей в городе N составляет 200 000 0,15 – это 30 000. Численность взрослого населения 200 000 − 30 000 = 170 000 человек. Из них не работает 170 000*0,45 = 76 500 человек. Значит, работает 170 000 − 76 500 = 93 500 человек.
Ответ: 93 500.
Тип 2: Находим число по его проценту.
В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?
Решение: Разделим 124 на 0,25:
Значит, в школе учится 496 учеников.
Задача из ОГЭ по математике.
Задача№3 На сколько процентов сократилась посевная площадь после того, как земледелец устроил терассы. Ответ округлите до десятых.
По теореме Пифагора найдём сторону AB
Найдём посевную площадь
Найдём посевную площадь после устройства терасс
Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?
Решение: После повышения цены ручка станет стоить 40 + 0,1·40 = 44 рубля. Разделим 900 на 44:
Значит, можно будет купить 20 ручек.
Ответ: 20.
Задание из ОГЭ по математике.
Вариант №6. Задача №4. Доставка печи из магазина до участка стоит 500 рублей. При покупке печи ценой свыше 20000 рублей магазин делают 3% скидку на товар и 35% процентов скидку на доставку. Сколько будет стоить доставка печи «кентавр» вместе с доставкой на этих условиях?
Найдём сколько составляет 3% от 25000.
Найдём сколько составляет 35% от 500.
В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10 000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.
Рассмотрим все варианты.
В банке A после снятия суммы в уплату за ведение счета на счету останется 10 000 − 40 = 9 960 руб. К концу года на счету окажется 9 960 + 0,02 · 9 960 = 10 159,2 руб.
В банке Б в качестве платы за ведение счета за год снимается со счета 12 · 8 = 96 руб. Таким образом, проценты начисляются на сумму 10 000 − 96 = 9 904 руб. К концу года на счету окажется 9 904 + 0,035 · 9 904 = 10 250,64 руб.
В банке В плата за ведение счета не взимается, таким образом, проценты будут начисляться на первоначальную сумму. К концу года на счету окажется 10 000 + 0,015 · 10 000 = 10 150 руб.
Ответ: 10 250,64.
Задача из сборника: Математика. Профильный уровень 50 вариантов, под ред. Ященко, М. :Экзамен, 2018
31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5460000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение:Sо=So*a=So(1+a)=5460000(1+0,2)=5460000*1,2, где So-сумма кредита, a-процентная ставка, x-определенная сумма ежегодного платежа.
Х==2592000 рублей.
Ответ: 2592000 рублей-сумма ежегодного платежа.
Таким образом, мною было выделено семь типов задач на проценты, рассмотрены задачи с сайтов решу ОГЭ и решу ЕГЭ, сборников под ред. Ященко Математика: ОГЭ, ЕГЭ базовый и профильный уровень.
Опрос клиентов и сотрудника банка ПАО КБ «УБРиР»
В ходе интервью мы выяснили, что в банке предоставляются два вида
платежей по кредитам:
Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.
В ходе интервью сотрудник банка ПАО КБ «УБРиР» представил мне график погашения кредита дифференцированными платежами, который представлен ниже.
Параметры сделки:
Сумма кредита – 1 200 000 руб. Срок кредита – 12 месяцев
Процентная ставка – 13 %
График погашения кредита дифференцированными платежами
Месяц
Ежемесячный платеж (руб. )
Погашение процентов (руб. )
Погашение основного долга (руб. )
Остаток основного долга (руб. )
1
113 000,00
13000
100 000
1 200 000
2
111 916,67
11917
100 000
1 100 000
3
110 833,33
10833
100 000
1 000 000
4
109 750,00
9750
100 000
900 000
5
108 666,67
8667
100 000
800 000
6
107 583,33
7583
100 000
700 000
7
106 500,00
6500
100 000
600 000
8
105 416,67
5417
100 000
500 000
9
104 333,33
4333
100 000
400 000
10
103 250,00
3250
100 000
300 000
11
102 166,67
2167
100 000
200 000
12
101 083,33
1083
100 000
100 000
ИТОГО:
1 284 500,00
84500,00
1 200 000
Для расчёта доли процентов в дифференцированных платежах использовалась следующая формула:
In – сумма, которая идёт на погашение процентов по кредиту в данный расчётный период;
Sn – остаток задолженности по кредиту;
p – годовая процентная ставка.
Действительно, рассчитаем долю процентов в дифференцированных платежах за первый платёж:.
Расчёт остатка ссудной задолженности:
Sn = 1 200 000 – 100 000 = 1 100 000 руб.
Расчёт начисленных процентов:
I n = 1 100 000 * 13 % / 12 = 11 917 руб.
В процессе интервью сотрудник банка ПАО КБ «УБРиР» также предоставил информацию, как вычисляется доходность по вкладу. На сайте банка представлены виды вкладов (Приложение 2).
Используя полученные данные, получены следующие расчёты:
Параметры вклада следующие:
Сумма вклада – 200 000 руб.
Срок – 210 дней
Процентная ставка – 6 % годовых.
Для расчета размера дохода по вкладу используем формулу простых процентов.
Первоначальную сумму вклада нужно умножить на годовую процентную ставку и разделить на число дней в текущем году.
Таким образом я узнал, сколько процентов будет начисляться в день.
Затем полученную сумму необходимо умножить на срок вклада.
Например, вы размещаете на вклад 200 000 руб.
Находим, сколько процентов будет начислено в день:
200 000 * 6% / 365 = 32 ,88 руб.
Полученную сумму умножаем на срок вклада – 210 дней.
32,88 * 210 = 6905 руб.
Чтобы узнать, какую сумму выдаст банк при снятии вкладанеобходимо прибавить к ним первоначальную сумму вклада.
В нашем случае – 200 000 руб.
200 000 + 6905 = 206 905 руб.
Таким образом, в ходе интервью с сотрудниками и клиентами банка ПАО КБ «УБРиР» я получил подробную информацию о том, как вычисляются доходность по вкладу и задолженность по кредиту.
Мною была разработана анкета для обучающихся шестых, седьмых и девятых классов:
Умеешь ли ты решать задачи на процент?
Решал ли ты задачи на процент на сайте Решу ОГЭ?
Где по-твоему могут встретиться проценты в жизни?
Планируешь ли ты в будущем взять кредит или оформить вклад?
Сможешь ли ты рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу?
Проанализировав результаты анкетирования, получил следующую информацию:
Опрошены обучающиеся шестого, седьмого, девятого классов основной школы № 12. Всего участвовало в анкетировании 72 человека. Результаты представлены ниже:
6 класс
Да
Нет
1 вопрос
86%
14%
2 вопрос
28%
72%
3 вопрос
магазин 72% банк-18% незнаю-10%
4 вопрос
21%
79%
5 вопрос
22%
78%
7 класс
Да
Нет
1 вопрос
85%
15%
2 вопрос
50%
50%
3 вопрос
магазин 57% банк-43%
4 вопрос
21%
79%
5 вопрос
50%
50%
9 класс
Да
Нет
1 вопрос
85%
15%
2 вопрос
98%
2%
3 вопрос
магазин 62% банк-38%
4 вопрос
76%
24%
5 вопрос
86%
14%
Для наглядности результатов изобразим результаты в виде диаграмм.
Умеешь ли ты решать задачи на проценты?
Решал ли ты задачи на проценты на сайте «Решу ОГЭ»?
Таким образом, можно сделать вывод, что большинство школьников умеют решать задачи на процент и смогут рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу. Задачи на процент лучше умеют решать ученики из 9 класса, так как скоро им предстоит сдавать ОГЭ, половина учеников седьмого класса начинает готовиться к ОГЭ, а в шестом классе задачи данного типа интересуют меньшие количество обучающихся.
В современной жизни очень важно уметь правильно выполнять операции с процентами. Для того чтобы понять, как решаются задачи на проценты, а так же как рассчитать доходность по вкладу или переплату по кредиту, я решил исследовать эту тему.
Работая над проектом, я научился находить информацию, обрабатывать ее и выделять в ней главное. Выяснил, что появились проценты давно, и в настоящее время понятие «процент» очень активно используется в банковской системе, в торговле (скидка на товар, различные акции в магазинах и пр. ), экономике (налогообложении и пр. ), статистике и др. Также задачи на проценты встречается на ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней по математике.
Сегодня трудно найти экономически развитую страну, где отсутствуют кредитные продукты и вклады. В настоящее время существует различные виды кредитов и вкладов. В своей работе я подробно рассмотрел кредит с дифференцированным платежом, а также изучил расчет доходности по вкладу, используя метод простых процентов. В ходе работы выделил наиболее выгодный способ для погашения кредита – с помощью дифференцированного платежа.
Проведя анкетирование среди обучающихся шестых, седьмых, девятых классов основной школы № 12, я выяснил, что не все школьники умеют решать задачи на проценты и смогут рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу. Задачи на проценты лучше умеют решать только ученики из 9 класса, так как скоро им предстоит сдавать ОГЭ, половина учеников седьмого класса начинает готовиться к ОГЭ, а в шестом классе задачи данного типа интересуют меньшее количество людей.
Я рассмотрел 7 прототипов задач из ЕГЭ базового и профильного уровня. Все задачи подробно разобраны и дается полное объяснение их решения. При разборе заданий я использовал знания по математике 5 и 6 класса. Но для меня пока сложными являются задания № 17 ЕГЭ по «Финансовой математике». Я уверен, что работа над проектом, полученные знания и умения пригодятся мне на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Также я считаю, что эти знания и умения обязательно пригодятся мне в повседневной жизни. Думаю, что без труда смогу научить своих одноклассников решать задачи на проценты. Материал моего проекта будет полезен для обучающихся выпускных классов как пособие для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, к олимпиадам по экономике и математике.
Таким образом, можно сделать вывод, что поставленные задачи
решены и цель достигнута, гипотеза подтвердилась.
Свою будущую профессию я хочу связать с экономической специальностью. Работа над проектом для меня была интересной и увлекательной. И это еще раз подтвердило, что направление моей будущей профессиональной деятельности выбрано правильно.
Банковское дело. Справочное пособие. Под ред. Бабичевой- М
Буслаев А. “Сложные проценты”. Газета “Математика” №30. 2002. стр
Вигман С. Финансы, кредит, деньги в вопросах и ответах: учеб. пособие
Вигдорчик Е. , Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и
Ершов Ю. «Финансовая математика в вопросах и ответах», Новосибирск:
Кац М. “Проценты”. Газета “Математика” №20. 2004. стр. 22; №22. 2004.
стр. 29; №23. 2004. стр
Колягин Ю. , Ткачёва М. и др. Алгебра 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций- М. : Просвещение, 2018
Лаврушин О. Деньги, кредит, банки: Учебник. — М. : Финансы и
Липцис И. «Экономика без тайн», Москва, изд. «Вита» 2004г.
Математика. ЕГЭ Профильный уровень 50 вариантов, под ред. Ященко,
Математика. ЕГЭ Базовый уровень 50 вариантов, под ред. Ященко,
Математика. ОГЭ по математике 50 вариантов, под ред. Ященко,
Процентные вычисления. 10-11кл. :Учеб. метод. пособие/Г. Дорофеев,
Седова Е. Проценты в X классе общеобразовательного направления
журнал «Математика в школе». -1994-№4.
Сценарий интервьюирования сотрудника и
клиентов банка ПАО КБ «УБРиР».
Я на крыльце банка.
Очень часто люди обращаются в банк по разным причинам. В большинстве случаев, для оформления кредита или вклада. В основе данных банковских продуктов лежит начисление процентов. Правильно рассчитать стоимость кредита и доходность по вкладу помогут мне сотрудники Асбестовского офиса Уральского банка реконструкции и развития.
В юридическом отделе спрашиваю у клиента:
– Добрый день. Подскажите, пожалуйста, с какой целью вы посетили банк?
Клиент банка отвечает.
– На что вы обращаете внимание при выборе того или иного кредита?
В юридическом отделе спрашиваю старшего специалиста по кредитованию юридических лиц:
– Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, что такое кредит?
Кредитный специалист отвечает.
– Клиенты при выборе кредитного продукта, особое внимание обращают на размер процентной ставки и способ начисления процентов. Расскажите, как начисляются проценты в вашем банке при кредитовании?
– Подскажите, возможно ли рассмотреть пример начисления процентов?
– На сайте вашего банка очень большой выбор кредитных продуктов. На мой взгляд, наиболее выгодные условия кредитования предлагаются по кредиту «Бизнес-привилегия». Давайте рассмотрим дифференцированные платежи по данному кредиту.
Специалист банка отвечает.
– Спасибо большое! Теперь я понял, как начисляются проценты на кредит. А этот график я приложу к своему проекту.
Я спрашиваю у клиента:
– Добрый день. Подскажите, пожалуйста, для чего вы посетили банк?
– Чем Вы будете руководствоваться, выбирая вклад?
Я подхожу к специалисту банка и спрашиваю:
– Здравствуйте, на сайте банка я познакомился с различными видами вкладов для физических лиц. Меня привлек вклад «Мобильный Он-Лайн». Не могли бы Вы рассказать, как начисляются проценты по этому вкладу? Например, я бы хотел оформить вклад на 200 000 рублей на срок 210 дней.
– Действительно, очень легко. Теперь я понял принцип начисления процентов по вкладам. А как узнать какую сумму выдаст банк при снятии вклада?
– Спасибо! Теперь я знаю, что такое доходность вклада.