Освоить теорию вероятностей и решение задач за 60 минут

Профильный экзамен по математике

Профильный экзамен по математике содержит 19 заданий, из которых 12 с кратким ответом и 7 с развернутым. На ЕГЭ-2024 будет 2 задания по теории вероятностей под номерами 4 и 5.

Что такое теория вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений, событий, величин, свойств и операций над ними.

Примеры и способы решения задач по теории вероятностей ЕГЭ профильного уровня

Для решения заданий по теории вероятности в ЕГЭ необходимы:

  • оперирование понятиями случайное событие и его вероятность;
  • умение применять формулы сложения и умножения вероятностей, полной вероятности, комбинаторные факты и формулы.

Что поможет при подготовке к экзаменам

Чтобы при сдаче ЕГЭ не возникало сложностей при решении задач по теории вероятностей, нужна качественная подготовка. Используйте для этого пособие Математика. ЕГЭ. Теория вероятностей под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Книга включает в себя как выполненные примеры, так и задачи для самостоятельной работы, а теоретический материал будет полезен и педагогам, и выпускникам.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТОВАРЫ

Эта статья является резюме видео с YouTube. Теория вероятностей за 60 минут. №3,4 ЕГЭ 2023 по математике от Школково ЕГЭ, ОГЭ, олимпиады. В видео рассказывается о теории вероятностей и решении задач, связанных с элементарными исходами, условной вероятностью и теоремой умножения вероятностей.

Ключевые выводы

Спасибо за отзыв. У нас есть дополнительная информация.

Что такое теория вероятности из ЕГЭ по математике?

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий случайные события и величины, а также их свойства и различные арифметические операции над ними. Вероятность показывает количественную оценку возможности наступления некоторого события.

Классическое определение вероятности – подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

По сути, все задачи первой группы из ЕГЭ по теории вероятности являются чем-то вроде: В ящике лежит 4 шара, один из них черный. Какова вероятность с первого раза случайно вытащить черный шар?. То есть вероятность события есть отношение благоприятного числа исходов к общему числу исходов.

Посмотрим, как решаются задания 1–11 из практикума.

Теория вероятности: как решать задачи на ЕГЭ

В 4 номере число благоприятных исходов подсчитывается перебором, а случаи 3–5 и 5–3 (кол-во очков на костях) — исходы разные, и считать их нужно отдельно. Общее же число исходов быстрее посчитать не перебором, а 6*6 — на каждый из 6 вариантов на первой кости приходится по 6 вариантов на второй. Вещи это довольно простые, но обсудить их хотя бы один раз стоит.

Приступая к 11 задаче, стоит иметь в виду, что иногда условие задачи можно переформулировать более наглядным для себя образом, если суть происходящего не меняется. Эту же самую задачу можно представить так:


Задача о садования девочек

Пусть за круглый стол с 9 стульями садятся 2 девочки. Мальчиков нет вообще. Сначала заходит одна девочка и садится на произвольное место. Потом заходит вторая и садится на произвольное место из свободных. Какова вероятность, что она сядет рядом?


При такой формулировке любой ученик сможет посчитать, что осталось свободных 8 мест, только 2 из них подходящие — рядом с первой девочкой, и разделить 2 на 8.

Были ли мальчики, или нет, заходили девочки одновременно, или по очереди, и если по очереди, то место, куда села первая девочка — это всё не имеет значения. Важно лишь то, что было 9 мест и 2 девочки. Иногда такой подход, подобное переформулирование задачи заметно упрощает процесс умозрительного представления и решения.


Достаточно распространен немного более усложненный вариант этой же задачи. Есть 4 комнаты по 4 стула в каждой, 16 человек рассаживают по стульям, какова вероятность двум близнецам оказаться в одной комнате? Аналогично, представляем, что человек не 16, а всего 2 — наши близнецы, и мы запускаем их по очереди. Первый садится куда-то, куда — не важно. Важно то, что, когда второй пойдет садиться на какой-то стул, подходящих стульев будет 3 (в комнате с первым близнецом), а всего свободных — 15.

Хотя бы один из

Давайте пойдем методом от противного и возьмем обратное утверждение к хотя бы одна лампа не перегорит. Неправильно – хотя бы одна лампа перегорит, но правильно – перегорят все. То есть перегорит первая, и вторая, и третья, если бы она была по условию задачи — а это уже произведение событий, притом обратных.

Итак, P (A + B + C) = 1 – P (Ā * Ḃ * Ć) — формула, справедливая для любого (можно и больше трех) числа событий. Не обязательно знать формулу, важно понимать сам принцип, который формула отображает.

На примере номера 16 разбираем оба способа решения. Оба способа очень важны, так как в случае несовместных или зависимых событий второй способ не действителен.

Теория вероятности ЕГЭ решения задач

Введем немного терминологии:

  • События называются противоположными, если они несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Простым языком: если событие А — кое-что произошло, то Ā — то же самое не произошло. P (Ā) = 1 – P (A).
  • Произведением событий А и В называется событие АВ, заключающееся в том, что произошли оба события одновременно: и А, и В.

Теорема 1: если события А и В независимы и совместны, то P (AB) = P(A) * P(B)

Теория вероятностей: основные принципы

Вероятность произведения и суммы событий

То есть, вероятность произведения есть произведение вероятностей.

Суммой событий А и В называется событие А+В, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В.

Теорема 2

Вероятность суммы событий есть сумма вероятностей за вычетом вероятности из произведения P (A+B) = P(A) + P (B) – P (AB).

Для несовместных событий, P (AB) = 0. Случаи, когда события совместны, но зависимы, бывают в задании 4 крайне редко, и в подобных номерах недостающая информация, как правило, известна из условия.

Пример использования теории вероятностей

Рассмотрим на примере. Случайно выбранное стекло (на рынке) может оказаться продукцией первой фабрики (45%), или второй (55%) с определенной вероятностью быть бракованным в первом и во втором случае. Условие можно представить в виде схемы (дерева), включающей в себя все возможные исходы.

СобытиеВероятность
Стекло произведено на первой фабрике0.45
Стекло произведено на второй фабрике0.55
Стекло браковано при производстве на первой фабрике0.1
Стекло браковано при производстве на второй фабрике0.02

Нарисовав такую схему, легко считать конечные вероятности. Например, вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным, равна 0.019.

События случайное стекло произведено на первой фабрике и случайное стекло, произведенное на первой фабрике, браковано — совместны и независимы, поэтому их вероятности мы перемножили для того, чтобы найти вероятность события стекло будет произведено на первой фабрике и окажется бракованным.

Важные уточнения к решению задач ЕГЭ на теорию вероятности

  1. Метод хорошо работает и в случае постановки условия наоборот.
  2. К подобной задаче можно рисовать не одну блок-схему.

Примеры задач и решения ЕГЭ по теории вероятности

Теория вероятности ЕГЭ задания 4 и 5 можно условно разделить на 2 группы:

Если вы нарисовали схему и видите, что ваше условие, ваши вероятности к ней не подходят, просто нарисуйте ее иным способом. Существует как минимум два способа изображения условия.

Вероятность без дефекта

Для начала давайте вычислим вероятность не бракованной батарейки. Пусть событие $A$ означает, что батарейка исправна, а событие $B$ означает, что другая батарейка в упаковке также исправна. Тогда вероятность того, что обе батарейки исправны, равна $P(A) \cdot P(B)$, так как события независимы.

Дано:

  • Вероятность того, что батарейка бракованная: $P(\text{не } A) = 0.02$
  • Вероятность того, что обе батарейки исправны: $P(A) \cdot P(B)$

$$P(A) = 1 – P(\text{не } A) = 1 – 0.02 = 0.98$$

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными:

$$P(A) \cdot P(B) = 0.98 \cdot 0.98 = 0.9604$$

Ответ: вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными, равна 0.9604.

Вероятность желтого такси

Сначала определим общее количество машин в таксопарке:

$$\text{Общее количество машин} = 2 + 9 + 4 = 15$$

Теперь найдем вероятность того, что при вызове приедет желтое такси:

$$P(\text{желтая}) = \frac{\text{Количество желтых машин}}{\text{Общее количество машин}} = \frac{9}{15} = 0.6$$

Ответ: вероятность того, что к заказчице приедет желтое такси, равна 0.6.

Вероятность без дефекта тарелки

Пусть событие $A$ означает, что тарелка не имеет дефект, а событие $B$ означает, что тарелка имеет дефект. Тогда вероятность того, что тарелка не имеет дефект, равна $P(A) = 1 – P(B)$.

Дано:

  • Вероятность того, что тарелка имеет дефект: $P(B) = 0.1$
  • Вероятность того, что тарелка не имеет дефект: $P(A) = 1 – 0.1 = 0.9$
  • Вероятность того, что при контроле будет выявлен дефект: $P(\text{выявлен дефект}) = 0.9$

Из условия задачи следует, что оставшиеся тарелки не имеют дефектов и поступают в продажу. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов, равна вероятности выбора тарелки из оставшихся.

Ответ: вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов, равна 0.9.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *