Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.
Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.
Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.
Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.
Смотри также материал: Как быстро выучить формулы
В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам
1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Величина вписанного угла
3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на
Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:
Осталось умножить найденное значение синуса на
4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:
5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции
Нахождение площадей многоугольников сложной формы
А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.
6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.
. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:
7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:
Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.
Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1
где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.
Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.
Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:
Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.
Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 – 1 = 10,5.
Выбирайте — какой способ вам больше нравится.
8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.
Площадь каждого из больших треугольников равна
Площадь каждого из маленьких треугольников равна
Тогда площадь четырехугольника
9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки
На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь вырезанного квадрата равна 4.
Площадь фигуры равна 36 – 4 = 32.
Площадь круга, длина окружности, площадь части круга
Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.
Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.
10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .
, следовательно, длина дуги в
раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в
раз меньше, чем полный круг (то есть
градусов). Значит, и площадь сектора будет в
раз меньше, чем площадь всего круга.
11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.
На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще
круга, то есть
Значит, нам надо умножить площадь круга на
12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.
, то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в
раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 – 9 = 7.
Задачи на координатной плоскости
13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).
Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда
14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты
На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
07.06.2023
Это задание из ОГЭ по математике предлагает найти площади, углы, длины геометрических фигур, нарисованных на фоне в клетку. Задание 18 с кратким ответом, в ответ идет только число.
Реальные задания №18 по геометрии из банка ФИПИ
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=6/2=3.Ответ: 3
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=6/4=1,5.Ответ: 1,5
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=5/4=1,25.Ответ: 1,25
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=5/2=2,5.Ответ: 2,5
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=4/1=4.Ответ: 4
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=4/5=0,8.Ответ: 0,8
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=3/5=0,6.Ответ: 0,6
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=2/4=0,5.Ответ: 0,5
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=2/5=0,4.Ответ: 0,4
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=1/5=0,2.Ответ: 0,2
Решение:Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=1/4=0,25.Ответ: 0,25
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 6*4=12Ответ: 12
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 10*2=10Ответ: 10
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 6*8=24Ответ: 24
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 6*2=6Ответ: 6
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 8 * 4 = 16Ответ: 16
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 12 * 6 = 36Ответ: 36
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 8 * 2 = 8Ответ: 8
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 10 * 4 = 20Ответ: 20
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 10 * 8 = 40Ответ: 40
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 10 * 6 = 30Ответ: 30
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 12 * 4 = 24Ответ: 24
Решение:Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 1/2 * 12 * 2 = 12Ответ: 12
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три точки: A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC.
Решение:Находим середину ВС, проводим к ней прямую от точки А, считаем клетки.Ответ: 3
Решение:Находим середину ВС, проводим к ней прямую от точки А, считаем клетки.Ответ: 5
Решение:Находим середину ВС, проводим к ней прямую от точки А, считаем клетки.Ответ: 1
Решение:Находим середину ВС, проводим к ней прямую от точки А, считаем клетки.Ответ: 2
Решение:Находим середину ВС, проводим к ней прямую от точки А, считаем клетки.Ответ: 4
Решение:Находим середину ВС, проводим к ней прямую от точки А, считаем клетки.Ответ: 6
Решение:Находим середину ВС, проводим к ней прямую от точки А, считаем клетки.Ответ: 8
Решение:Находим середину ВС, проводим к ней прямую от точки А, считаем клетки.Ответ: 7
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 4
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три точки: A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 6
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 5
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 2
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 7
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 1
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 4
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 3
Решение:Проводим перпендикуляр от точки А к ВС, считаем клетки.Ответ: 8
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение:Из рисунка видно, что длина стороны AC равна 6. Длина средней линии равна половине длины стороны AC, следовательно, 3.Ответ: 3
Решение:Из рисунка видно, что длина стороны AC равна 10. Длина средней линии равна половине длины стороны AC, следовательно, 5.Ответ: 5
Решение:Из рисунка видно, что длина стороны AC равна 4. Длина средней линии равна половине длины стороны AC, следовательно, 2.Ответ: 2
Решение:Из рисунка видно, что длина стороны AC равна 8. Длина средней линии равна половине длины стороны AC, следовательно, 4.Ответ: 4
Решение:Из рисунка видно, что длина стороны AC равна 6. Длина средней линии равна половине длины стороны AC, следовательно, 3.Ответ: 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение:Катет – сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.Ответ: 6
Решение:Катет – сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.Ответ: 8
Решение:Катет – сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.Ответ: 7
Решение:Катет – сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.Ответ: 8
Решение:Катет – сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.Ответ: 4
Решение:Катет – сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.Ответ: 9
Решение:Катет – сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.Ответ: 5
Решение:Катет – сторона, прилежащая к прямому углу. Посчитаем клетки в большем катете.Ответ: 10
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (1+7) : 2 = 4Ответ: 4
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (6+10) : 2 = 8Ответ: 8
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (4+8) : 2 = 6Ответ: 6
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (2+10) : 2 = 6Ответ: 6
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (3+7) : 2 = 5Ответ: 5
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (2+8) : 2 = 5Ответ: 5
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (1+5) : 2 = 3Ответ: 3
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (2+6) : 2 = 4Ответ: 4
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (1+9) : 2 = 5Ответ: 5
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (3+9) : 2 = 6Ответ: 6
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (5+9) : 2 = 7Ответ: 7
Решение:Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований, т. е. (4+10) : 2 = 7Ответ: 7
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение:Диагональ – прямая линия, соединяющая вершины двух углов, не прилежащих к одной стороне. Находим большую. Считаем клеточки.Ответ: 10
Решение:Диагональ – прямая линия, соединяющая вершины двух углов, не прилежащих к одной стороне. Находим большую. Считаем клеточки.Ответ: 6
Решение:Диагональ – прямая линия, соединяющая вершины двух углов, не прилежащих к одной стороне. Находим большую. Считаем клеточки.Ответ: 8
Решение:Диагональ – прямая линия, соединяющая вершины двух углов, не прилежащих к одной стороне. Находим большую. Считаем клеточки.Ответ: 12
Решение:Диагональ – прямая линия, соединяющая вершины двух углов, не прилежащих к одной стороне. Находим большую. Считаем клеточки.Ответ: 12
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 6 * 3 = 9Ответ: 9
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 8 * 5 = 20Ответ: 20
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 8 * 3 = 12Ответ: 12
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 6 * 5 = 15Ответ: 15
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 5 * 10 = 25Ответ: 25
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 8 * 9 = 36Ответ: 36
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 5 * 4 = 10Ответ: 10
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 7 * 6 = 21Ответ: 21
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 4 * 3 = 6Ответ: 6
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 7 * 8 = 28Ответ: 28
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 10 * 7 = 35Ответ: 35
Решение:Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основаниюS = 1/2 * 7 * 2 = 14Ответ: 14
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (7+3) * 4= 20Ответ: 20
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (4+8) * 7= 42Ответ: 42
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (4+8) * 3 = 18Ответ: 18
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (5+9) * 2= 14Ответ: 14
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (5+9) * 4= 28Ответ: 28
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (3+7) * 5= 25Ответ: 25
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (5+9) * 5= 35Ответ: 35
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (2+6) * 7= 28Ответ: 28
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (4+8) * 6= 36Ответ: 36
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (2+6) * 3= 12Ответ: 12
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (3+7) * 2= 10Ответ: 10
Решение:Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высотуS = 1/2 * (3+7) * 6= 30Ответ: 30
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 7 * 4 = 28Ответ: 28
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 5 * 2 = 10Ответ: 10
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 5 * 4 = 20Ответ: 20
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 6 * 3 = 18Ответ: 18
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 6 * 6 = 36Ответ: 36
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 3 * 7 = 21Ответ: 21
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 5 * 7 = 35Ответ: 35
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 7 * 2 = 14Ответ: 14
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 6 * 5 = 30Ответ: 30
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 7 * 6 = 42Ответ: 42
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 4 * 3 = 12Ответ: 12
Решение:Площадь параллелограмма равна произведению основания на проведенную к нему высотуS = 5 * 5 = 25Ответ: 25
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите её площадь.
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 14
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 8
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 15
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 10
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 13
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 16
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 9
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 17
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 19
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 18
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 12
Решение:Считаем клетки внутри фигуры.Ответ: 11