Задание 17. финансовая задача. егэ 2024 по математике профильного уровня

Оптимизация задания 17 в математике

Введение

Решение задания 17 в математике требует знания и умения работы с математическими моделями, схемами кредитования и функциями. В данной статье мы разберем ключевые аспекты, необходимые для успешного решения этой задачи.

Необходимые знания

Для успешного решения задачи 17 необходимо умение составлять математические модели, разбираться в схемах кредитования с дифференцированными и аннуитетными платежами, а также работать с функциями.

В задачах на кредиты нужно знать формулы алгебраической прогрессии и геометрической прогрессии. В задачах на оптимизацию важно умение брать производные и находить точки экстремумов.

Практика

Задача б

Нам нужно найти площадь треугольника $AO_1O_3$.

Решение

По свойству касательных к окружности из одной точки, центры $O_1, O_2$ лежат на биссектрисе угла $A$, а центры $O_1, O_3$ — на биссектрисе угла $C$. Обозначим угол $C$ как $2β$. Тогда угол треугольника $O_1CA$ равен $β$.

Проведем $O_3N ⊥O_1E$, тогда $O_3N \parallel FE$ и $O_3N EF$ прямоугольник. Следовательно, $EN = r_3, O_1N = O_1E – EN = r_1 – r_3 = 8$. Угол $O_1CA = O_1O_3N = β$ как соответственные при $O_3N \parallel AC$, секущая $CO_1$.

Обозначим угол $O_1AC$ через $α$ и найдем $EA = r_1 : tg α$.

Проведем $O_2M ⊥O_1E$, тогда аналогично пункту а) $EM = r_2$.

Задача 2

а)

Угол $ANM$ опирается на диаметр $AM$ большей окружности, поэтому он — прямой. Угол $ADO$ опирается на диаметр $AO$ меньшей окружности, также прямой. Прямые $MN$ и $BC$ параллельны прямой $AN$.

б)

Углы $AOC$ и $AMN$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN , BC$ и секущей $AM$. Точка $C$ — середина дуги $AN$, а луч $MC$ является биссектрисой угла $AMN$.

Задача 3

а)

По условию задачи нарисуем чертеж.

Задача 4

В треугольнике $EKP$ проведены высоты $KB$ и $PA$. Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AM$ и $BN$.

а)

Прямые $MN$ и $KP$ параллельны.

б)

Отношение $MN:KP$ может быть найдено, если угол $KEP=45^°$.

Заключение

Решение математической задачи 17 требует тщательного анализа и использования математических концепций. Понимание схем кредитования, работа с функциями и геометрическими прогрессиями помогут в решении данной задачи.

Из подобия следует $∠OPK = ∠ONM$ .

Углы $OPK$ и $ONM$ соответственные при прямых $PK$ и $NM$ и секущей $OP$ .

Следовательно, $PK ‖ MN$ по признаку параллельности прямых.

б) В четырехугольнике $AEBO$

  • $∠AEB = 45°$ (по условию)
  • $∠AOB=360°-(∠A +∠B +∠E ) = 360° – 225° = 135°$.
  • В $△AOM$
    • $∠AMO = 90°$
    • $∠AOM = 180°-135°=45°$
    • $AM=MO$

Обозначим $OM = x$, тогда $AM = x, AO=OM√2=x√2$.

Задача 5

В треугольнике $MNP$, в котором все углы острые, проведены высоты $ME$ и $PF$.

Из точек $F$ и $E$ на $ME$ и $PF$ опущены перпендикуляры $FK$ и $EH$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KH$ и $MP$ параллельны.

б) Найдите отношение $MP:KH$, если угол $MNP$ равен $60^°$.

а) $O$ — точка пересечения высот $ME$ и $PF$. $△POE ∼ △MFO$ по первому признаку подобия:

  • $∠PEO = ∠OFM = 90°
  • ∠EOP = ∠FOM$ как вертикальные.

Из подобия следует $∠OP M = ∠OH K$ .

Углы $OP M$ и $OH K$ соответственные при прямых $M P$ и $K H$ и секущей $OP$ .

Следовательно, $M P ‖ K H$ по признаку параллельности прямых.

б) В четырехугольнике $N FOE$

  • $∠FOE = 360° -(∠90° +∠90° +∠N ) = 360° – 240° = 120°$.
  • В $△FOK$
    • $∠FKO = 90°$
    • $∠FOK = 60°$, как смежный с $∠FOE = 120°$
    • $∠OF K = 30°$

Обозначим $OK = x$, тогда $FO = 2x$.

Задача 6

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $P$ и $K$ — середины катета $BC$ и гипотенузы $AB$ соответственно.

Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $KP$ в точке $R$.

а) Докажите, что точки $A$, $B$, $C$ и $R$ лежат на одной окружности.

а) Отрезок, соединяющий вершину прямого угла и середину гипотенузы, равен половине длины гипотенузы, то есть $AK = K B = K C. AR$ — биссектриса угла $BAC$, значит $∠CAR =∠BAR = α$.

$K P$ — средняя линия $△ABC$, значит, $K P ‖ AC$.

Накрест лежащие углы $CAR$ и $ARK$ равны (секущая $AR$).

В треугольнике $AK R$ равны углы $K AR$ и $K RA$, значит $AK = K R$.

Получим $AK = K B = K C = K R$, значит точки $A, B, C$ и $R$ лежат на окружности с центром $K$.

Задача 7

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям.

Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AE$.

На стороне $AB$ отмечена точка $F$ так, что прямые $BE$ и $FD$ параллельны.

а) Докажите, что прямые $FC$ и $CD$ перпендикулярны.

б) Найдите отношение $BE:FD$, если угол $BCD$ равен $120°$.

а) Для доказательства перпендикулярности прямых $FC$ и $CD$ достаточно доказать подобие треугольников $SFC$ и $SAE$.

С другой стороны, $△SBE ∼ △SFD$ по двум углам:

  • $∠SBE = ∠SFD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BE$ и $FD$ и секущей $SA, ∠S$ — общий.

Следовательно, $SA · SC = SB · SD = SF · SE$.

Отсюда $△SAE ∼ △SFC$ по второму признаку.

Тогда $∠SCF = ∠SEA = 90°, FC ⊥ SD$, что и требовалось доказать.

Задача 8

Задачи геометрии в трапеции

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AE$. На стороне $AB$ отмечена точка $F$ так, что прямые $CD$ и $CF$ перпендикулярны.

а) Доказательство параллельности

Докажите, что прямые $BE$ и $FD$ параллельны.

б) Нахождение отношения

Найдите отношение $BE:FD$, если угол $BCD$ равен $150°.

Решение

а) Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, как показано на рисунке.

Задача 10

В треугольнике $ABC$ точки $K$, $N$, $F$ — середины сторон $AC$, $AB$ и $BC$ соответственно. $AH$ — высота треугольника $ABC$, $∠ CAB=60^°$, $∠ ACB=15^°$.

а) Положение точек

Докажите, что точки $K$, $N$, $F$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Нахождение значения

Найдите $FH$, если $BC=4√ 3$.

Решение

a) $∠ABC = 180° – (60° + 15°) = 105°$.

$NH$ — медиана в прямоугольном треугольнике $AHB$, отсюда $NH = NB = AN$.

Задача 11

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Доказательство параллельности

Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Нахождение площади

Найдите площадь $▵ AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны $8$ и $2$.

Решение

a) Общая касательная, проведенная к окружностям в точке $K$, пересекает $AB$ в точке $M$. По свойству касательных, проведенных из одной точки, $AM = K M$ и $K M = BM$. Треугольник $AK B$, у которого медиана $K M$ равна половине стороны $AB$, к которой она проведена, прямоугольный, $∠AK B = 90°$.

Задача 12

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$, причём точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $MN$. Продолжение диаметра $AM$ первой окружности и хорды $AN$ этой же окружности пересекают вторую окружность в точках $C$ и $B$ соответственно.

а) Доказательство подобия

Докажите, что треугольники $ANC$ и $O_1MO_2$ подобны.

Решение задач по геометрии

Задача 12

Решение части а

Дано:

  • $O_1O_2 ⊥ MN$
  • $O_1O_2$ делит хорду $MN$ и дугу $MN$ второй окружности пополам

Рисунок 1

Решение части б

Введём обозначения:

  • $r$ – радиус меньшей окружности
  • $1.5r$ – радиус большей окружности

Учитывая углы в треугольнике $MNB$ и $MCB$, и тот факт, что $MB$ является диаметром второй окружности проходящим через $O_2$, получаем:

$MC = 1.5 \cdot 3 = 4.5$

Задача 13

Решение части а

Дано:

  • $r$ – радиус меньшей окружности
  • $2.5r$ – радиус большей окружности

Учитывая углы в треугольнике $MNB$ и $MCB$:

$MC = 2.5 \cdot MN = 5$

Рисунок 2

Задача 14

Дано:

  • Основания трапеции равны $7$ и $34$
  • Диагонали трапеции равны $9$ и $40$

Решение части а

Докажем, что диагонали трапеции перпендикулярны. Проведем $CE$ параллельно $BD$.

Рисунок 3

Решение части б

Площадь трапеции можно найти, используя известную формулу.

Задача 15

Дано:

  • Основания трапеции равны $6$ и $19$
  • Диагонали трапеции равны $7$ и $24$

Решение части а

Докажем, что диагонали трапеции перпендикулярны. Проведем $CE$ параллельно $BD$.

Рисунок 4

Решение части б

Площадь трапеции можно найти, используя известную формулу.

Задача 16

Дано:

  • Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$
  • Меньшая окружность проходит через центр $O$ большей
  • Диаметр $AB$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $C$
  • Лучи $KO$ и $KC$ вторично пересекают большую окружность в точках $D$ и $E$ соответственно
  • Точка $B$ лежит на дуге $EK$ большей окружности, не содержащей точку $D$

Решение части а

Докажем, что прямые $DE$ и $AB$ параллельны.

а) $KD$ — диаметр большей окружности ($O ∈ KD$), $O_1$ — центр меньшей окружности, $l$ — общая касательная двух окружностей, проходящая через точку $K$ (см. рис.). $O_1 ∈ KD$. Действительно, $OK⊥ l$, $O_1K⊥ l$ как радиусы, проведённые в точку касания, значит, точки $O$, $K$, $O_1$ лежат на луче $KO$. $∠ DEK=∠ OCK=90°$ как вписанные углы, опирающиеся на диаметры $DK$ и $OK$ соответственно. $C∈ EK$, следовательно, $DE∥ AB$ как два перпендикуляра к одной прямой.

Задача 17

Задание 17. финансовая задача. егэ 2024 по математике профильного уровня

Задача 18

Задание 17. финансовая задача. егэ 2024 по математике профильного уровня

Задача 19

Задание 17. финансовая задача. егэ 2024 по математике профильного уровня

Опустим в $△AND$ высоту AH, в $△BNC$ – высоту BK.

Для доказательства того, что ABCD – трапеция, необходимо доказать, что две другие стороны не параллельны, то есть AD не параллельна BC. Предположим противное. Тогда ABCD – параллелограмм, но тогда отрезок, соединяющий середины AD и BC, делит площадь ABCD пополам, что противоречит условию, так как отношение полученных площадей должно равняться 6 : 7. Отсюда верно ABCD – трапеция.

Надо найти AB : CD.

Учитывая, что $AB ‖ CD$, а $EF$ – средняя линия и $EF ‖ AB$ и $EF ‖ CD$, то расстояние от $EF$ до $AB$ и от $EF$ до $CD$ равны, то есть $h_1 = h_2$.

$AB : CD = 11 : 15$.

Задача 20

В выпуклом четырёхугольнике середины противоположных сторон соединены отрезками, причём один из них делит этот четырёхугольник на две равновеликие фигуры, а другой делит площадь в отношении $9:13$. а) Доказать, что данный четырёхугольник является трапецией. б) Найти отношение меньшего основания этой трапеции к большему.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *