ЕГЭ профильный уровень. №5 Теоремы о вероятностях событий. Задача 37
В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Искомая вероятность равна произведению вероятностей этих событий:
- Вытащить красный фломастер: ( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} )
- Вытащить еще один красный фломастер: ( \frac{3}{5} )
- Вытащить синий фломастер: ( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} )
Итоговая вероятность составляет: ( \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5} = 0.2 )
Демо-версия ЕГЭ-2022
Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события хотя бы раз выпало 3 очка?
Всего было 10 возможных исходов, из которых 6 благоприятных. Таким образом, вероятность равна: ( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6 )
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.
Есть только один благоприятный вариант из пяти возможных комбинаций, что дает вероятность: ( \frac{1}{5} = 0.2 )
Задачи с фломастерами
- В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Благоприятными исходами будут следующие:
- Первый раз – красный фломастер,
- Второй раз – красный фломастер,
- Третий раз – синий фломастер.
Вероятность вытащить красный фломастер: ( \frac{4}{6} )
После этого вероятность вытащить еще красный: ( \frac{3}{5} )
Наконец, вероятность вытащить синий: ( \frac{2}{4} )
Итоговая вероятность равна: ( \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5} = 0.2 )
- В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Общее количество фломастеров 25.
Предположим, что первым вытащили красный фломастер: ( \frac{9}{25} )
После этого вероятность вытащить синий: ( \frac{10}{24} )
Или если первым вытащили синий: ( \frac{10}{25} )
Затем вероятность вытащить красный: ( \frac{9}{24} )
Итоговая вероятность равна: ( \frac{9}{25} \times \frac{10}{24} + \frac{10}{25} \times \frac{9}{24} = \frac{54}{200} = \frac{27}{100} = 0.27 )
Заключение
При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.
Вероятность заболевания при положительном тест-результате
Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Уточнение условия
Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?. В такой формулировке множество возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.
Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью x. Тогда с вероятностью 1 – x он этим заболеванием не болен.
Расчет вероятности
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, его анализ верен;
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный.
Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность x.
Итог
Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, оказывается меньше половины. Это важно учитывать при интерпретации результатов тестирования.
Передача сообщения по SMS
- Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.
Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй. Рассмотрим обе эти ситуации и найдем общую вероятность успешной передачи сообщения.
Расчет вероятности
Вероятность успеха при каждой попытке равна 0,4. Расчитаем вероятность успешной передачи сообщения.
Вывод
Таким образом, мы можем определить вероятность успешной передачи сообщения в зависимости от количества попыток.
Бросание симметричной монеты
- Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события выпадет ровно 5 орлов больше вероятности события выпадет ровно 4 орла?
Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой Бернулли, чтобы определить вероятность выпадения определенного количества орлов при бросании монеты.
Результат
После проведения вычислений, можно сравнить вероятности выпадения ровно 5 орлов и ровно 4 орлов при 10 бросках симметричной монеты.
Требования при написании текста с SEO-копирайтингом
Нет, это не заклинание.
Не нужно громко кричать: Эн!!!!
Поделить на эм! И на эн минус эм!
То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки.
Это факториалы.
На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n.
Например,
Вычисление вероятности выпадения орла и решки
Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна
- вероятность орла: p
- вероятность решки: q
Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна
Найдем, во сколько раз
Точность стрелка в стрельбе по мишеням
- Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням.
На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6.
Во сколько раз вероятность события стрелок поразит ровно 5 мишеней больше вероятности события стрелок поразит ровно 4 мишени?
Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;
Вероятность поразить мишень равна
Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна
Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:
Владение стрелком в стрельбе по мишеням
- Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням.
На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5.
Во сколько раз вероятность события стрелок поразит ровно 3 мишени больше вероятности события стрелок поразит ровно 2 мишени?
Найдем вероятность поразить одну мишень – с первого или со второго выстрела.
Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень вторым выстрелом.
Она равна
так как с вероятностью
он промахнулся в первый раз и с вероятностью
Значит, вероятность поразить одну мишень первым или вторым выстрелом равна
Теперь нам на помощь придет формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени из 5.
Вероятность поразить ровно 2 мишени из пяти
Улучшение меткости стрелков в тире
- Стрелок в тире стреляет по мишени.
Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле.
Какое наименьшее количество патронов нужно дать этому стрелку, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0,6?
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 – 0,3 = 0,7.
Хватит 3 патронов.
Подсчет вероятности выпадения значений на игральной кости
- Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысит число 3.
Какова вероятность того, что для этого потребуется ровно 3 броска? Ответ округлите до сотых.
Кажется, что задача сложная (на самом деле нет).
Давайте подумаем: как получилось, что ровно за 3 броска игральной кости сумма выпавших очков оказалась больше трех?
Из этого следует, что за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3 или равна 3.
Если за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3, значит, она была равна 2, то есть первый раз выпала единица и второй раз тоже единица.
Вероятность этого события равна
Сколько же очков в этом случае должен дать третий бросок?
Очевидно, что подойдет 2, 3, 4, 5, 6 – все, кроме 1.
Вероятность того, что при третьем броске выпадет число очков, не равное единице, равна
Значит, вероятность того, что при первых двух бросках выпали единицы, а при третьем – не единица, равна
title: Решение задач на вероятность от профессионального SEO-копирайтера
Вероятность в броске кубика
Нам подойдет также случай, когда сумма очков за первые 2 броска равна 3. Это значит, что выпали 2 и 1 или 1 и 2, то есть 2 благоприятных исхода из 36 возможных. Вероятность этого события равна:
| Благоприятные исходы | Вероятность |
|---|---|
| 2 и 1 | 1/36 |
| 1 и 2 | 1/36 |
| Итого | 2/36 |
При этом нам все равно, что выпадет при третьем броске: очевидно, что сумма очков при трех бросках будет больше трех.
Вероятность выбора пенсионера
Вот еще одна задача из Демо-версии ЕГЭ-2022:
В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события выбранный мужчина является пенсионером.
Пусть N – численность взрослого населения в городе (мужчин и женщин).
Количество взрослых мужчин в городе: $0.48N$
Количество женщин в городе: $0.52N$
Из них $0.15*0.52N = 0.078N$ женщин-пенсионеров,
Всего пенсионеров: $0.126N$,
Тогда количество мужчин-пенсионеров равно $0.126N – 0.078N = 0.048N$.
Вероятность для случайно выбранного мужчины оказаться пенсионером равна отношению числа мужчин-пенсионеров к числу мужчин в городе, то есть $0.048N : 0.48N = 0.1$.