Сдам гиа решите неравенство

Skip to content

Решите неравенство  левая круглая скобка 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 7 минус корень из 35, знаменатель: левая круглая скобка 6 минус корень из 35 правая круглая скобка в степени x конец дроби плюс 6 больше корень из 35.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство, домножив числитель и знаменатель дроби на

 левая круглая скобка 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 7 минус корень из 35, знаменатель: левая круглая скобка 6 минус корень из 35 правая круглая скобка в степени x конец дроби плюс 6 больше корень из 35 равносильно
 равносильно левая круглая скобка 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 7 минус корень из 35 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка в степени x плюс 6 минус корень из 35 больше 0.

Пусть тогда

t в квадрате минус левая круглая скобка 7 минус корень из 35 правая круглая скобка t плюс 6 минус корень из 35 больше 0 равносильно
 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка больше 0 равносильно
 равносильно совокупность выражений t меньше 6 минус корень из 35,t больше 1. конец совокупности .

Вернёмся к исходной переменной:

 совокупность выражений левая круглая скобка 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка в степени x меньше 6 минус корень из 35, левая круглая скобка 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка в степени x больше 1 конец совокупности . равносильно
 равносильно совокупность выражений левая круглая скобка 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше 1, левая круглая скобка 6 плюс корень из 35 правая круглая скобка в степени x больше 1 конец совокупности . равносильно
 равносильно совокупность выражений x плюс 1 меньше 0,x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1,x больше 0. конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность \; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 365.

Решите неравенство  дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 32x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус логарифм по основанию 2 x в степени 5 конец дроби больше или равно минус 1.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

 дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 32x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус логарифм по основанию 2 x в степени 5 конец дроби больше или равно минус 1 равносильно
 равносильно дробь: числитель: 5 плюс логарифм по основанию 2 x минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 5 логарифм по основанию 2 x конец дроби больше или равно минус 1.

Пусть тогда

 дробь: числитель: 4 плюс t, знаменатель: t в квадрате минус 5t конец дроби больше или равно минус 1 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t в квадрате минус 5t конец дроби больше или равно 0 равносильно
 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше 0,t=2,t больше 5. конец совокупности .

Сдам гиа решите неравенство

Вернёмся к исходной переменной:

 совокупность выражений логарифм по основанию 2 x меньше 0, логарифм по основанию 2 x=2, логарифм по основанию 2 x больше 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x=4,x больше 32. конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 32; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Москва. Вариант 1, Задания 14 ЕГЭ–2022

Решите неравенство:  дробь: числитель: x в степени 4 минус 6x в квадрате плюс 5, знаменатель: |x в квадрате плюс 3x| конец дроби \geqslant0.

Спрятать решение

Решение.

Знаменатель дроби не принимает отрицательных значений, поэтому на области определения уравнения числитель должен быть неотрицателен:

 дробь: числитель: x в степени 4 минус 6x в квадрате плюс 5, знаменатель: |x в квадрате плюс 3x| конец дроби \geqslant0 равносильно система выражений x в степени 4 минус 6x в квадрате плюс 5 больше или равно 0,x в квадрате плюс 3x не равно 0 конец системы . равносильно
 равносильно система выражений левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0,x не равно 0,x не равно минус 3 конец системы . равносильно
 равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус корень из 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс корень из 5 правая круглая скобка больше или равно 0,x не равно 0,x не равно минус 3 конец системы . равносильно
 равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус корень из 5 , минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1,x больше или равно корень из 5 конец системы . x не равно 0,x не равно минус 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 3, минус 3 меньше x меньше или равно минус корень из 5 , минус 1 меньше или равно x меньше 0,0 меньше x меньше или равно 1,x больше или равно корень из 5 . конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3 ; минус корень из 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 1 ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из 5 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 391.

Решите неравенство \lg в степени 4 левая круглая скобка x в квадрате минус 26 правая круглая скобка в степени 4 минус 4\lg в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 26 правая круглая скобка в квадрате \leqslant240.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство следующим образом:

\lg в степени 4 левая круглая скобка x в квадрате минус 26 правая круглая скобка в степени 4 минус 4\lg в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 26 правая круглая скобка в квадрате \leqslant240 равносильно
 равносильно 256\lg в степени 4 |x в квадрате минус 26| минус 16\lg в квадрате |x в квадрате минус 26| меньше или равно 240 равносильно

 равносильно 16\lg в степени 4 |x в квадрате минус 26| минус \lg в квадрате |x в квадрате минус 26| минус 15 меньше или равно 0.

Пусть тогда:

16t в квадрате минус t минус 15 меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно t меньше или равно 1 равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 1.

Вернемся к исходной переменной. Имеем:

\lg в квадрате |x в квадрате минус 26| меньше или равно 1 равносильно
 равносильно левая круглая скобка \lg|x в квадрате минус 26| минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка \lg|x в квадрате минус 26| плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно
 равносильно минус 1 \leqslant\lg|x в квадрате минус 26| меньше или равно 1,

откуда получаем:

 система выражений совокупность выражений |x в квадрате минус 26| больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,|x в квадрате минус 26| меньше или равно 10 конец системы ,x не равно \pm корень из 26 конец совокупности . . равносильно
 равносильно система выражений система выражений левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, конец системы . , совокупность выражений x в квадрате минус 26 больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,x в квадрате минус 26 меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби , конец системы . x не равно \pm корень из 26. конец совокупности .

Ответ:  левая квадратная скобка минус 6; минус корень из 26,1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус корень из 25,9; минус 4 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; корень из 25,9 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из 26,1;6 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Решите неравенство:  дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби \geqslant0.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство, перейдя к логарифмам по основанию 2, и воспользуемся методом рационализации,

 дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно
 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно

 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 3 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7 конец системы . равносильно
 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец системы .

Заметим, что при функция является возрастающей, тогда

 система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7 конец системы . равносильно
 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец системы . равносильно

 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 минус 1 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка Пи плюс x минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец системы . равносильно
 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше или равно логарифм по основанию 2 7 минус 1,2 меньше x меньше логарифм по основанию 2 7. конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; логарифм по основанию 2 7 минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 381.

Решите неравенство 30 умножить на 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7x минус x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 90.

Спрятать решение

Решение.

Пусть Неравенство записывается в виде откуда Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка меньше или равно 0.

Заметим, что область определения неравенства — интервал (0; 7), а потому на ОДЗ

3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка = 3 в кубе = 27.

Это означает, что при всех допустимых значениях х второй множитель отрицателен, поэтому на него можно разделить, изменив знак неравенства на противоположный. Получим:

3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 3 \underset 3 больше 1 \mathop равносильно
\underset 3 больше 1 \mathop равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка } больше или равно 1 \underset 2 больше 1 \mathop равносильно 7 минус x больше или равно 2 равносильно x меньше или равно 5.

Учитывая ОДЗ, получаем ответ:

Ответ: (0; 5].

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Несмотря на то, что решение неравенств очень напоминает решение уравнений, все-таки неравенства вызывают у школьников больше затруднений.

Ученики часто спрашивают как решать неравенства те или иные, просят оценить решение неравенства, полученное у доски в школе или помочь в решении домашнего задания с неравенством. В основном они связаны не с решением неравенства как такового, а с проблемой записи решения и с проблемой знака неравенства, которое в определенные моменты заменяется на противоположный.

Решение неравенств — это материал, который помогает выявить у экзаменуемого сразу несколько умений и навыков: умение решать уравнения, работать со знаком неравенства, оценить полученное решение с точки зрения постановки неравенства. Поэтому неравенства включены в ОГЭ (ГИА).

Решите неравенство  дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2x правая круглая скобка правая круглая скобка x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 2x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка x конец дроби меньше 40.

Спрятать решение

Решение.

Неравенство определено при то есть при положительных х, отличных от 1, и от На области определения можно использовать формулу что позволяет избавиться от знаменателей и записать неравенство в виде

 логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию х левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию х левая круглая скобка 2x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше 40.

Далее применим формулу если в этой формуле один из множителей b или с  — положительное число, применение формулы допустимо на ОДЗ (если b и с зависят от переменной, применение формулы может привести к потере корней). Получаем:

 левая круглая скобка логарифм по основанию x 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию x 2 плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию x 2 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию x 2 минус 2 правая круглая скобка меньше 40 равносильно
 равносильно левая круглая скобка \log в квадрате _x2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка \log в квадрате _x2 минус 4 правая круглая скобка меньше 40.

Пусть тогда

 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка меньше 40 равносильно
 равносильно t в квадрате минус 5t минус 36 меньше 0 равносильно минус 4 меньше t меньше 9.

Вернёмся к исходной переменной:

 минус 4 меньше \log в квадрате _x2 меньше 9 равносильно \log в квадрате _x2 минус 9 меньше 0 равносильно
 равносильно минус 3 меньше логарифм по основанию x 2 меньше 3 равносильно минус 3 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше 3 равносильно
 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , логарифм по основанию 2 x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 3 степени из 2 конец дроби ,x больше корень 3 степени из 2 . конец совокупности .

Осталось определить, какие из найденных решений лежат в ОДЗ. Заметим, что и тогда

 система выражений совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 3 степени из 2 конец дроби ,x больше корень 3 степени из 2 , конец системы . x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно корень из 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 3 степени из 2 конец дроби , корень 3 степени из 2 меньше x меньше корень из 2 ,x больше корень из 2 . конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень 3 степени из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень 3 степени из 2 ; корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 363.

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Калькулятор онлайн. Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также
выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Какие неравенства можно решить?

Примеры подробного решения >>

Правила ввода неравенств

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Ларин. Тренировочный вариант № 379.

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

1

а) Решите уравнение 2 косинус в квадрате x плюс косинус 3x=1 плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


2

В правильной треугольной пирамиде MNPQ с вершиной M сторона основания равна 15, высота равна На ребрах NP, NQ и NM отмечены точки E, F, K соответственно, причем NE = NF = 3 и

а) Докажите, что плоскости EFK и MPQ параллельны.

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости MPQ.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


3

Решите неравенство 4 в степени левая круглая скобка x плюс корень из x в квадрате минус 2 правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x минус 1 плюс корень из x в квадрате минус 2 правая круглая скобка \geqslant6.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


4

Шарона Абрамовна планирует взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 10 лет под 3% годовых, второй — на 6 лет под 9% годовых, причем в обоих банках применяется дифференцированная съема погашения кредита (ежегодно долг уменьшается каждый год на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом). В какой банк выгоднее обратиться Шароне Абрамовне и сколько процентов от кредита составит эта выгода?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


5

На стороне АВ треугольника АВС взята точка D таким образом, что и Через середину отрезка CD проведена прямая, пересекающая стороны АС и ВС в точках M и N соответственно. Известно, что площадь треугольника MCN равна а расстояние от точки М до прямой АВ в два раза больше расстояния от точки N до этой же прямой.

а) Докажите, что четырехугольник СMDN — параллелограмм.

б) Найдите площадь треугольника АВС.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


6

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множеством решений неравенства

 дробь: числитель: ax в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 2a плюс 8 правая круглая скобка x плюс 8a плюс 16, знаменатель: x конец дроби \geqslant0

является ровно один промежуток числовой прямой.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


7

Настя задумала трехзначное натуральное число n. В результате деления этого числа на сумму его цифр получается натуральное число m.

а) Может ли m = 11?

б) Какое наименьшее число n могла задумать Настя, если известно, что средняя цифра этого числа равна 9, а первая цифра — четная и больше 2?

в) Чему равно наименьшее возможное значение m, если последняя цифра числа n равна 4?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

Ларин. Тренировочный вариант № 372.

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

1

а) Решите уравнение  дробь: числитель: тангенс 3x, знаменатель: 1 плюс косинус 3x конец дроби = косинус 3x минус 1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


2

Основанием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость α.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником.

б)  Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


3

Решите неравенство  логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 правая круглая скобка меньше 2 логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка |x минус 4|.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


4

В растворе Х содержится 30% вещества А и 50% вещества В, в растворе Y содержится 50% вещества А и 40% вещества В, в растворе Z содержится 80% вещества А и 10% вещества В. В результате смешивания получился раствор, содержащий 60% вещества А. Найдите наименьшее возможное содержание вещества В в получившемся растворе.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


5

Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке A пересекает первую окружность в точках C и D и диаметр в точке E. На дуге CE, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек C и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N, а вторую пересекает вторично в точке K.

а) Докажите, что MN = NK.

б) Найдите MN, если известно, что CN = 2, ND = 3.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


6

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

 дробь: числитель: корень из 6 плюс x минус x в квадрате , знаменатель: x минус 2a конец дроби меньше или равно дробь: числитель: корень из 6 плюс x минус x в квадрате , знаменатель: 2x минус 2a плюс 4 конец дроби

имеет ровно два решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


7

Участники конкурса на лучшую математическую задачу анонимно присылают каждый свою задачу. После публикации все участники дают оценку каждой задаче, кроме своей. В конкурсе принимают участие 6 человек. Каждый участник за лучшую по его мнению задачу дает 5 баллов, за следующую — 4 балла и так далее, за пятую — 1 балл. По каждой задаче баллы суммируются, так определяется рейтинг задачи.

а) Могут ли все рейтинги быть простыми числами?

б)  Могла ли сумма четырех наибольших рейтингов быть в три раза больше суммы остальных?

в) Какова минимальная сумма третьего и четвертого рейтингов, если им дали номера в порядке невозрастания?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»

НЕРАВЕНСТВА

ПРАКТИЧЕСКИЙ  МАТЕРИАЛ

К  ОГЭ  ПО  МАТЕМАТИКЕ

                                   9 КЛАСС

                                                                            Составитель:

                                                                             учитель математики

первой категории Т.Н.Сидорова

СОДЕРЖАНИЕ

1. Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ

(5-10минут).

2. Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.

3. Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.

4. Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.

5. Неравенства. Повышенный уровень.

6. Ответы.

1)Неравенства. Обязательный уровень.

2)Неравенства. Повышенный уровень.

7. Приложение. Контроль знаний.

Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ

(5-10минут).

1.  Решите неравенство:

1)     Сдам гиа решите неравенство

6)   Сдам гиа решите неравенство

11)  Сдам гиа решите неравенство

16)  Сдам гиа решите неравенство

2)   Сдам гиа решите неравенство

7)   Сдам гиа решите неравенство

12)  Сдам гиа решите неравенство

17) Сдам гиа решите неравенство 

3)   Сдам гиа решите неравенство

8)   Сдам гиа решите неравенство

13)  Сдам гиа решите неравенство

18)  Сдам гиа решите неравенство

4)   Сдам гиа решите неравенство

9)   Сдам гиа решите неравенство

14)  Сдам гиа решите неравенство

19)  Сдам гиа решите неравенство

5)     Сдам гиа решите неравенство

10) Сдам гиа решите неравенство

15)  Сдам гиа решите неравенство

20)  Сдам гиа решите неравенство

2.  Решите квадратное неравенство:

1) Сдам гиа решите неравенство 

6)   Сдам гиа решите неравенство

11)  Сдам гиа решите неравенство

16)  Сдам гиа решите неравенство

2)  Сдам гиа решите неравенство 

7)   Сдам гиа решите неравенство

12) Сдам гиа решите неравенство 

17) Сдам гиа решите неравенство 

3)   Сдам гиа решите неравенство

8)   Сдам гиа решите неравенство

13)  Сдам гиа решите неравенство

18)  Сдам гиа решите неравенство

4)   Сдам гиа решите неравенство

9)   Сдам гиа решите неравенство

14)  Сдам гиа решите неравенство

19)  Сдам гиа решите неравенство

5)   Сдам гиа решите неравенство

10) Сдам гиа решите неравенство

15) Сдам гиа решите неравенство 

20)  Сдам гиа решите неравенство

3.  Решите неравенство

1) Сдам гиа решите неравенство

6) Сдам гиа решите неравенство

11)Сдам гиа решите неравенство 

16)  Сдам гиа решите неравенство

2)   Сдам гиа решите неравенство

7)  Сдам гиа решите неравенство 

12)Сдам гиа решите неравенство 

17)  Сдам гиа решите неравенство

3)   Сдам гиа решите неравенство

8)Сдам гиа решите неравенство   

13)  Сдам гиа решите неравенство

18)  Сдам гиа решите неравенство

4)   Сдам гиа решите неравенство

9) Сдам гиа решите неравенство 

14)Сдам гиа решите неравенство 

19) Сдам гиа решите неравенство

5)   Сдам гиа решите неравенство

10) Сдам гиа решите неравенство

15)  Сдам гиа решите неравенство

20)  Сдам гиа решите неравенство

4.  Решите неравенство методом интервалов:

1) Сдам гиа решите неравенство 

6) Сдам гиа решите неравенство 

11)Сдам гиа решите неравенство 

16)  Сдам гиа решите неравенство

2) Сдам гиа решите неравенство 

7)  Сдам гиа решите неравенство

12)  Сдам гиа решите неравенство

17)  Сдам гиа решите неравенство

3) Сдам гиа решите неравенство

8)  Сдам гиа решите неравенство

13)Сдам гиа решите неравенство

18)Сдам гиа решите неравенство

4)  Сдам гиа решите неравенство

9)  Сдам гиа решите неравенство 

14)  Сдам гиа решите неравенство

19)Сдам гиа решите неравенство

5)Сдам гиа решите неравенство 

10)Сдам гиа решите неравенство

15)  Сдам гиа решите неравенство

20) Сдам гиа решите неравенство

1.  Решите неравенство:

1)   Сдам гиа решите неравенство

6)   Сдам гиа решите неравенство

11) Сдам гиа решите неравенство 

16)  Сдам гиа решите неравенство

2)   Сдам гиа решите неравенство

7)   Сдам гиа решите неравенство

12)  Сдам гиа решите неравенство

17)  Сдам гиа решите неравенство

3)   Сдам гиа решите неравенство

8)   Сдам гиа решите неравенство

13)  Сдам гиа решите неравенство

18)  Сдам гиа решите неравенство

4)   Сдам гиа решите неравенство

9)   Сдам гиа решите неравенство

14)  Сдам гиа решите неравенство

19)  Сдам гиа решите неравенство

5)   Сдам гиа решите неравенство

10) Сдам гиа решите неравенство

15)  Сдам гиа решите неравенство

20)  Сдам гиа решите неравенство

Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.

Карточка № 1

  1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

3(3x − 1) > 2(5x − 7).

  1. Решите неравенство:
  1. 6x − 5(2x + 8) > 14 + 2x;
  2. 10x − 3(4 − 2x) > 16 + 20x.
  1. Решите систему неравенств:
  1. Сдам гиа решите неравенство;
  2. Сдам гиа решите неравенство.

Карточка № 2

  1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

5(x + 4) < 2(4x − 5).

  1. Решите неравенство:
  1. 5 + x > 3x − 3(4x + 5);
  2. 3 − 5(2x + 4) ≥ 7 − 2x.
  1. Решите систему неравенств:
  1. Сдам гиа решите неравенство;
  1. Сдам гиа решите неравенство.

Карточка № 3

  1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

2(3x − 7) − 5x ≤ 3x − 11.

  1. Решите неравенство:
  1. 3(3x − 1) > 2(5x − 7);
  2. 19 − 7x < 20 − 3(x − 5).
  1. Решите систему неравенств:

        a)     Сдам гиа решите неравенство;

  1. Сдам гиа решите неравенство.

Карточка № 4

  1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

2x + 4(2x − 3) ≥ 12x − 11.

  1. Решите неравенство:

        a)     5(x +4) < 2(4x − 3);

  1. 3x − 10(2 +x) < x +4.
  1. Решите систему неравенств:
  1. Сдам гиа решите неравенство;
  1. Сдам гиа решите неравенство.

Карточка № 5

  1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

x − 4(x − 3) < 3 − 6x.

  1. Решите неравенство:
  1. 3x − 4(x + 1) < 8 + 5x;
  2. 2(x − 1) > 5x − 4(2x + 1).
  1. Решите систему неравенств:
  1. Сдам гиа решите неравенство;
  2. Сдам гиа решите неравенство.

Карточка № 6

  1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

25 − x > 2 − 3(x − 6).

  1. Решите неравенство:
  1. x + 2 < 5x − 2(x − 3);
  2. 9x − 2(2x − 3) < 3(x + 1).
  1. Решите систему неравенств:
  1. Сдам гиа решите неравенство;
  2. Сдам гиа решите неравенство.

Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.

КАРТОЧКА № 1

    Решите неравенства:

1)  Сдам гиа решите неравенство;

2)  Сдам гиа решите неравенство;

3)  Сдам гиа решите неравенство;

4)  Сдам гиа решите неравенство;

 5)  Сдам гиа решите неравенство.

КАРТОЧКА № 2

  Решите неравенства:

1)  Сдам гиа решите неравенство;          

 2)  Сдам гиа решите неравенство;

3)  Сдам гиа решите неравенство;

 4)  Сдам гиа решите неравенство;

5)  Сдам гиа решите неравенство.

КАРТОЧКА № 3

   Решите неравенства:

1)  Сдам гиа решите неравенство;

2)  Сдам гиа решите неравенство;

3)  Сдам гиа решите неравенство;

4)  Сдам гиа решите неравенство;

5)  Сдам гиа решите неравенство.

КАРТОЧКА № 4

    Решите неравенства:

1)  Сдам гиа решите неравенство;    

2)  Сдам гиа решите неравенство;

3)  Сдам гиа решите неравенство;

4)  Сдам гиа решите неравенство;

5)  Сдам гиа решите неравенство.

КАРТОЧКА № 5

  Решите неравенства:

1)  Сдам гиа решите неравенство;        

2)  Сдам гиа решите неравенство;

3)  Сдам гиа решите неравенство;    

4)  Сдам гиа решите неравенство;

5)  Сдам гиа решите неравенство.

КАРТОЧКА № 6

   Решите неравенства:

1)  Сдам гиа решите неравенство;    

2)  Сдам гиа решите неравенство;

3)  Сдам гиа решите неравенство;

4)  Сдам гиа решите неравенство;

5)  Сдам гиа решите неравенство.

Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.

Задача 1.      Сдам гиа решите неравенство.

Решение.

Сдам гиа решите неравенство;   Сдам гиа решите неравенство;   Сдам гиа решите неравенство    Сдам гиа решите неравенство.

Ответ:  Сдам гиа решите неравенство.

Задача 4.    Сдам гиа решите неравенство.

Решение.

Сдам гиа решите неравенство;    Сдам гиа решите неравенство.

Сдам гиа решите неравенство

Ответ:  Сдам гиа решите неравенство.

Задача 2. Графический метод  Сдам гиа решите неравенство.

Решение.

1) Сдам гиа решите неравенство это кв. функция, график которой парабола, ветви направлены вверх.

2) Сдам гиа решите неравенство;   Сдам гиа решите неравенство.

Сдам гиа решите неравенство;       Сдам гиа решите неравенство.

Сдам гиа решите неравенствои  Сдам гиа решите неравенство  точки пересечения с осью ОХ.

3) Изобразим эскиз графика.Сдам гиа решите неравенство

Ответ:  Сдам гиа решите неравенство.

Задача 5.     Сдам гиа решите неравенство.

Решение.

Сдам гиа решите неравенство;  Сдам гиа решите неравенство.

Сдам гиа решите неравенство

Ответ:  Сдам гиа решите неравенство.

Задача 6.   Решить систему неравенств:

Сдам гиа решите неравенство

Решение.

Сдам гиа решите неравенство      Сдам гиа решите неравенство      Сдам гиа решите неравенствоСдам гиа решите неравенство

Ответ:  решений нет.

Задача 3. Метод интервалов.

Сдам гиа решите неравенство.

Решение.

  1. Рассмотрим функцию Сдам гиа решите неравенство.
  2. Найдем нули функции: Сдам гиа решите неравенство;

Сдам гиа решите неравенство;  Сдам гиа решите неравенство.

  1. Отметим точки  на числовом луче:

1)  Сдам гиа решите неравенство;  Сдам гиа решите неравенство.

2) Сдам гиа решите неравенство; Сдам гиа решите неравенство.

3)  Сдам гиа решите неравенство;  Сдам гиа решите неравенство.

4)  Сдам гиа решите неравенство;  Сдам гиа решите неравенство.

Ответ:  Сдам гиа решите неравенство

Задача 7.  Решить  неравенство  Сдам гиа решите неравенство:

Решение.

Сдам гиа решите неравенство;    Сдам гиа решите неравенство.

1)   Сдам гиа решите неравенство  Сдам гиа решите неравенство

2)   Сдам гиа решите неравенство  Сдам гиа решите неравенство

3)   Сдам гиа решите неравенство   Сдам гиа решите неравенство  Сдам гиа решите неравенство

Ответ:  Сдам гиа решите неравенство.

Неравенства. Повышенный уровень.

Карточка № 1

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:    

Сдам гиа решите неравенство.

2. Решите неравенство:

Сдам гиа решите неравенство.

Карточка № 2

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:    

Сдам гиа решите неравенство

2.Решите неравенство:

Сдам гиа решите неравенствоСдам гиа решите неравенство.

Карточка № 3

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:    

Сдам гиа решите неравенство.

2.Решите неравенство:

Сдам гиа решите неравенство.

Карточка № 4

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:  

Сдам гиа решите неравенство.

2.Решите неравенство:

Сдам гиа решите неравенствоСдам гиа решите неравенство

Карточка № 5

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

Сдам гиа решите неравенство.

2.Решите неравенство:

Сдам гиа решите неравенство.

Карточка № 6

1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:  

Сдам гиа решите неравенство

2.Решите неравенство:

Сдам гиа решите неравенство.

Ответы. Неравенства.  Обязательный уровень.

К.№ 1

К.№ 2

К.№ 3

К.№ 4

К.№ 5

К.№ 6

1

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Ответы. Неравенства. Повышенный уровень.

К.№ 1

К.№ 2

К.№ 3

К.№ 4

К.№ 5

К.№ 6

1

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

2

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенствоСдам гиа решите неравенство

Сдам гиа решите неравенство

Приложение.

Контроль знаний.

Неравенства. Обязательный уровень.

        №

п/п

Фамилия

имя

   № зад.

№ К.

1

Контроль знаний.

Неравенства. Повышенный уровень.

        №

п/п

Фамилия

имя

  № зад.

№ К.

1

2

3

4

5

6

Ларин. Тренировочный вариант № 380.

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

1

а) Решите уравнение  дробь: числитель: 2 тангенс в квадрате x плюс 5 тангенс x, знаменатель: синус 2x плюс 5 косинус в квадрате x конец дроби =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


2

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SЕ и вершину С, делит ребро SВ в отношении 1 : 3, считая от вершины В.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SА и SЕ и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


3

Решите неравенство  дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка минус 81 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 15 умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка минус 81, знаменатель: 9 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка минус 84 умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка плюс 243 конец дроби .

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


4

На автомобиле стоят два одинаковых номерных знака, которые можно менять местами — один спереди, другой сзади. Знак, стоящий спереди, за 6 лет эксплуатации приходит в негодность и подлежит замене. Знак, стоящий сзади, приходит в негодность за 12 лет. Износ можно считать пропорциональным времени. Какой максимальный срок (в годах) может прослужить один комплект из двух номерных знаков, если своевременно поменять передний и задний номерной знак местами?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


5

В трапеции АВСD основания ВС и АD равны 3 и 9 соответственно. Из точки К, лежащей на стороне СD, опущен перпендикуляр КL, на сторону АВ. Известно, что L — середина стороны АВ, СL = 4 и что площадь четырёхугольника АLKD в 3 раза больше площади четырёхугольника ВСКL.

а) Докажите, что прямые ВK и DL параллельны.

б) Найдите длину отрезка DL.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


6

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

 левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 13 правая круглая скобка корень из 3x плюс 2a\leqslant0

имеет не более двух решений.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.


7

Каждую цифру a натурального числа n заменим последней цифрой числа a3. Полученное в результате такой замены число будем обозначать n* и называть взаимным с числом n. Число, совпадающее со своим взаимным, будем называть особенным.

а) Могут ли два разных натуральных числа иметь одинаковые взаимные числа?

б) Для каких натуральных чисел n будет особенным число Сколько всего существует трехзначных особенных чисел?

в) Решите уравнение n плюс n в степени * = 1318.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

Как решать нестрогое неравенство

Нестрогим неравенством называется неравенство, у которого вместо строгого знака «больше» или «меньше», стоит знак «больше или равно» или «меньше или равно». Например, давайте решим нестрогое неравенство. Возьмем простое неравенство, чтобы вы поняли суть вопроса.

3x+9 \geqslant 15

Решаем аналогично — только сначала упростим правую часть нашего неравенства. Переносим неизвестные в левую часть неравенства, а известные (числа) в правую часть неравенства:

3x \geqslant 15-9

Упрощаем правую часть:

3x \geqslant 6

Посчитаем, получим:

x \geqslant \frac {6}{3}

x \geqslant 2

Ответ: x \geqslant 2.

Обратите внимание на запись ответа. Так как у нас неравенство нестрогое, то число 2 будет входить в решение этого неравенства, поэтому мы его включаем в ответ, отмечая квадратной скобкой.

Вот так: x \in [2; + \infty ]

Как решать простейшие неравенства из ОГЭ (ГИА)

Итак, первое неравенство:

3х-4<6x-6

Решаем неравенство как уравнение — перенесем все неизвестные в левую часть, а все числа — в правую. Неизвестные — это все выражения с х: 3х и 6х.

3х уже находится слева, а вот 6х — справа, и 6х мы перенесем в левую часть нашего неравенства. Не забываем, что когда мы переносим любые выражения и числа из одной части неравенства, как и равенства, в другую, то мы обязательно меняем знак. То есть слева у нас запишется:

3х-6х.

Что будет справа? Справа останется число -6 (со знаком минус), и еще мы перенесем 4 из левой части в правую. Перед четверкой в левой части неравенства стоит знак минус, значит, при переносе мы получим четверку со знаком +. Смотрите, что получилось:

3х-6х<-6+4

Упростим левую и правую части, получим:

-3х<-2

Если бы у нас вместо неравенства было уравнение: -3х=-2, то x мы бы нашли разделив -2 на -3. Точно также поступают и в неравенстве, но, помнят одно простое правило,

если мы делим или умножаем на отрицательное число (число со знаком минус), то знак неравенства меняется на противоположный.

То есть мы запишем решение нашего неравенства вот так:

<img src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a69d0457f5cb358dc49653c1648b17ca_l3.png" alt="x

Мы поменяли знак, так как делили на отрицательное число — -3. При этом знак бы не менялся, если бы мы делили отрицательное число на положительное. Знак неравенства меняется только тогда — когда отрицательным является число на которое делят или умножают.

Итак, ответ у нас будет таким:

Сдам гиа решите неравенство \frac{2}{3}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”23″ width=”46″>.

Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же
появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д.,
обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней
Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит
большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру
с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков &gt; и &lt; начали лишь в XVII—XVIII вв. Например,
вместо фразы «число а больше числа b» стали писать: а &gt; b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: &gt; (больше),
&lt; (меньше), \( \geqslant \) (больше или равно), \( \leqslant \) (меньше или равно), стали называть неравенствами.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других.
Например, неравенство 2x+1&gt;5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить
задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений.
Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах
математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование
определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего
материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями,
но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с
помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач
сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях
сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а &gt; b; если а меньше b, то пишут: а &lt; b.

Таким образом, неравенство а &gt; b означает, что разность а – b положительна, т.е. а – b &gt; 0. Неравенство а &lt; b означает, что а – b &lt; 0.

Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a &gt; b, a = b, a &lt; b только одно является верным.

Сравнить числа а и b — значит выяснить, какой из знаков &gt;, = или &lt; нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное
соотношение. Это можно сделать, определив знак разности а – b.

Теорема. Если a &gt; b и b &gt; с, то а &gt; с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия
с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать
задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом
иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во
второй – более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше
13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а &gt; b и c &gt; d, то
a + c &gt; b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается
неравенство того же знака: если а &gt; b, c &gt; d и а, b, с, d – положительные числа, то ac &gt; bd.

Неравенства со знаком &gt; (больше) и &lt; (меньше) называют строгими. Например, 5/6 &gt; 1/2, 3/4 &lt; 1, a &gt; b, c &lt; d – строгие неравенства.

Наряду со знаками строгих неравенств &gt; и &lt; используются знаки \( \geqslant \) (больше или равно) и \( \leqslant \) (меньше или равно),
которые называют знаками нестрогих неравенств. Неравенство \( a \leqslant b \) означает, что а &lt; b или а = b, т. е. а не больше b.
Например, если число посадочных мест в самолёте 134, то число а пассажиров может быть меньшим или равным 134. В этом случае можно
записать: \( a \leqslant 134 \)

Точно так же неравенство \( a \geqslant b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.

Неравенства, содержащие знак \( \geqslant \) или знак \( \leqslant \), называют нестрогими. Например,
\( 18 \geqslant 12 , \; 11 \leqslant 12 \) – нестрогие неравенства.

Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными
считались знаки &gt; и &lt;, то для нестрогих неравенств противоположными считаются знаки \( \geqslant \) и \( \leqslant \).

Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы
уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными.
Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.

Неравенства вида
\( ax &gt; b, \quad ax &lt; b, \quad ax \geqslant b, \quad ax \leqslant b \)
в которых а и b — заданные числа, а x — неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным.

Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство
обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся
с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
\( ax^2+bx+c &gt;0 \) и \( ax^2+bx+c &lt;0 \),
где x — переменная, a, b и c — некоторые числа и \( a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства
\( ax^2+bx+c &gt;0 \) или \( ax^2+bx+c &lt;0 \)
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \( y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные
значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \( y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости:
куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \( ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой
направлены вверх при a &gt; 0 или вниз при a &lt; 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную
в верхней полуплоскости при a &gt; 0 или в нижней при a &lt; 0;
3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \( ax^2+bx+c &gt;0 \) )
или ниже оси x (если решают неравенство \( ax^2+bx+c &lt;0 \) ).

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х – 3)(х – 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область
определения функции на промежутки \( (-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \( (5; +\infty) \)

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х – 3)(х – 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых
промежутках указан в таблице:

Отсюда ясно, что:
если \( x \in (-\infty;-2) \), то f(x)&lt;0;
если \( x \in (-2;3) \), то f(x)&gt;0;
если \( x \in (3;5) \), то f(x)&lt;0;
если \( x \in (5;+\infty) \), то f(x)&gt;0.

Мы видим, что в каждом из промежутков \( (-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5), \; (5; +\infty) \) функция сохраняет знак,
а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.

\( x(0,5-x)(x+4) < 0 \)

Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

Ответ:
\( x \in \left( -4; \; 0 \right) \cup \left( 0,5; \; +\infty \right) \)
или
\( -4 &lt; x &lt; 0 ;\;\; x &gt; 0,5 \)

$$ \frac{x+2}{x-1} \leqslant 2 $$

Решение:

$$ \frac{x+2}{x-1} \leqslant 2 \Rightarrow \frac{x+2-2(x-1)}{x-1} \leqslant 0 \Rightarrow \frac{-x+4}{x-1} \leqslant 0 $$

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Решение неравенств из сборника ОГЭ по математике ФИПИ

Неравенство 1

Укажите решение неравенства

-3-5x \leqslant x+3

  1. (- \infty; 0]
  2. [-1; + \infty)
  3. [0; +\infty)
  4. (- \infty ; -1]

Решение:

Перенесем неизвестные в левую часть неравенства, а известные — в правую часть неравенства:

-5x-x \leqslant 3+3

Посчитаем:

-6x \leqslant 6, отсюда

x \geqslant -1

искомый интервал: . Таким образом, из списка предложенных интервалов нам подходит интервал под номером 2.

Ответ 2.

Неравенство 2

Укажите множество решений неравенства:

2x+4 \leqslant -4x+1

множество решений неравенства

Решение:

Как обычно, переносим неизвестные влево от знака неравенства, а известные величины — вправо:

2x+4x \leqslant -4+1

6x \leqslant -3

x \leqslant \frac{-3}{6}

Обратите внимание — здесь мы делим отрицательное число. Но делим то мы его на положительное число 6. Поэтому знак неравенства остается прежним!

x \leqslant \frac{-1}{2}

или

x \in ( -\infty; -0,5]

Нам подходит вариант решения 4.

Ответ: 4.

Неравенство 3

Укажите решение неравенства

<img src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8cf71036bc7b9e03f2b41d819dae96b3_l3.png" alt="-3-x

  1. (-\infty; -0,8)
  2. (-2; +\infty)
  3. (-\infty;-2)
  4. (-0,8;+\infty)

Решение:

<img src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c19f7bf91510644fade579a967392117_l3.png" alt="-x-4x

<img src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68c87506b6b1aa54a56ce951d293bb84_l3.png" alt="-5x

Сдам гиа решите неравенство-2″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>

Подходит вариант решения 2.

Ответ: 2

Неравенство 4

Укажите множество решений неравенства

4x-5 \geqslant 2x-4

множество решений неравенства 4х-5 2х-4

Решение:

4x-2x \geqslant 5-4

2x \geqslant 1

x \geqslant 0,5

Итак, решение неравенство иллюстрируется графиком 3.

Ответ: 3.

Теперь вы знаете, как решать неравенства, которые даны в части «Алгебра» ОГЭ (ГИА).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Adblock
detector