Ответы
Вспоминаем, что по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А еще нужно вспомнить, что в равностороннем треугольнике биссектриса является медианой и высотой, то есть делит угол пополам, сторону пополам, к тому же вертикальна к этой стороне. Собственно, это вся теория, которую нужно знать для заданий, предложенных ФИПИ и изложенных ниже.
Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ
Сначала задачи на чистую теорему Пифагора.
Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841гипотенуза = √ = 29
Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676гипотенуза = √ = 26
Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 202 + 152 = 400 + 225 = 625гипотенуза = √ = 25
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400гипотенуза = √ = 20
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625гипотенуза = √ = 25
Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 182 + 242 = 324 + 576 = 900гипотенуза = √ = 30
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289гипотенуза = √ = 17
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225гипотенуза = √ = 15
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169гипотенуза = √ = 13
Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500гипотенуза = √ = 50
Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10 000гипотенуза = √ = 100
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.гипотенуза2 = 162 + 302 = 256 + 900 = 1156гипотенуза = √ = 34
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 8 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ 172 – 82 = √ 289 – 64 = √ = 15
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ = √ = √ = 12
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 20 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ = √ 625 – 400 = √ = 15
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ = √ = √ = 16
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 5 и 13 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 30 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ = √ = √ = 40
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ = √ = √ = 30
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 15 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ = √ = √ = 12
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ = √ = √ = 9
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 7 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение:По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, катет будет равен корню квадратному из разности квадратов гипотенузы и катета.√ = √ = √ = 24
В следующих заданиях нужно увидеть, что образовался прямоугольный треугольник. Далее используем свойства биссектрисы/медианы и проводим вычисления по теореме Пифагора.
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена высота, а высота перпендикулярна стороне, на которую проведена, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике высота является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и высота – катетом.с = 14√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 14√ = 14 * 3/2 = 21
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите медиану этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена медиана, а медиана в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и медиана – катетом.с = 16√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 16√ = 16 * 3/2 = 24
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена биссектриса, а биссектриса в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике биссектриса является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и биссектриса – катетом.с = 12√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 12√ = 12 * 3/2 = 18
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите медиану этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена медиана, а медиана в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и медиана – катетом.с = 14√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 14√ = 14 * 3/2 = 21
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена биссектриса, а биссектриса в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике биссектриса является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и биссектриса – катетом.с = 16√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 16√ = 16 * 3/2 = 24
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена высота, а высота перпендикулярна стороне, на которую проведена, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике высота является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и высота – катетом.с = 12√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 12√ = 12 * 3/2 = 18
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена биссектриса, а биссектриса в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике биссектриса является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и биссектриса – катетом.с = 14√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 14√ = 14 * 3/2 = 21
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена высота, а высота перпендикулярна стороне, на которую проведена, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике высота является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и высота – катетом.с = 16√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 16√ = 16 * 3/2 = 24
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите медиану этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена медиана, а медиана в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора.Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и медиана – катетом.с = 12√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 12√ = 12 * 3/2 = 18
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите медиану этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена медиана, а медиана в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора.Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и медиана – катетом.с = 10√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 10√ = 10 * 3/2 = 15
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена высота, а высота перпендикулярна стороне, на которую проведена, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике высота является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и высота – катетом.с = 10√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 10√ = 10 * 3/2 = 15
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение:Поскольку проведена биссектриса, а биссектриса в равностороннем треугольнике является высотой, образовалось 2 прямоугольных треугольника. К любому из них можно применить теорему Пифагора. К тому же в равностороннем треугольнике биссектриса является медианой, то есть делит сторону пополам. Значит, сторона равностороннего треугольника будет гипотенузой прямоугольного треугольника, половинка стороны – катетом, и биссектриса – катетом.с = 10√, b = с/2, а – ? По теореме Пифагора а2 + b2 = с2 а2 = с2 – b2a = √/2 * 10√ = 10 * 3/2 = 15
Высота равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение:c = 2/√ * 13√ = 2 * 13 = 26
Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение:c = 2/√ * 12√ = 2 * 12 = 24
Медиана равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение:c = 2/√ * 12√ = 2 * 12 = 24
Биссектриса равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Высота равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение:c = 2/√ * 11√ = 2 * 11 = 22
Медиана равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение:c = 2/√ * 11√ = 2 * 11 = 22
Биссектриса равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.
Высота равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение:c = 2/√ * 9√ = 2 * 9 = 18
Медиана равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение:c = 2/√ * 9√ = 2 * 9 = 18
Биссектриса равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и
— два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и
и равными острыми углами А и
Треугольники АВС и
подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Из этих равенств следует, что
т. е. sin А = sin
т. е. cos А = cos
т. е. tg A = tg
Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , sin A = cos B = 0,1.
. В треугольнике угол равен , , .
Найдем AC по теореме Пифагора.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против
Значит, sin A
Катет, прилежащий к
– это катет АС, следовательно, cos А
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:
Ответ: 0,92; 0,42.
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен
AC = 2, sin A=
AC = b = 2, BC = a, AB = c.
Так как sin A
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен
AC = b = 4, tg A
CH – высота, AB = 13, tg A =
AВ = с = 13, tg A =
(по двум углам), следовательно
Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен
CH – высота, BC = 3, sin A =
Так как sin A =
= cos B =
тогда BH =
AH = AB – BH = 18 – 0,5 = 17,5.
Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BC = 3, cos A =
Так как для
sin В =
ВНС: sin В =
, откуда СН =
По теореме Пифагора найдем ВН:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для
Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90
По определению sin A=
ВС найдем по теореме Пифагора:
а значит и sin A =
Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90
По определению sin A =
тогда tg A =
который найдем из
Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BН = 12, tg A =
По определению tg A=
АHC: tg A=
Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BН = 12, sin A =
Так как cos В =
= sin A =
СВН имеем cos В =
тогда ВС =
АВС имеем sinA =
тогда AВ =
Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90
Найдем НВ по теореме Пифагора из
АВС: cos A =
получили cos A = 0,6.
Найдем АС и АВ несколькими способами.
Так как cos A =
тогда по теореме Пифагора
х = 5 ( так как х
(по двум углам), значит
(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда
АН = 144:16 = 9.
АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.
По теореме Пифагора найдем АС:
Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.
Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.
Найдите АВ и cos А.
cos C =
АВС: sin А =
= cos C =
АНВ: sin А =
Из основного тригонометрического тождества найдем
Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.
Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =
Найдите площадь треугольника.
АСЕ sin А =
Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника равна S =
В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.
Найдем АС по теореме Пифагора из
Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A =
Так как АС = ВС, то
высота СН является медианой, то есть АН = НВ =
Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90
AC = 10
Поскольку sin A =
то можно обозначить
ВС = 11х, АВ = 14х.
(14х- 11х)(14х + 11х) = 3
следовательно, АВ = 14
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
По определению cos A =
Так как АС=10
откуда АВ =
Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит,
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО =
а катет ВО =
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
угол А равен 30
Найдите высоту CH.
По свойству катета, лежащего против угла
имеем ВС =
следовательно, ВН =
По теореме Пифагора найдем НС:
CH — высота, АВ = 2,
АВС найдем ВС =
АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30
АН = АВ — НВ = 2 –
Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Если вам понравился разбор данной темы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.06.2023
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.
5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$
6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В$: $АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.
Для острого угла $А$: $ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.
1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
$sin BOA=sin BOC;$
$cos BOA=-cos BOC;$
$tg BOA=-tg BOC;$
$ctg BOA=-ctg BOC.$
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то
Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:
Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:
Подставим найденное значение в формулу косинуса
$cos ABD = – 0,3$
Распишем синус угла $А$ по определению:
Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.
Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$
Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$
В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.