Треугольник

Геометрия треугольника: Основные понятия и свойства

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

Свойства треугольника

Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны, а разность длин двух сторон треугольника меньше длины третьей.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°:

$α + β + γ = 180°$

А сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна.

Обозначения и площадь треугольника

Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями.

Для площади справедливы неравенства:

• Где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Обобщения понятия треугольника

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В -мерной геометрии аналогом треугольника является -й мерный симплекс.

Основные свойства элементов треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами.

Теоремы о треугольнике

Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°. В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема о проекциях

Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название решения треугольников. При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Ссылки:

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.

Заключение

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами. Эти точки A, B, C называют вершинами треугольника, а отрезки AB, BC, CA, соединяющие эти точки, – сторонами треугольника.

Свойства треугольников

Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон. Сумма длин сторон треугольника называется его периметром.

Виды треугольников

Иногда по каким-либо соображениям выделяется одна из сторон, которая называется основанием треугольника; тогда две другие называются боковыми сторонами треугольника. В зависимости от соотношения длин сторон выделяются:

• равносторонние (правильные) треугольники (все стороны равны)
• равнобедренные треугольники (две боковые стороны равны)

Углы треугольника

Три угла, каждый из которых образован двумя лучами, исходящими из вершины треугольника и проходящими через две другие вершины, называются внутренними углами треугольника. Сумма величин внутренних углов треугольника равна 180°.

Различают треугольники:

• остроугольные (все углы острые)
• тупоугольные (один угол тупой)
• прямоугольные (один угол прямой)

Прямоугольные треугольники

В прямоугольном треугольнике две стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами, а третья – гипотенузой.

Равные и подобные треугольники

Равными (конгруэнтными) называются треугольники, стороны и углы которых соответственно равны. Два треугольника равны, если:

• три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого
• две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны сторонам и углу между ними другого
• сторона и прилегающие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилегающим к ней углам другого

Два треугольника называются подобными, если:

• отношения длин соответствующих сторон равны и углы, заключённые между пропорциональными сторонами, также равны.
• три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого
• две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключённые между этими сторонами, равны
• два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

. Внутренний угол плоского треугольника при данной вершине равен сумме его внешнего угла и углов, имеющих общую вершину с данным внутренним углом.

Важные элементы треугольника:

• Высота треугольника: отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
• Медиана треугольника: отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса треугольника: отрезок, который делит внутренний угол треугольника пополам.
• Серединный перпендикуляр треугольника: прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через её середину.
• Средняя линия треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Вписанная и описанная окружности:

• Вписанная окружность: окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника.
• Описанная окружность: окружность, проходящая через все вершины треугольника.

Теоремы:

• Теорема косинусов: где — высота треугольника, — полупериметр, — радиус вписанной окружности.
• Теорема тангенсов: .
• Теорема синусов: .

Элементы треугольника имеют важные связи между собой, которые помогают при решении задач. Хорошее понимание этих элементов сделает изучение и работу с треугольниками более эффективными.

Геометрия треугольника: ключевые понятия и формулы

Внешний угол плоского треугольника при данной вершине определяется как угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине. Если внутренний угол при данной вершине образован двумя сторонами, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из этой вершины и продолжением другой стороны. Внешний угол может принимать значения от 0 до 360 градусов.

Периметр и полупериметр

Периметр треугольника – сумма длин трех его сторон, а полупериметр – половина этой величины.

По виду наибольшего угла

Медианы, высоты, биссектрисы

Медианы в треугольнике

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом или центром тяжести треугольника.

Высоты треугольника

Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или ее продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, ортоцентре треугольника.

Биссектрисы треугольника

Биссектрисами треугольника называют отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, делящие углы пополам. Биссектрисы пересекаются в одной точке, инцентре треугольника.

Описанная и вписанная окружности

Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника. Она единственна, и ее центр называется инцентром. Для вычисления радиусов описанной и вписанной окружностей существуют специальные формулы.

Теперь у вас есть ключевые понятия и формулы геометрии треугольника на русском языке для успешного изучения и применения.

где — площадь треугольника, — его полупериметр; где — радиусы соответственных вневписанных окружностей

Ещё два полезных соотношения:

где — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника, — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.

Некоторые замечательные прямые треугольника

Бесконечно удалённая прямая — трилинейная поляра центроида

Построение трилинейной поляры точки

Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом

Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) — трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника )

Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра

Вписанные и описанные фигуры для треугольника

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярное преобразование.

Изогональные сопряжения линий треугольника

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

(второе тождество для тангенсов)

(первое тождество для синусов)

(второе тождество для синусов)

(тождество для косинусов)

(тождество для отношения радиусов)

Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение получается тождество для котангенсов:

по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

Четыре важных точки треугольника

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы).

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центр тяжести делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.

Центр вписанной окружности

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

Радиус окружности вписанной в треугольник вычисляется по формуле:

Ортоцентр

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Длина высоты на сторону $a$ вычисляется по формуле:

Центр описаной окружности

Прямую, проходящую через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней, называют серединным перпендикуляром стороны треугольника.

Серединные перпендикулры сторон треугольника пересекаются в одной точке и являются центром окружности, описанной около этого треугольника..

Радиус окружности, описанной около треугольника вычисляется по формуле:

У равнобедренного треугольника биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Периметр и площадь треугольника

Периметр $O$ и площадь $P$ треугольника вычисляется по формулам:

$O = a + b + c$,

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треуугольника, то такие треугольники равны.

Четвёртый признак равенства треугольников

Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторанам другого треугольника и угол, лежащий против большей из этих сторон, равен соответствующему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, один из углов, противолежащих этим сторонам первого треугольника, равен соответстветствующиму углу второго треугольника, а второй угол, противолежащей этим сторонам, одног типа, что и соответствующий ему угол второго треугольника (т. е. острый, прямой или тупой), то такие треугольники подобны.

Пусть $a$ и $b$ катеты, а $c$ гипотенуза прямоугольного треугольника.

Если $h$ высота, опущенная на гипотенузу, $p$ и $q$ проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу, тогда

Площадь прямоугольного треугольника

Периметр и площадь равностороннего треугольника

Определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

Пусть $a$ и $b$ катеты, а $c$ гипотенуза , а $alpha $ и $eta $ углы, соответствующие катетам $a$ и $b$. Тогда

Формулы тригонометрических функций половинных углов

$c = acos eta + bcos alpha$,

Равенство по двум сторонам и углу между ними

Равенство по стороне и двум прилежащим углам

Равенство по трем сторонам

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского треугольники равны если равны их три угла.

Треугольник в неевклидовых геометриях

Свойства треугольника со сторонами и углами

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

На плоскости Лобачевского

Для треугольника со сторонами , и углами

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Связь суммы углов с площадью треугольника

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне:

В случае треугольника эйлерова характеристика Углы — это внешние углы треугольника. Значение величины (гауссовой кривизны) — это для евклидовой геометрии, для сферы, для плоскости Лобачевского.

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Треугольник в римановой геометрии

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (xB, yB) и C = (xC, yC), то площадь может быть вычислена в виде от абсолютного значения определителя:

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках

Введём вектор площади Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим где — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом:

Площадь треугольника равна

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через и и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через и , тогда получим формулу:

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), то площадь может быть вычислена по формуле