Механические колебания
Колебания ― это процесс, при котором состояние системы изменяется, повторяясь во времени, и смещаясь то в одну, то в другую сторону относительно состояния равновесия.
Период и частота
Период ― это время, через которое повторяются показатели системы, т. е. система совершает одно полное колебание. Период изменяется в секундах.
Частота ― величина обратная периоду: число полных колебаний за единицу времени.
Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как:
[ f = \frac{N}{t} ]
Круговая частота и гармонические колебания
Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту.
Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за (2\pi) секунд и равна:
[ \omega = 2\pi f ]
Гармонические колебания ― колебания, в которых физические величины изменяются по закону синуса или косинуса.
Уравнение гармонических колебаний
[ x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0) ] или [ x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0) ]Описание параметров
- Смещение (x) ― это отклонение тела от положения равновесия. Смещение также является координатой тела, если отсчитывать ее от положения равновесия.
- Амплитуда колебаний (A) ― максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, т. е. максимальное смещение равно амплитуде колебаний ( X_{\text{max}} = A ).
- Начальная фаза колебаний (( \phi_0 )) определяет смещение в начальный момент времени, выраженное в радианах.
- Фаза колебаний (( \phi )) или полная фаза колебаний, определяет смещение в данный момент времени, выраженное в радианах.
Пример анализа гармонических колебаний точки
Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид:
[ x(t) = A\sin(\omega t) ]
Уравнение и график колебания скорости
График колебания координаты точки имеет вид:
Определим уравнение и график колебания скорости.
Скорость ― это производная координаты по времени: ( v = x(t) ), где:
[ v(t) = A\cos(\omega t) ]
График колебания скорости точки имеет вид:
Уравнение и график колебания ускорения
Ускорение ― это производная скорости по времени: ( a = v(t) ), где:
[ a(t) = -A\omega^2\sin(\omega t) ]
График колебания ускорения точки имеет вид:
Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации. В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную. Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии:
[ E = E_{\text{П}} + E_{\text{К}} ]
Таблица сопоставления терминов:
| Английский | Русский |
|---|---|
| Potential energy | Потенциальная энергия |
| Kinetic energy | Кинетическая энергия |
| Amplitude | Амплитуда |
| Equilibrium position | Положение равновесия |
Краткое содержание:
Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника
- Формула потенциальной энергии
- График потенциальной энергии
Уравнение кинетической энергии маятника
- Формула кинетической энергии
- График кинетической энергии
Математический маятник
- Период колебаний
Вынужденные колебания
- Резонанс
- Резонансная частота
Заключение:
Мы рассмотрели основные аспекты потенциальной и кинетической энергии пружинного маятника, а также вынужденные колебания. Понимание этих концепций важно для изучения колебательных систем и их характеристик.