Какой отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны называется его медианой

У треугольника есть много интересных и важных понятий, одно из которых – медиана. Многие из нас слышали это слово и знают его значение, но не все могут точно объяснить, что такое медиана треугольника. В данной статье мы рассмотрим это понятие более подробно и расскажем о его свойствах и особенностях.

Что такое медиана треугольника?

Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. То есть, в треугольнике ABC, медиана, исходящая из точки A, соединяет вершину A с серединой стороны BC. Каждый треугольник имеет три медианы, и все они пересекаются в одной точке, называемой центром масс треугольника или точкой пересечения медиан. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, то есть, расстояние от вершины до центра масс треугольника в два раза больше, чем расстояние от центра масс до середины стороны.

Свойства медиан треугольника

Разделяющая функция

Медианы разделяют треугольник на шесть равных треугольников. То есть, каждая медиана делит площадь треугольника на две равные части.

Центральная ось симметрии

Медианы являются центральными осями симметрии треугольника. Если отразить треугольник относительно одной из медиан, то полученный треугольник будет совпадать с изначальным, то есть, он будет симметричным относительно данной медианы.

Угол между медианой и стороной

Медиана треугольника делит угол между вершиной и противоположной стороной на два равных угла.

Это только некоторые из свойств медиан треугольника, которые делают их важными и интересными элементами геометрии.

Заключение

Таким образом, медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы разделяют треугольник на шесть равных треугольников и являются центральными осями симметрии. Они также делят угол между вершиной и противоположной стороной на два равных угла.

Часто задаваемые вопросы о медианах треугольников

  1. Зачем нужны медианы в геометрии?
  2. Как найти центр масс треугольника с помощью медиан?
  3. Какие еще свойства имеют медианы треугольника?
  4. Отыскать доказательства свойств медиан треугольника.
  5. Примеры задач, в которых используются медианы треугольника.

Введение

Медианы являются одним из основных понятий в геометрии, связанных с треугольниками. Они делиты каждую сторону треугольника на две равные части и пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести треугольника. В этой статье мы рассмотрим основные свойства медианы треугольника и их важность в математике.

Определение медианы треугольника

Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. То есть, в треугольнике ABC, медиана, исходящая из точки A, соединяет вершину A с серединой стороны BC. Каждый треугольник имеет три медианы, и все они пересекаются в одной точке, называемой центром масс треугольника или точкой пересечения медиан.<vector>

  • Угол между сторонами и называется углом при вершине
  • Угол между сторонами и называется углом при вершине
  • Угол между сторонами и называется углом при вершине

Формулы для вычисления площади треугольника

Площадь треугольника можно вычислить различными способами, в зависимости от известных данных:

Известные данныеФормула
Длины всех сторонФормула Герона: = sqrt(p · (p – a) · (p – b) · (p – c)), где – полупериметр треугольника, p = (a + b + c) / 2
Длины двух сторон и угол между нимиФормула для вычисления площади через синус угла: = (a · b · sin(С)) / 2
Координаты вершин треугольникаФормула Гаусса: = 1/2 *
Координаты вершин и длины сторон треугольникаФормула площади через координаты вершин: = 1/2 *

Вывод

Треугольник является одной из основных фигур в геометрии. Его свойства и параметры, такие как медианы, центр тяжести и площадь, играют важную роль в математике и ее применениях. Понимание этих концепций поможет вам лучше понять геометрию и решать задачи, связанные с треугольниками.

Величины углов и периметр треугольника

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от 0° до 180°.

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

По виду наибольшего угла

| Треугольник | Количество осей симметрии | Количество пар равных сторон |

Медианы, высоты, биссектрисы

Медианы в треугольнике

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.

Высоты треугольника

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Биссектрисы треугольника

Биссектрисой (биссектором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Описанная и вписанная окружности

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанные (зелёные)

Окружности в треугольнике

Окружность, описанная около треугольника, и вписанная окружность играют важную роль в геометрии. Вписанная окружность – это окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника. Она единственна и ее центр называется инцентром, совпадающим с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Формулы для вычисления радиусов описанной и вписанной окружностей:

  1. Описанная окружность:

    Радиус описанной окружности – $R = \dfrac{abc}{4S}$, где $S$ – площадь треугольника, $a, b, c$ – стороны треугольника.

  2. Вписанная окружность:

    Радиус вписанной окружности – $r = \dfrac{S}{p}$, где $p$ – полупериметр треугольника.

Еще два полезных соотношения:

  • Расстояние от центра описанной окружности до стороны треугольника: $d = \dfrac{abc}{4R}$.

  • Расстояние от ортоцентра до вершин треугольника: $d = 2R\cos A$.

Признаки равенства и информация о треугольниках

Различные признаки равенства треугольников включают:

  1. Равенство по двум сторонам и углу между ними
  2. Равенство по стороне и двум прилежащим углам
  3. Равенство по трем сторонам
  4. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Также в сферической геометрии и геометрии Лобачевского, треугольники равны, если равны их три угла.

Основные свойства и теоремы о треугольниках

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны. Сумма углов треугольника всегда равна 180°.

Теоремы о треугольниках также включают:

  • Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180°.
  • Теорема о проекциях: вычисление неизвестных характеристик треугольника и решение треугольников исходя из известных данных.

Реализация теорем в практике

Для решения треугольников используются ключевые понятия и формулы, такие как:

  • Площадь треугольника связана с его основными элементами.
  • Для площади справедливы некоторые неравенства.
  • Все эти факты относятся к евклидовой геометрии.

Другие фигуры в треугольнике

В треугольнике также существуют различные вписанные и описанные фигуры, такие как:

  • Изогональные сопряжения линий треугольника

Изучение этих форм и соотношений поможет вам лучше понять геометрию и решать задачи, связанные с треугольниками.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

(второе тождество для тангенсов)

(первое тождество для синусов)

(второе тождество для синусов)

(тождество для косинусов)

(тождество для отношения радиусов)

Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение получается тождество для котангенсов:

по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (xB, yB) и C = (xC, yC), то площадь может быть вычислена в виде от абсолютного значения определителя:

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках

Введём вектор площади Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим где — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом:

Площадь треугольника равна

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через и и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через и , тогда получим формулу:

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), то площадь может быть вычислена по формуле

Треугольник в неевклидовых геометриях

Свойства треугольника со сторонами и углами

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

На плоскости Лобачевского

Для треугольника со сторонами , и углами

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Связь суммы углов с площадью треугольника

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне:

В случае треугольника эйлерова характеристика Углы — это внешние углы треугольника. Значение величины (гауссовой кривизны) — это для евклидовой геометрии, для сферы, для плоскости Лобачевского.

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Треугольник в римановой геометрии

△ U+25B3 white up-pointing triangle

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.

  • Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.

  • Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.

Медиана треугольника – один из важнейших элементов геометрии, позволяющий решать множество задач на вычисление углов, сторон, площадей и других характеристик треугольника. Понимание свойств медианы помогает при доказательстве теорем и утверждений, а также имеет прикладное значение в физике при вычислении центра масс системы. Давайте подробно разберем, как определяется медиана треугольника, какие свойства она имеет и где применяется на практике.

Итак, медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

На рисунке ниже изображен треугольник ABC. Отрезок AM, соединяющий вершину A с серединой стороны BC, является медианой этого треугольника.

У каждого треугольника есть ровно три медианы – по числу вершин и сторон. Каждая медиана исходит из вершины треугольника и устремлена к середине противолежащей стороны.

Как отличить медиану от других отрезков в треугольнике?

Чтобы понять, какой отрезок называется медианой треугольника, нужно проверить два условия:

Если эти два условия выполнены – перед нами медиана. Иначе – это может быть высота треугольника, биссектриса или просто произвольный отрезок.

Вычисление элементов треугольника через медиану

Зная свойства медианы треугольника, можно вычислить его стороны, углы, высоты, площадь и другие элементы. Рассмотрим примеры.

Вычисление длины стороны треугольника

Длину стороны треугольника можно найти через соответствующую медиану по формуле:

где b – искомая длина стороны, m – длина медианы, a – длина другой стороны треугольника.

Вычисление углов треугольника

Если известно, что медиана является также биссектрисой или высотой треугольника (например, в равнобедренном треугольнике), можно вычислить углы при вершинах.

Площадь треугольника можно выразить через его медиану по формуле:

где S – площадь, m – длина медианы, h – длина высоты.

Построение равнобедренного треугольника с заданной медианой

Часто бывает необходимо построить равнобедренный треугольник, у которого известна длина медианы. Алгоритм следующий:

Построение медианы в произвольном треугольнике производится аналогично, но без построения перпендикуляра.

Применение свойств медианы при решении задач

Рассмотрим примеры использования свойств медианы треугольника при решении геометрических задач.

Задача на вычисление углов

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Какой отрезок называется медианой к основанию равнобедренного треугольника? Это медиана, являющаяся также высотой и биссектрисой. Зная, что медиана BM делит угол AMC пополам, можно найти этот угол, если известен угол ABC:

Решение: ∠AMC = 1/2 ∠ABC = 40°. Ответ: ∠AMC = 40°.

Задача на вычисление длины стороны

Дан треугольник ABC с медианой BL длиной 5 см. Найти длину стороны AC, если известно, что она на 2 см больше стороны AB. Из формулы для нахождения стороны через медиану получаем:

Решив это уравнение, находим искомую длину: AC = 8 см.

Задача на вычисление площади

Дан треугольник ABC с медианой BL = 6 см, опущенной на сторону AC. Найти площадь треугольника, если известно, что высота CH = 4 см. По формуле вычисления площади через медиану и высоту имеем:

Отсюда находим: S = 12 кв.см. Таким образом, зная свойства медиан, можно находить различные характеристики треугольника.

История открытия свойств медианы

Медиана как элемент треугольника известна с глубокой древности, однако ее свойства были открыты значительно позже.

Открытие точки пересечения медиан

Тот факт, что три медианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом, был впервые доказан древнегреческим математиком Фалесом Милетским в VI веке до н.э.

Установление отношения деления медианы

Свойство, согласно которому медиана делится точкой пересечения в отношении 2:1, было доказано значительно позднее – только в XVII веке французским математиком Блезом Паскалем.

Вывод формулы для вычисления медианы

Формула, позволяющая вычислить длину медианы через длины сторон треугольника, была получена в рамках теоремы, доказанной швейцарским математиком Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Открытие связи медианы и площади треугольника

Соотношение между площадью треугольника, длиной его медианы и высоты было установлено немецким математиком Карлом Гауссом в конце XVIII – начале XIX века.

Таким образом, свойства медианы треугольника постепенно накапливались на протяжении столетий усилиями многих выдающихся математиков.

Применение медианы треугольника на практике

Помимо решения математических задач, концепция медианы треугольника находит применение в некоторых областях прикладной науки и техники.

Медиана в физике

Точка пересечения медиан треугольника, называемая центроидом, соответствует центру масс этого треугольника при рассмотрении его как физического объекта. Это используется при вычислении центров масс сложных объектов в физике.

Применение в строительстве

Свойства медиан позволяют оптимальным образом распределять весовую нагрузку в конструкциях, имеющих треугольную форму – фермах, арках и др. Это применяется при строительстве мостов, крыш зданий и сооружений.

Использование в дизайне

В дизайне интерьеров, одежды и других областях свойства медианы позволяют гармонично разделять пространство или поверхность на части в заданном отношении.

Применение в компьютерной графике

Алгоритмы построения и деления отрезков, основанные на свойствах медиан, применяются в векторной компьютерной графике.

Таким образом, несмотря на академическую природу, медиана треугольника находит реальное применение для решения прикладных задач.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *