Skip to content
Решите неравенство 
Спрятать решение
Решение.
Преобразуем неравенство, домножив числитель и знаменатель дроби на
Пусть тогда
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 365.
Решите неравенство 
Спрятать решение
Решение.
Преобразуем неравенство:
Пусть тогда
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Москва. Вариант 1, Задания 14 ЕГЭ–2022
Решите неравенство: 
Спрятать решение
Решение.
Знаменатель дроби не принимает отрицательных значений, поэтому на области определения уравнения числитель должен быть неотрицателен:
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 391.
Решите неравенство 
Спрятать решение
Решение.
Преобразуем неравенство следующим образом:
Пусть тогда:
Вернемся к исходной переменной. Имеем:
откуда получаем:
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ
Решите неравенство: 
Спрятать решение
Решение.
Преобразуем неравенство, перейдя к логарифмам по основанию 2, и воспользуемся методом рационализации,
Заметим, что при функция является возрастающей, тогда
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 381.
Решите неравенство 
Спрятать решение
Решение.
Пусть Неравенство записывается в виде откуда Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
Заметим, что область определения неравенства — интервал (0; 7), а потому на ОДЗ
Это означает, что при всех допустимых значениях х второй множитель отрицателен, поэтому на него можно разделить, изменив знак неравенства на противоположный. Получим:
Учитывая ОДЗ, получаем ответ:
Ответ: (0; 5].
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ
Несмотря на то, что решение неравенств очень напоминает решение уравнений, все-таки неравенства вызывают у школьников больше затруднений.
Ученики часто спрашивают как решать неравенства те или иные, просят оценить решение неравенства, полученное у доски в школе или помочь в решении домашнего задания с неравенством. В основном они связаны не с решением неравенства как такового, а с проблемой записи решения и с проблемой знака неравенства, которое в определенные моменты заменяется на противоположный.
Решение неравенств — это материал, который помогает выявить у экзаменуемого сразу несколько умений и навыков: умение решать уравнения, работать со знаком неравенства, оценить полученное решение с точки зрения постановки неравенства. Поэтому неравенства включены в ОГЭ (ГИА).
Решите неравенство 
Спрятать решение
Решение.
Неравенство определено при то есть при положительных х, отличных от 1, и от На области определения можно использовать формулу что позволяет избавиться от знаменателей и записать неравенство в виде
Далее применим формулу если в этой формуле один из множителей b или с — положительное число, применение формулы допустимо на ОДЗ (если b и с зависят от переменной, применение формулы может привести к потере корней). Получаем:
Пусть тогда
Вернёмся к исходной переменной:
Осталось определить, какие из найденных решений лежат в ОДЗ. Заметим, что и тогда
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 363.
Калькулятор онлайн. Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.
Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также
выводится (оно заключается в спойлер).
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Какие неравенства можно решить?
Примеры подробного решения >>
Правила ввода неравенств
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.
Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Ларин. Тренировочный вариант № 379.
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
В правильной треугольной пирамиде MNPQ с вершиной M сторона основания равна 15, высота равна На ребрах NP, NQ и NM отмечены точки E, F, K соответственно, причем NE = NF = 3 и
а) Докажите, что плоскости EFK и MPQ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости MPQ.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3
Решите неравенство 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4
Шарона Абрамовна планирует взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 10 лет под 3% годовых, второй — на 6 лет под 9% годовых, причем в обоих банках применяется дифференцированная съема погашения кредита (ежегодно долг уменьшается каждый год на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом). В какой банк выгоднее обратиться Шароне Абрамовне и сколько процентов от кредита составит эта выгода?
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
На стороне АВ треугольника АВС взята точка D таким образом, что и Через середину отрезка CD проведена прямая, пересекающая стороны АС и ВС в точках M и N соответственно. Известно, что площадь треугольника MCN равна а расстояние от точки М до прямой АВ в два раза больше расстояния от точки N до этой же прямой.
а) Докажите, что четырехугольник СMDN — параллелограмм.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множеством решений неравенства
является ровно один промежуток числовой прямой.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
7
Настя задумала трехзначное натуральное число n. В результате деления этого числа на сумму его цифр получается натуральное число m.
а) Может ли m = 11?
б) Какое наименьшее число n могла задумать Настя, если известно, что средняя цифра этого числа равна 9, а первая цифра — четная и больше 2?
в) Чему равно наименьшее возможное значение m, если последняя цифра числа n равна 4?
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
Ларин. Тренировочный вариант № 372.
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
Основанием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3
Решите неравенство 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4
В растворе Х содержится 30% вещества А и 50% вещества В, в растворе Y содержится 50% вещества А и 40% вещества В, в растворе Z содержится 80% вещества А и 10% вещества В. В результате смешивания получился раствор, содержащий 60% вещества А. Найдите наименьшее возможное содержание вещества В в получившемся растворе.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке A пересекает первую окружность в точках C и D и диаметр в точке E. На дуге CE, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек C и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N, а вторую пересекает вторично в точке K.
а) Докажите, что MN = NK.
б) Найдите MN, если известно, что CN = 2, ND = 3.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
имеет ровно два решения.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
7
Участники конкурса на лучшую математическую задачу анонимно присылают каждый свою задачу. После публикации все участники дают оценку каждой задаче, кроме своей. В конкурсе принимают участие 6 человек. Каждый участник за лучшую по его мнению задачу дает 5 баллов, за следующую — 4 балла и так далее, за пятую — 1 балл. По каждой задаче баллы суммируются, так определяется рейтинг задачи.
а) Могут ли все рейтинги быть простыми числами?
б) Могла ли сумма четырех наибольших рейтингов быть в три раза больше суммы остальных?
в) Какова минимальная сумма третьего и четвертого рейтингов, если им дали номера в порядке невозрастания?
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»
НЕРАВЕНСТВА
ПРАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
К ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
9 КЛАСС
Составитель:
учитель математики
первой категории Т.Н.Сидорова
СОДЕРЖАНИЕ
1. Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ
(5-10минут).
2. Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.
3. Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.
4. Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.
5. Неравенства. Повышенный уровень.
6. Ответы.
1)Неравенства. Обязательный уровень.
2)Неравенства. Повышенный уровень.
7. Приложение. Контроль знаний.
Неравенства. Устные задания. Задания для самостоятельных работ
(5-10минут).
1. Решите неравенство:
1) | 6) | 11) | 16) |
2) | 7) | 12) | 17) |
3) | 8) | 13) | 18) |
4) | 9) | 14) | 19) |
5) | 10) | 15) | 20) |
2. Решите квадратное неравенство:
1) | 6) | 11) | 16) |
2) | 7) | 12) | 17) |
3) | 8) | 13) | 18) |
4) | 9) | 14) | 19) |
5) | 10) | 15) | 20) |
3. Решите неравенство
1) | 6) | 11) | 16) |
2) | 7) | 12) | 17) |
3) | 8) | 13) | 18) |
4) | 9) | 14) | 19) |
5) | 10) | 15) | 20) |
4. Решите неравенство методом интервалов:
1) | 6) | 11) | 16) |
2) | 7) | 12) | 17) |
3) | 8) | 13) | 18) |
4) | 9) | 14) | 19) |
5) | 10) | 15) | 20) |
1. Решите неравенство:
1) | 6) | 11) | 16) |
2) | 7) | 12) | 17) |
3) | 8) | 13) | 18) |
4) | 9) | 14) | 19) |
5) | 10) | 15) | 20) |
Неравенства. Карточки-задания. Обязательный уровень.
Карточка № 1
3(3x − 1) > 2(5x − 7).
| Карточка № 2
5(x + 4) < 2(4x − 5).
|
Карточка № 3
2(3x − 7) − 5x ≤ 3x − 11.
a)
| Карточка № 4
2x + 4(2x − 3) ≥ 12x − 11.
a) 5(x +4) < 2(4x − 3);
|
Карточка № 5
x − 4(x − 3) < 3 − 6x.
| Карточка № 6
25 − x > 2 − 3(x − 6).
|
Неравенства. Метод интервалов. Карточки- задания.
КАРТОЧКА № 1 Решите неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) | КАРТОЧКА № 2 Решите неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) |
КАРТОЧКА № 3 Решите неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) | КАРТОЧКА № 4 Решите неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) |
КАРТОЧКА № 5 Решите неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) | КАРТОЧКА № 6 Решите неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) |
Неравенства. Алгоритмы-решения. Обязательный уровень.
Задача 1. Решение.
Ответ: | Задача 4. Решение.
Ответ: |
Задача 2. Графический метод Решение. 1) 2)
3) Изобразим эскиз графика. Ответ: | Задача 5. Решение.
Ответ: |
Задача 6. Решить систему неравенств: Решение.
Ответ: решений нет. | |
Задача 3. Метод интервалов.
Решение.
1) 2) 3) 4) Ответ: | Задача 7. Решить неравенство Решение.
1) 2) 3) Ответ: |
Неравенства. Повышенный уровень.
Карточка № 1 1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
2. Решите неравенство:
| Карточка № 2 1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: 2.Решите неравенство:
|
Карточка № 3 1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
2.Решите неравенство:
| Карточка № 4 1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
2.Решите неравенство: |
Карточка № 5 1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
2.Решите неравенство:
| Карточка № 6 1.Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: 2.Решите неравенство:
|
Ответы. Неравенства. Обязательный уровень.
К.№ 1 | К.№ 2 | К.№ 3 | К.№ 4 | К.№ 5 | К.№ 6 | |
1 | ||||||
2а | ||||||
2б | ||||||
3а | ∅ | |||||
3б |
Ответы. Неравенства. Повышенный уровень.
К.№ 1 | К.№ 2 | К.№ 3 | К.№ 4 | К.№ 5 | К.№ 6 | |
1 | ||||||
2 |
Приложение.
Контроль знаний.
Неравенства. Обязательный уровень.
№ п/п | Фамилия имя | № зад. № К. | 1 | 2а | 2б | 3а | 3б |
Контроль знаний.
Неравенства. Повышенный уровень.
№ п/п | Фамилия имя | № зад. № К. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Ларин. Тренировочный вариант № 380.
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SЕ и вершину С, делит ребро SВ в отношении 1 : 3, считая от вершины В.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SА и SЕ и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3
Решите неравенство 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4
На автомобиле стоят два одинаковых номерных знака, которые можно менять местами — один спереди, другой сзади. Знак, стоящий спереди, за 6 лет эксплуатации приходит в негодность и подлежит замене. Знак, стоящий сзади, приходит в негодность за 12 лет. Износ можно считать пропорциональным времени. Какой максимальный срок (в годах) может прослужить один комплект из двух номерных знаков, если своевременно поменять передний и задний номерной знак местами?
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
В трапеции АВСD основания ВС и АD равны 3 и 9 соответственно. Из точки К, лежащей на стороне СD, опущен перпендикуляр КL, на сторону АВ. Известно, что L — середина стороны АВ, СL = 4 и что площадь четырёхугольника АLKD в 3 раза больше площади четырёхугольника ВСКL.
а) Докажите, что прямые ВK и DL параллельны.
б) Найдите длину отрезка DL.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
имеет не более двух решений.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
7
Каждую цифру a натурального числа n заменим последней цифрой числа a3. Полученное в результате такой замены число будем обозначать n* и называть взаимным с числом n. Число, совпадающее со своим взаимным, будем называть особенным.
а) Могут ли два разных натуральных числа иметь одинаковые взаимные числа?
б) Для каких натуральных чисел n будет особенным число Сколько всего существует трехзначных особенных чисел?
в) Решите уравнение 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
Как решать нестрогое неравенство
Нестрогим неравенством называется неравенство, у которого вместо строгого знака «больше» или «меньше», стоит знак «больше или равно» или «меньше или равно». Например, давайте решим нестрогое неравенство. Возьмем простое неравенство, чтобы вы поняли суть вопроса.
Решаем аналогично — только сначала упростим правую часть нашего неравенства. Переносим неизвестные в левую часть неравенства, а известные (числа) в правую часть неравенства:
Упрощаем правую часть:
Посчитаем, получим:
Ответ: .
Обратите внимание на запись ответа. Так как у нас неравенство нестрогое, то число 2 будет входить в решение этого неравенства, поэтому мы его включаем в ответ, отмечая квадратной скобкой.
Вот так: ![x \in [2; + \infty ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3e039e99e761caaa1a0f023c4a7bc37_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Как решать простейшие неравенства из ОГЭ (ГИА)
Итак, первое неравенство:
3х-4<6x-6
Решаем неравенство как уравнение — перенесем все неизвестные в левую часть, а все числа — в правую. Неизвестные — это все выражения с х: 3х и 6х.
3х уже находится слева, а вот 6х — справа, и 6х мы перенесем в левую часть нашего неравенства. Не забываем, что когда мы переносим любые выражения и числа из одной части неравенства, как и равенства, в другую, то мы обязательно меняем знак. То есть слева у нас запишется:
3х-6х.
Что будет справа? Справа останется число -6 (со знаком минус), и еще мы перенесем 4 из левой части в правую. Перед четверкой в левой части неравенства стоит знак минус, значит, при переносе мы получим четверку со знаком +. Смотрите, что получилось:
3х-6х<-6+4
Упростим левую и правую части, получим:
-3х<-2
Если бы у нас вместо неравенства было уравнение: -3х=-2, то x мы бы нашли разделив -2 на -3. Точно также поступают и в неравенстве, но, помнят одно простое правило,
если мы делим или умножаем на отрицательное число (число со знаком минус), то знак неравенства меняется на противоположный.
То есть мы запишем решение нашего неравенства вот так:
<img src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a69d0457f5cb358dc49653c1648b17ca_l3.png" alt="x
Мы поменяли знак, так как делили на отрицательное число — -3. При этом знак бы не менялся, если бы мы делили отрицательное число на положительное. Знак неравенства меняется только тогда — когда отрицательным является число на которое делят или умножают.
Итак, ответ у нас будет таким:
\frac{2}{3}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”23″ width=”46″>.
Немного теории.
Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же
появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д.,
обозначающие результаты сравнения однородных величин.
Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней
Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит
большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру
с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.
Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и < начали лишь в XVII—XVIII вв. Например,
вместо фразы «число а больше числа b» стали писать: а > b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше),
< (меньше), \( \geqslant \) (больше или равно), \( \leqslant \) (меньше или равно), стали называть неравенствами.
Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других.
Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить
задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений.
Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах
математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.
Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование
определённого объекта, например, корня уравнения.
Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего
материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.
Числовые неравенства
Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями,
но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с
помощью нахождения знака их разности.
Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач
сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях
сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.
Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.
Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а < b.
Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а – b положительна, т.е. а – b > 0. Неравенство а < b означает, что а – b < 0.
Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a < b только одно является верным.
Сравнить числа а и b — значит выяснить, какой из знаков >, = или < нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное
соотношение. Это можно сделать, определив знак разности а – b.
Теорема. Если a > b и b > с, то а > с.
Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.
Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия
с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать
задачи оценивания и сравнения значений выражений.
При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом
иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во
второй – более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше
13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.
При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:
Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то
a + c > b + d.
Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается
неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d – положительные числа, то ac > bd.
Неравенства со знаком > (больше) и < (меньше) называют строгими. Например, 5/6 > 1/2, 3/4 < 1, a > b, c < d – строгие неравенства.
Наряду со знаками строгих неравенств > и < используются знаки \( \geqslant \) (больше или равно) и \( \leqslant \) (меньше или равно),
которые называют знаками нестрогих неравенств. Неравенство \( a \leqslant b \) означает, что а < b или а = b, т. е. а не больше b.
Например, если число посадочных мест в самолёте 134, то число а пассажиров может быть меньшим или равным 134. В этом случае можно
записать: \( a \leqslant 134 \)
Точно так же неравенство \( a \geqslant b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.
Неравенства, содержащие знак \( \geqslant \) или знак \( \leqslant \), называют нестрогими. Например,
\( 18 \geqslant 12 , \; 11 \leqslant 12 \) – нестрогие неравенства.
Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными
считались знаки > и <, то для нестрогих неравенств противоположными считаются знаки \( \geqslant \) и \( \leqslant \).
Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы
уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными.
Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.
Неравенства вида
\( ax > b, \quad ax < b, \quad ax \geqslant b, \quad ax \leqslant b \)
в которых а и b — заданные числа, а x — неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным.
Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство
обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет.
Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся
с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.
Решение неравенств второй степени с одной переменной
Неравенства вида
\( ax^2+bx+c >0 \) и \( ax^2+bx+c <0 \),
где x — переменная, a, b и c — некоторые числа и \( a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной.
Решение неравенства
\( ax^2+bx+c >0 \) или \( ax^2+bx+c <0 \)
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \( y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные
значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \( y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости:
куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.
Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \( ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой
направлены вверх при a > 0 или вниз при a < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную
в верхней полуплоскости при a > 0 или в нижней при a < 0;
3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \( ax^2+bx+c >0 \) )
или ниже оси x (если решают неравенство \( ax^2+bx+c <0 \) ).
Решение неравенств методом интервалов
Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х – 3)(х – 5)
Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область
определения функции на промежутки \( (-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \( (5; +\infty) \)
Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.
Выражение (х + 2)(х – 3)(х – 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых
промежутках указан в таблице:
Отсюда ясно, что:
если \( x \in (-\infty;-2) \), то f(x)<0;
если \( x \in (-2;3) \), то f(x)>0;
если \( x \in (3;5) \), то f(x)<0;
если \( x \in (5;+\infty) \), то f(x)>0.
Мы видим, что в каждом из промежутков \( (-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5), \; (5; +\infty) \) функция сохраняет знак,
а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.
Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
\( x(0,5-x)(x+4) < 0 \)
Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.
Ответ:
\( x \in \left( -4; \; 0 \right) \cup \left( 0,5; \; +\infty \right) \)
или
\( -4 < x < 0 ;\;\; x > 0,5 \)
$$ \frac{x+2}{x-1} \leqslant 2 $$
Решение:
$$ \frac{x+2}{x-1} \leqslant 2 \Rightarrow \frac{x+2-2(x-1)}{x-1} \leqslant 0 \Rightarrow \frac{-x+4}{x-1} \leqslant 0 $$
Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.
Решение неравенств из сборника ОГЭ по математике ФИПИ
Неравенство 1
Укажите решение неравенства
![(- \infty; 0]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46e786abe0c6e71077e3a5e95241d3bf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![(- \infty ; -1]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-586a2059caee39442b55ce25b31877f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
Перенесем неизвестные в левую часть неравенства, а известные — в правую часть неравенства:
Посчитаем:
, отсюда
искомый интервал: . Таким образом, из списка предложенных интервалов нам подходит интервал под номером 2.
Ответ 2.
Неравенство 2
Укажите множество решений неравенства:
Решение:
Как обычно, переносим неизвестные влево от знака неравенства, а известные величины — вправо:
Обратите внимание — здесь мы делим отрицательное число. Но делим то мы его на положительное число 6. Поэтому знак неравенства остается прежним!
или
![x \in ( -\infty; -0,5]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5dcca10fc7323a284bb99f3cd8819e3c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Нам подходит вариант решения 4.
Ответ: 4.
Неравенство 3
Укажите решение неравенства
<img src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8cf71036bc7b9e03f2b41d819dae96b3_l3.png" alt="-3-x
Решение:
<img src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c19f7bf91510644fade579a967392117_l3.png" alt="-x-4x
<img src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68c87506b6b1aa54a56ce951d293bb84_l3.png" alt="-5x
-2″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>
Подходит вариант решения 2.
Ответ: 2
Неравенство 4
Укажите множество решений неравенства
Решение:
Итак, решение неравенство иллюстрируется графиком 3.
Ответ: 3.
Теперь вы знаете, как решать неравенства, которые даны в части «Алгебра» ОГЭ (ГИА).