Окружность, описанная около треугольника
. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или .
Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства.
Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность.
Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью.
Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.
ЕГЭ 6. Вписанная окружность
В этом видео мы узнаем, что такое вписанная окружность, где находится её центр, и другие свойства.
В какие фигуры можно, а в какие нельзя вписать окружность. Научимся решать задачи на вписанную окружность.
Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
. Рассмотрим произвольную точку , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку (рис.2), и докажем, что треугольники и равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты и равны, а катет является общим. Из равенства треугольников и вытекает равенство отрезков и . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки и лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой .
Докажем, что отрезок длиннее отрезка . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки и лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки и лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок длиннее отрезка . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.
Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.
Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.
Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.
Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.
Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.
Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.
Теорема 5. Радиус окружности
, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами
, вычисляется по формуле:
Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Напомним определение правильного многоугольника:
Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.
Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.
Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен
А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
Докажем эту теорему.
У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.
Пусть в правильном треугольнике
, точка О – центр вписанной и описанной окружностей,
— медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки
в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда
Из треугольника АВН получаем, что длина стороны
Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника —
Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник
Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.
Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.
Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.
Длина стороны равностороннего треугольника
– вписанной и
— сторона треугольника.
Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.
Вот две полезные формулы для площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
где — полупериметр,
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
R — радиус описанной окружности
Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.
Выразим площадь треугольника двумя разными способами:
– полупериметр треугольника, a
, а диаметр окружности равен
Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что .
В ответ запишем .
Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике
, а угол
По теореме синусов
Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике
угол А равен
, а угол В –
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
, если сторона
Зная, что сумма углов треугольника равна
Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем .
Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике
, проведенная к основанию
, является медианой. Значит,
находится по теореме Пифагора из треугольника
– это сумма длин сторон, т.е.
Радиус вписанной окружности r найдем по формуле
Задача 9, ОГЭ. Стороны
равны 6 и
. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника
Найдем длину стороны
по теореме косинусов, используя длины сторон
и косинус угла В, противолежащего стороне
Теперь воспользуемся теоремой синусов:
Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника
, равен 6.
Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.
Пусть длина радиуса описанной окружности
, а длина радиуса вписанной окружности
Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.
Пусть радиус вписанной окружности
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике
Площадь находится по формуле
Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.
Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник
вторично пересекает описанную около треугольника
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника
, если радиус окружности, описанной около треугольника
О – центр вписанной окружности, значит,
– биссектрисы углов
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу
– внешний угол треугольника
, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е.
, следовательно, треугольник
По теореме синусов для треугольника
Найдем угол С из треугольника
как вписанные углы, опирающиеся на дугу
находится по формуле:
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
Если вам понравился наш материал – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.06.2023
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам и треугольника , и обозначим точку их пересечения буквой (рис. 6).
Поскольку точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
CO = AO .
Поскольку точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
AO = BO .
Следовательно, справедливо равенство:
CO = BO ,
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
. Рассмотрим точку , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
AO = OB = OC ,
из которого вытекает, что окружность с центром в точке и радиусами , , проходит через все три вершины треугольника , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)
. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса хорды окружности радиуса , на которую опирается вписанный угол величины , вычисляется по формуле:
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Угол , как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника получаем (рис.7):
Теорема синусов доказана.
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Доказательство теоремы
Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.
Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Смотри, вот так:
Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему.
Если ты читал уже тему «Биссектриса» разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.
Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).
Геометрическое место точек, обладающих свойством «( displaystyle X)» — такое множество точек, что все они обладают свойством «( displaystyle X)» и никакие другие точки этим свойством не обладают.
А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют.
В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:
Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.
Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство «( displaystyle X)» — это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».
Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:
Проверим 1. Пусть точка ( displaystyle M) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ( displaystyle AB).
Соединим ( displaystyle M) с ( displaystyle A) и с ( displaystyle B).Тогда линия ( displaystyle MK) является медианой и высотой в ( displaystyle Delta AMB).
Значит, ( displaystyle Delta AMB) – равнобедренный, ( displaystyle MA=MB) – убедились, что любая точка ( displaystyle M), лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек ( displaystyle A) и ( displaystyle B).
Теперь 2. Почти точно так же, но в другую сторону. Пусть точка ( displaystyle M) равноудалена от точек ( displaystyle A) и ( displaystyle B), то есть ( displaystyle MA=MB).
Возьмём ( displaystyle K) – середину ( displaystyle AB) и соединим ( displaystyle M) и ( displaystyle K). Получилась медиана ( displaystyle MK). Но ( displaystyle Delta AMB) – равнобедренный по условию ( displaystyle (MA=MB)Rightarrow MK) не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка ( displaystyle M) — точно лежит на серединном перпендикуляре.
Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.
Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».
А теперь, внимание!
Отсюда следует сразу несколько вещей:
Описанная окружность — подробнее
Описанная окружность – такая окружность, что проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана.
Свойства и центр описанной кружности
И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:
Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.
Почему этот факт удивительный?
Потому что треугольники ведь бывают разные!
И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины, то есть описанная окружность.
Доказательство этого удивительного факта мы приведем чуть позже, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины.
Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!
А есть только для прямоугольника:
Подробнее об этом смотри в статье о вписанных четырехугольниках!
Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.
Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?
Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.
Прямая ( displaystyle a) – это серединный перпендикуляр к отрезку ( displaystyle AB).
А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.
Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок – все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке ( displaystyle O).
Это и есть центр описанной около (вокруг) треугольника ( displaystyle ABC) окружности.
Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе – вовсе не всегда!
Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи!
А вот если остроугольный, то внутри:
Что же делать с прямоугольным треугольником?
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Если треугольник – прямоугольный, то не надо строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов!
Да ещё с дополнительным бонусом:
В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть ответ на этот вопрос: так называемая теорема синусов.
Ну и, конечно,
Так что ты теперь всегда сможешь найти и центр , и радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол.
Хорошая формула? По-моему, просто отличная!