На рисунке изображён график функции f (x)=ax^2+bx+c. Найдите c.
Рисунок к задаче. На рисунке изображен график функции f (x)
Нам даны точные координаты четырех точек — они отмечены на рисунке точками. Это точки с координатами (3; -1), (4; -4), (5; -3), (6; 2).
Координаты точек на графике.
В уравнении три неизвестных, значит, нам достаточно взять три точки и подставить их координаты в уравнение функции, а затем решить полученную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
От второго уравнения системы отнимем первое уравнение:
Теперь отнимем от (3) -го (2) -е уравнение, получим:
И нашу систему можно записать в виде:
Теперь из (3) вычтем (2):
Найдем из равенства: ;
подставим в (1):
9 cdot 2+3 cdot (-17)+c=-1
Уравнение функции тогда
Проверим правильность найденной функции, подставив в полученное уравнение координаты четвертой точки (6; 2), которые мы не использовали для составления системы уравнений:
2=2 (6)^2-17 cdot 6+32
Все верно. Таким образом, значение с=32.
( 3 оценки, среднее 3.67 из 5 )
С вопросами, комментариями, мнением об экзаменах обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
И, пожалуйста, напишите об ошибке, если обнаружите таковую в моих решениях.
Внимание: Начало темы находится на странице “О перспективном варианте ЕГЭ 2022 по математике. Профильный уровень.” Здесь размещаются дополнительные способы решения отдельных заданий, предложенные пользователями сайта.
Задание 3.
На рисунке изображён график функции вида (f(x)= ax^2 + bx + c,) где числа (a, b; и ;c) — целые. Найдите значение (f(-12)).
Решение. Способ II.
Задание 11.
Спасибо Галине Дмитриевне Михайлиной за предложение использовать геометрическую интерпретацию комплексного числа. Технически это более быстрый способ решения, чем представленный ранее.
Комплексное число изображается точкой на координатной плоскости. На рисунках точка M(−4;1) соответствует числу (-4+i), точка N(4;7) – числу (4+7i). Искомое число z находится на срединном перпендикуляре к отрезку MN.
Рисунок 1 поясняет это утверждение: модуль разности двух чисел это расстояние между ними; в том случае, когда одно из чисел фиксировано, а второе переменная, то её значения, заданные модулем разности, располагаются на окружности с центром в известной точке. В нашем случае модули равны, соответственно мы рассматриваем пары окружностей одинакового радиуса. Равенство возможно для одного и того же значения переменной z, если эти окружности касаются или пересекаются, т.е. в точках срединного перпендикуляра.
Замечание. В самом деле “Известные катеты KO = 4 и OL = 3” – это сильное утверждение. Они не известные, а найденные путём построения и, соответственно, их величины зависят от точности этого процесса. Например, пересечение оси ординат прямой KL, вы можете увидеть не в точке 4, а ниже или выше узла, в точке 3,8 или 4,2. Надеюсь, что в первой части ЕГЭ по математике, к которой будет относиться эта задача, разработчики вариантов будут ориентироваться на целые числа и хорошо просматриваемые на клетках значения, но студентов, изучающих аналитическую геометрию, хочу предостеречь – в аналогичных заданиях ваших контрольных могут быть “некруглые” числа. Для проверки видимых значений используйте их подстановку в уравнения прямых.
ЕГЭ по математике профильный уровень На рисунке изображены части графиков функций f (x)=k/x и g (x)=c/x+d. Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций
Задание из сборника типовых экзаменационных заданий под редакцией И.В. Ященко по ЕГЭ профильного уровня 2023 год. Взято только условие. Подробное решение приведено ниже. Задача объемная, но простая. Важно знать функции и их графики, геометрический смысл коэффициентов.
На рисунке изображены части графиков функций g (x) и f (x)
Для точного определения функции, необходимо знать значения коэффициентов
расположен ниже графика
так как он не смещен в вертикальном направлении и не пересекает ось
Определение координат точек функций
Для него возьмем точки с координатами
Определим для первой функции
, подставив в нее координаты точки
Отсюда находим, что
Проверим, используя координаты второй точки:
Итак, первая функция определена:
Определим вид второй функции. В ней две неизвестных, поэтому необходимо решить систему из двух уравнений, каждое из которых получается, если в исходное уравнение
На графике находим координаты двух точек:
Из первого уравнения системы выразим
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
Упростим и найдем
Итак, вторая функция будет иметь вид:
Нам в задаче нужно найти абсциссу точки пересечения графиков двух функций. То есть найти координату
Если графики пересекаются, то в точке пересечения равны и абсциссы (
) и ординаты (
Если левые стороны уравнений функций равны, то равны и правые:
Решим полученное уравнение:
. Сделаем проверку. Подставим значение
сначала в первое уравнение, потом во второе уравнение. Значения
Задача решена верно.
Посмотрите, если построить графики этих функций, то вот где будет точка их пересечения.
Графики функций f (x) и g (x) и их пересечение, зеленым цветом выделен график функции f (x), а красным — g (x).
Похожая задача решена здесь.
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Задание № 7. Производная функции.
26. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
27. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены десять точек: x. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
28. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены девять точек на оси абсцисс: x. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
29. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмеченышесть точек на оси абсцисс: x. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
30. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено шесть точек: x. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
31. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено семь точек: x. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?
32. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
33. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: xэтих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?
34. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки − 1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
35. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки − 2, − 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
36. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
37. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
46. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
47. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
48. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 2; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
49. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=−2x−10 или совпадает с ней.
50. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 4; 13). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=14.
1. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
2. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
3. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
4. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
5. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
6. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
7. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
8. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в
9. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
10. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
11. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной в точке 8.
16. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
17. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
18. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
20. На рисунке изображён график функции y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (2; 13). Найдите точку максимума функции f(x).
21. На рисунке изображён график функции y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 3). Найдите точку минимума функции f(x).
22. На рисунке изображён график функции y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).
23. На рисунке изображён график функции y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 5; 5). Найдите точку максимума функции f(x).
24. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
25. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Критерии оценивания 2 части ЕГЭ по математике профильного уровня ФИПИ
ответы математикответ математикаответы по математике классматематика класс учебник ответы
ЕГЭ профильный уровень