Задача на вычисление открыток, подписываемых ежедневно
Ире необходимо подписать 880 открыток в течение 16 дней, и она подписывает больше каждый последующий день. После того как установлено, что она подписала 10 открыток в первый день, необходимо вычислить сколько открыток Ира подписала за восьмой день.
Решение
Общее количество открыток: 880
Среднее количество открыток в день: 880 / 16 = 55
Формула арифметической прогрессии: a8 = a1 + 7d, где a8 – количество открыток в восьмой день, a1 – количество в первый день, d – разница
Вычисление разницы d: d = (an – a1) / (n – 1) = (70 – 10) / 7 = 10
Количество открыток в 8-й день: 10 + 7 * 10 = 80
Итак, Ира подписала 80 открыток за восьмой день.
Вероятность выступления спортсменки из Кореи
Чемпионат по гимнастике состоит из 60 спортсменок, 27 из Японии, 27 из Китая и остальные из Кореи. Порядок выступления определяется случайным образом. Найдем вероятность того, что первая выступающая гимнастка будет из Кореи.
Решение
- Спортсменок из Кореи: 60 – 27 (Япония) – 27 (Китай) = 6
- Вероятность выбора корейской гимнастки: 6 / 60 = 0.1
Таким образом, вероятность того, что первая гимнастка будет из Кореи равна 0.1.
Вероятность первого места для гимнастки из Кореи
Вероятность того, что первая гимнастка будет из Кореи, равна количеству способов выбрать гимнастку из Кореи и расставить ее на первом месте, к общему количеству способов расставить одного из 60 спортсменок на первое место.
Расчет вероятности
Количество способов выбрать гимнастку из Кореи – 6, так как в соревнованиях участвуют 6 спортсменок из Кореи. Количество способов выбрать любого спортсмена для первого места – 60, т.к. соревнования проходят с участием 60 спортсменок.
Таким образом, вероятность того, что первая гимнастка будет из Кореи, равна 6/60 или 1/10.
Ответ: вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи, равна 1/10.
Математические задачи
Подборка задач на тему Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:
На клетчатой бумаге с размером клетки нарисована змейка, представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев. Найдите длину ломаной, с последним звеном длиной 120.
Камень бросили в ущелье, он каждую следующую секунду проходил на 10 метров больше, чем в предыдущую, сколько он пролетел за первые пять секунд?
Бригада маляров красила забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Сколько дней ушло на покраску забора?
Рабочие прокладывали тоннель, известно, что за первый день было проложено 3 метра. Узнайте, сколько метров проложили в последний день, если работали 10 дней.
Вася решает задачи по 5 на день, с каждым днем задачи все больше. Сколько задач он решит за 14 дней, если начал с 5 на день?
Турист ежедневно проходит больше, чем в предыдущий день, 10 км в первый день. Сколько километров он пройдет за третий день, если весь путь составляет 120 км?
Решения математических задач
Задача 1
Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, увеличивая норму перевозки каждый день. За первый день было перевезено 2 тонны. По условию вся работа будет выполнена за 14 дней.
Решение:
Для решения задачи мы будем использовать формулу арифметической прогрессии, где сумма всех элементов равна среднему значению умноженному на количество элементов.
Сначала определим, насколько тонн щебня перевозит грузовик в последний день:
[ a_{14} = a_1 + 13 \cdot d,]
где (a_{14}) – это последний член прогрессии, (a_1 = 2) – первый член прогрессии, (d) – прирост нормы перевозки.
Теперь найдем прирост дневной перевозки:
[ d = \frac{210 – 2}{14 – 1} = \frac{208}{13} = 16 \text{тонн в день}.]
Теперь можем найти кол-во тонн перевезенных за 9 день:
[ a_9 = 2 + 8 \cdot 16 = 130 \text{тонн}.]
Таким образом, за 9-й день было перевезено 130 тонн щебня.
Задача 2
Улитка ползет от одного дерева до другого, увеличивая расстояние каждый день. За первый и последний день улитка проползла 10 метров. Расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Решение:
Давайте воспользуемся формулой арифметической прогрессии, чтобы решить эту задачу. Здесь нам нужно найти, сколько дней улитка ползла по деревьям.
Пусть улитка ползет (n) дней. Расстояние, которое улитка проползла, можно записать как:
[ \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d) = 150.]
Где (a_1 = 10) – первый день, (d) – прирост расстояния.
Для нахождения количества дней подставим данные и решим уравнение.
Задача 3
Вика решила делать зарядку, увеличивая количество приседаний каждый день. За 15 дней Вика сделала 975 приседаний.
Решение:
Для нахождения количества приседаний Вики в пятый день воспользуемся формулой арифметической прогрессии, где:
[S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n – 1)d),]
где (S_n = 975) – общее количество приседаний, (a_1 = 30) – число приседаний в первый день, (d) – прирост приседаний.
После подстановки данных в уравнение найдем количество приседаний в пятый день.
Задача 4
Хозяин договорился с рабочими о выкопке колодца. Оплата за каждый метр суммируется по арифметической прогрессии.
Решение:
Для нахождения общей суммы, которую должен заплатить хозяин, мы используем формулу суммы арифметической прогрессии:
[S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d),]
где ( S_{11} = 4200 + 11 \cdot 1300 = 15500.]
Таким образом, хозяин должен будет заплатить 15500 рублей за выкопку колодца глубиной 11 метров.
Задача 5
Тренер посоветовал Андрею увеличивать время на беговой дорожке каждое занятие. Всего нужно провести 2 часа 25 минут на тренировках.
Решение:
Для нахождения количества занятий, которое Андрей должен провести, воспользуемся формулой арифметической прогрессии, где ( S_n = 145 ), (a_1 = 15), (d = 7).
Подставим данные в уравнение и найдем количество занятий, которое Андрей проведет.
Задача 6
Врач назначил пациенту лекарство в дозировке, уменьшая каждый день количество капель.
Решение:
Для нахождения количества пузырьков лекарства, который нужно купить пациенту, воспользуемся формулой арифметической прогрессии:
[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d),]
[25 \cdot 30 + 3 \cdot 30 + 3^2 \cdot \frac{(30-3)}{2} = 7350.]
Таким образом, пациенту понадобится 7350 капель, что соответствует 147 пузырькам лекарства.
Задача 7
Стрелок получал штрафные очки за промахи в серии стрельбы.
Решение:
Для нахождения количества выстрелов в цель, нам необходимо подсчитать количество промахов и штрафных очков. Таким образом, найдем количество промахов, при которых штрафные очки составляют 7.
Задача 8
Улитка ползет вверх по дереву, увеличивая пройденное расстояние каждую минуту.
Решение:
Для нахождения времени, необходимого улитке для достижения вершины дерева высотой 5,25 м, воспользуемся формулой арифметической прогрессии, где сумма всех пройденных расстояний будет равна высоте дерева.
Задача 9
Альпинисты поднимались на определенную высоту каждый день восхождения.
Решение:
Для нахождения количества дней, необходимых для покорения высоты 5000 м используем формулу арифметической прогрессии, где сумма всех пройденных высот будет равна 5000 метрам.
Задача 10
Для асфальтирования использовались 2 катка, которые работали из разных точек участка.
Решение:
Для нахождения времени, которое потребовалось каткам для встречи, мы используем формулу арифметической прогрессии, где пройденное расстояние каждым катком суммируется в общем расстоянии асфальтированного участка.
Программа тренировок
Часть программы тренировок Арсения требует бега на беговой дорожке. На первой тренировке нужно бежать 15 минут, а затем время увеличивается на 7 минут на каждой последующей тренировке.
Найдем, за сколько тренировок Арсений проведет на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать программе.
Время (мин) | Тренировка
--------------|-------------
15 | 1
22 | 2
29 | 3
36 | 4
43 | 5
50 | 6
57 | 7
64 | 8
71 | 9
78 | 10
85 | 11
Ответ: 11 тренировок.
Занятия йогой
Занятия йогой начинаются с 15 минут в день и увеличиваются на 10 минут каждый последующий день.
Сколько дней следует заниматься йогой в указанном режиме, чтобы суммарная продолжительность занятий составила 2 часа?
Время (мин) | День
--------------|------------
15 | 1
25 | 2
35 | 3
45 | 4
55 | 5
65 | 6
75 | 7
85 | 8
95 | 9
Ответ: 9 дней.
Футбольный мяч
Футбольный мяч катится 0,6 м за первую секунду, а затем расстояние увеличивается на 0,6 м каждую следующую секунду.
Сколько секунд мяч будет катиться по горке длиной 6 метров?
Расстояние (м) | Время (с)
----------------|------------
0,6 | 1
1,2 | 2
1,8 | 3
2,4 | 4
3 | 5
3,6 | 6
4,2 | 7
4,8 | 8
5,4 | 9
6 | 10
Ответ: 10 секунд.
Свободное падение
При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а затем на 10 м больше в каждую следующую секунду.
Найдем глубину шахты, если тело достигло дна через 5 с после начала падения.
Расстояние (м) | Время (с)
----------------|-------------
5 | 1
15 | 2
25 | 3
35 | 4
45 | 5
Ответ: Глубина шахты 45 м.
Встреча велосипедистов
Два велосипедиста стартовали на расстоянии 153 км друг от друга. Первый велосипедист едет со скоростью 10 км/ч. Второй в первый час проехал 3 км, а затем на 5 км больше в каждый последующий.
Через сколько часов велосипедисты встретятся?
Расстояние (км) | Время (ч)
-----------------|------------
3 | 1
8 | 2
13 | 3
18 | 4
23 | 5
28 | 6
33 | 7
38 | 8
43 | 9
48 | 10
53 | 11
58 | 12
63 | 13
68 | 14
73 | 15
78 | 16
83 | 17
88 | 18
93 | 19
98 | 20
103 | 21
108 | 22
113 | 23
118 | 24
123 | 25
128 | 26
133 | 27
138 | 28
143 | 29
148 | 30
153 | 31
Ответ: Велосипедисты встретятся через 31 час.
Улитка
Улитка за первый час проползла 800 мм и каждый следующий час она проползла на 25 мм меньше, чем в предыдущий.
Сколько времени улитка была в пути, чтобы проползти 5700 мм?
Расстояние (мм) | Время (ч)
------------------|------------
800 | 1
775 | 2
750 | 3
725 | 4
700 | 5
675 | 6
650 | 7
625 | 8
600 | 9
575 | 10
570 | 11
Ответ: Улитка потратила 11 часов.
Белки и орехи
В лесу живут белки, которые поедают 10 орехов, приходя на опушку. 6 белок пришли на опушку в первый день, а затем каждый следующий день приходило на 2 белки больше.
Сколько орехов съели белки за 30 дней?
Белки | Орехи
--------|-------
6 | 60
8 | 80
10 | 100
12 | 120
14 | 140
16 | 160
18 | 180
20 | 200
22 | 220
24 | 240
26 | 260
28 | 280
30 | 300
Ответ: За 30 дней белки съели 300 орехов.
Задачи по физике
Старший брат договорился с Мишей, что он будет готовиться к экзамену по физике. За первую задачу Миша получит 10 минут игры на приставке, а за каждую следующую задачу – на 3 минуты больше, чем за предыдущую.
Сколько минут Миша сможет поиграть в воскресенье, если решит 8 задач?
Задача | Время (мин)
--------|------------
1 | 10
2 | 13
3 | 16
4 | 19
5 | 22
6 | 25
7 |
Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2\. Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг?
Шарами одинакового радиуса заполнили правильный треугольник, а потом тем же количеством шаров — прямоугольник. Найдите количество шаров, если известно, что и на стороне треугольника, и на большей стороне прямоугольника располагается на два шара больше, чем на меньшей стороне прямоугольника.
В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые открывают один за другим через равные промежутки времени. Через 8 часов после того, как был включен последний кран, сосуд был заполнен. Время, в течение которого были открыты первый и последний краны относятся как 5 : 1\. Через сколько времени заполнится сосуд, если открыть все краны одновременно? Ответ дайте в часах.
Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет
и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены два раза, первый член равен 10, а разность — 1.
Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, звено последнее звено которой 120
Каждый член прогрессии должен быть учтен дважды, следовательно, длина змейки
Растущая скорость камня представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 9 и разностью 10\. Найдем сумму этой прогрессии:
Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем:
Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.
Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля.
В первый день Вася решил
задач, в последний —
задач. Всего надо решить
км. Таким образом,
Тогда за третий день турист прошел
Следовательно, за девятый день было перевезено 18 тонн щебня.
Следовательно, за четвертый день было подписано 22 открытки.
Последовательность цен за метр — арифметическая прогрессия с первым членом
членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
В нашем случае имеем:
Тем самым, цена работы составляет 117 700 руб.
Время, проведённое на беговой дорожке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом равным 15 и разностью 7\. Сумма членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:
Получили квадратное уравнение на , решим его:
По условию задачи подходит значение
На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30\. Следовательно,
этап, когда число капель в день возрастает продолжается
Затем в течение трёх дней пациент принимает ещё
Последний этап приёма начинается с того момента, когда пациент уменьшит число принимаемых капель на 3, то есть примет в день 27 капель. Этот этап длится
Аналогично первому этапу:
Таким образом, за весь курс приёма пациенту нужно принять 165 + 90 + 135 = 390 капель. То есть нужно приобрести не меньше
пузырьков лекарства. Минимальное количество пузырьков лекарства — 2.
Количество начисляемых штрафных очков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом = 1 и разностью первых членов этой прогрессии
является положительным числом, стрелок совершил 4 промаха, а значит, 21 попадание.
Приведем решение задачи подбором.
За первый промах стрелок получил 1 штрафное очко.
За второй промах 1,5 штрафных очка, итого 1 + 1,5 = 2,5.
За третий промах 2 штрафных очка, итого 2,5 + 2 = 4,5.
За четвертый промах 2,5 штрафных очка, итого 4,5 + 2,5 = 7.
Следовательно, 7 штрафных очков получено за 4 промаха.
Всего улитка проползла 5,25 м или 525 см. Последовательность пройденных расстояний представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом = 30 и разностью
является положительным числом, получим, что за 10 минут улитка достигнет вершины дерева.
за 10 минут.
Последовательность пройденных расстояний представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом = 1400 и разностью первых членов этой прогрессии
Следовательно, через 4 дня альпинисты достигнут вершины.
за 4 дня.
Пусть катки встретились через минут. Первый каток движется равномерно, поэтому к моменту встречи пройдет 5 метров. Расстояние, пройденное вторым катком, является суммой первых членов арифметической прогрессии с первым членом 1,5 и разностью 0,5\. Тогда = 99, откуда получаем:
Тем самым катки встретятся через 11 минут.
Время ежедневных тренировок на беговой дорожке составляет арифметическую прогрессию с первым членом = 15, разностью прогрессии = 7\. Сумма прогрессии равна 2 часа 25 минут или 145 минут. Из формулы суммы арифметической прогрессии
Подставим значения в полученное выражение:
Заметим, что задачу можно решить с помощью перебора:
За один день время занятий составит 15 минут.
За два дня время занятий составит 15 + (15 + 10) = 15 + 25 = 40 минут.
За три дня время занятий составит 15 + 25 + 35 = 75 минут.
За четыре дня время занятий составит 15 + 25 + 35 + 45 = 120 минут.
Пройденные за каждую секунду пути составляют арифметическую прогрессию с первым членом = 0,6 и разностью = 0,6\. Сумма членов этой прогрессии
Составим математическую модель задачи: в первую секунду — 5 м, во вторую секунду — 15 м, в третью секунду — 25 м, в четвертую секунду — 35 м, в пятую секунду — 45 м.
Всего за пять секунд — 5 + 15 + 25 + 35 + 45 = 125 (м).
глубина шахты 125 м.
Приведем другое решение.
Пути, пройденные телом за каждую секунду, представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом = 5 и разностью = 10\. Путь, пройденный телом за 5 секунд, найдем по формуле суммы арифметической прогрессии при
Заметим, что при = 57 последний член прогрессии получится отрицательным, следовательно,
Растущее количество белок на опушке составляет арифметическую прогрессию с первым членом = 6 и разностью = 2, посчитав количество белок, которые придут на опушку за = 30 дней по формуле суммы арифметической прогрессии мы сможем найти количество съеденных орехов:
Значит, за 30 дней будет съедено
Количество минут игры составляет арифметическую прогрессию с первым членом = 10 и разностью = 3, найдем по формуле
сумму арифметической прогрессии первых восьми членов:
Растущее количество конфет составляет арифметическую прогрессию
с первым членом = 2\. Сумму первых 12 членов прогрессии
Растущее количество задач составляет арифметическую прогрессию с первым членом = 11, суммой прогрессии = 315 и количеством членов = 9\. Найдем разность арифметической прогрессии из формулы суммы:
По формуле для девятого члена найдем, сколько задач Рихард разберет в последний день:
Растущее количество задач составляет арифметическую прогрессию с первым членом = 11, суммой прогрессии = 315 и количеством членов = 9\. Из формулы суммы арифметической прогрессии
Пусть за изготовление и установку всех колец заплатили
Средняя стоимость установки одного кольца с учетом премии равна 202 рубля, а значит,
Следовательно, было установлено 9 колец.
возраст самой младшей дочери на момент, когда у них стало 495 книг, тогда возраст остальных дочерей составил + 8 лет. Тогда
Это верно при = 10, значит, старшей дочери было 18 лет.
Пусть большей стороне прямоугольника, как и на стороне треугольника расположено шаров. Тогда на меньшей стороне прямоугольника расположено ( − 2) шара, поэтому всего шаров в прямоугольнике − 2). Количество шаров в треугольнике представляет собой сумму членов арифметической прогрессии:
Тогда всего шаров было 5 · 3 = 15.
Получаем, что для заполнения сосуда требуется 24 часов работы. Если все краны открываются одновременно, то для заполнения всего сосуда потребуется
По условию последний кран был открыт 8 часов. Тогда первый кран был открыт 8 · 5 = 40 часов. Краны открывают через равные промежутки времени, следовательно, время их работы составляет арифметическую прогрессию, и суммарное время работы кранов составит