Четырёхугольники с параллельными противоположными сторонами
Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется полным четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Ньютона — Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.
Согласно теореме о сумме углов многоугольника, сумма углов четырёхугольника без самопересечений равна 360°.
Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.
Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть:
Равенство в неравенстве четырёхугольника достигается только в том случае, если он вырожденный, то есть все четыре его вершины лежат на одной прямой.
Для сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника выполнено неравенство Птолемея:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырёхугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.
Соотношения между сторонами и диагоналями четырёхугольника
Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:
Это соотношение можно представить в виде определителя:
Этот определитель с точностью до множителя 288 представляет собой выражение для квадрата объёма тетраэдра через длины его рёбер с помощью определителя Кэли-Менгера. Если вершины тетраэдра лежат в одной плоскости, то он имеет нулевой объём и превращается в четырёхугольник. Длины рёбер будут длинами сторон или диагоналей четырёхугольника.
Соотношения Бретшнайдера — соотношение между сторонами , , и и противоположными углами и диагоналями , простого (несамопересекающегося) четырёхугольника:
Специальные прямые линии четырёхугольника
Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона
Теоремы о средних линиях четырёхугольника
Запрос Бимедиана перенаправляется сюда; о бимедиане тетраэдра см. Тетраэдр#Свойства.
Прямая, получаемая соединением середин диагоналей (L, M и N), называется прямой Ньютона — Гаусса (зелёная)
Ортополярные линии ортополюсов троек вершин четырехугольника
Внутри четырёхугольника существует точка Понселе (см. параграф Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника).
Точка Микеля четырёхугольника
Внутри четырёхугольника существует точка Микеля.
Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника
Первая теорема Птолемея
Вторая теорема Птолемея
Формулы для четырёхугольников
В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.
Формулы для длин диагоналей (следствия первой и второй теорем Птолемея)
- Японская теорема (Japanese theorem)
- Теорема Микеля-Штейнера для четырёхстронника
- где p — полупериметр четырёхугольника.
Вписанные четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями
Вводя понятие полупериметра p, имеем . Следовательно, также имеем .
Далее можно заметить:
Следовательно, Тогда по формуле (1) в рамке в параграфе Площадь имеем
Вписано-описанные четырёхугольники ABCD и EFGH и Поризм Понселе для них
- Вписано-описанный четырёхугольник ABCD с центром I вписанной и с центром O описанной окружностей
- Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его внутренне-касающийся вписанный четырёхугольник WXYZ
- Для вписанно-описанного четырёхугольника справедлива теорема Понселе
Площадь вписанно-описанного четырёхугольника
Разбиение сторон касательного четырехугольника точками касания с окружностью
Внеописанный четырёхугольник для окружности
- Внеописанный четырёхугольник ABCD и его вневписанная окружность
Внеописанный четырёхугольник для параболы
Описанный четырёхугольник ортодиагональный четырёхугольник
ортодиагональный четырехугольник, и прямоугольники, вписанные в , и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.
ортодиагональный четырехугольник. и точки Паскаля, формируемые с помощью окружности , – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника вписанного в . и точки Паскаля, формируемые с помощью окружности , – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника вписанного в .
Свойства диагоналей некоторых четырёхугольников
| Четырёхугольник | Деление диагоналей пополам в точке их пересечения | Перпендикулярность диагоналей | Равенство длин диагоналей | Деление углов пополам диагоналями |
|---|---|---|---|---|
| Трапеция | Нет | См. замечание 1 | Нет | Нет |
| Равнобедренная трапеция | Нет | См. замечание 1 | Да | Хотя бы двух противоположных углов |
| Дельтоид | См. замечание 2 | Да | См. замечание 2 | См. замечание 2 |
Замечание 1: Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеций не имеют перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечное число (неподобных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые действительно имеют перпендикулярные диагонали и не похожи на какой-либо другой названный четырёхугольник.
Замечание 2: У дельтоида одна диагональ делит пополам другую. Другая же диагональ делит его противоположные углы пополам. Наиболее общий дельтоид имеет неодинаковые диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) дельтоидов, у которых диагонали равны по длине (и дельтоиды не являются каким-либо другим из названных четырёхугольников).
Симметрии некоторых четырёхугольников
На рис. показаны некоторые симметричные четырёхугольники, их переход друг в друга, а также дуальные к ним. Обозначения на рис.:
Замечание. Первая и вторая средние линии четырёхугольника — отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон
Площадь четырехугольников в геометрии
При вычислении площади четырехугольников в геометрии существует несколько различных подходов, которые могут использоваться в зависимости от известных параметров фигуры.
Формула Брахмагупты
Формула Брахмагупты представляет собой способ вычисления площади вписанного четырехугольника. Ее можно выразить следующим образом:
[S = \sqrt{(p – a)(p – b)(p – c)(p – d)}
]
Где:
- (p) – полупериметр четырехугольника
- (a, b, c, d) – длины сторон четырехугольника
Эта формула полезна при работе с вписанными четырехугольниками, где диагонали играют важную роль.
Параллелограммы
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны. Он обладает рядом характерных свойств:
- Противоположные стороны равны и параллельны
- Противоположные углы равны
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°
- Диагонали параллелограмма делят его на равные треугольники
- Диагонали делятся пополам
Биссектрисы параллелограмма также обладают специфическими свойствами, связанными с их расположением.
Условия параллелограмма
Чтобы убедиться, что фигура является параллелограммом, необходимо удовлетворение хотя бы одного из следующих условий:
- Две пары сторон параллельны
- Параллельные стороны равны
- Противоположные стороны равны
- Противоположные углы равны
- Диагонали делятся пополам
- Сумма углов, прилегающих к любой стороне, равна 180°
Площадь параллелограмма
Существует несколько способов вычисления площади параллелограмма:
- Через высоту и сторону: (S = ab \cdot h)
- Через две стороны и угол между ними: (S = ab \cdot \sin{\alpha})
- Через диагонали и угол между ними:
Пользуйтесь этой информацией при работе с площадями четырехугольников в геометрии!
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Задача №2: Сетчатая таблица
Дана сетчатая таблица $9 imes 7$, в которой одна клетка закрашена (см. рис.). Сколько прямоугольников, стороны которого идут по линиям сетки, содержат эту закрашенную клетку?
Теоремы о треугольниках
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
- Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
- Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
- Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
- Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
Свойства геометрических фигур
- Существует квадрат, который не является прямоугольником.
- Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
- Существует квадрат, который не является ромбом.
- Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
- Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
- В плоскости все точки, равноудаленные от заданной точки, лежат на одной окружности.
Запишіть рівні елементи трикутників, зображених на рисунку.
Отрезок $C$ перпендикулярен плоскости $β$, от точки проведены наклонные $и$. Если $BC = 10$ cm, $AC = 6$ cm, $AB = 8$ cm то найдите ∠