Презентация на тему выпуклые четырёхугольники

Площадь выпуклого четырёхугольника

Слайд 2

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей

Image 1

На синус угла между ними

Image 2

Которого равна половине площади данного четырёхугольника

Image 3

Треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой.

Специфика параллелограмма

Image 4

D12 + d22 =


Специфика параллелограмма

Слайд 7

Специфика параллелограмма

  1. Биссектрисы углов, прилежащих к любой

Image 5

Из сторон параллелограмма, перпендикулярны.


Слайд 8

Специфика параллелограмма

При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается равнобедренный треугольник.

Image 6


Специфика параллелограмма

Слайд 9

Специфика параллелограмма

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является

Image 7

Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.


Слайд 10

Специфика параллелограмма

  1. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Image 8

Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом.

Имеющий равные высоты, является ромбом.


Специфика трапеций

Слайд 11

Специфика трапеций

Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре

Image 9

Из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия

равным отношению оснований трапеции.


Слайд 12

Специфика трапеций

  1. SBAD = SCAD, SABC =

Image 10

SDBC (как площади треугольников, имеющих соответственно одинаковые основания и

  1. SOAB = SOCD (т.к. SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC = SOCD).

  2. SBAD : SDBC = AD : BC (SBAD = 0,5·AD·h, SDBC = 0,5·BC·h).


Специфика трапеций

Слайд 13

Специфика трапеций

  1. Диагонали трапеции делят её на четыре

Image 11

Треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые

прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S1S2 = S2.

(SOAD = S1 = 0,5·OB·OC·sin α, SOCB = S2 = 0,5·OA·OD·sin α, SOAB = S = 0,5·OA·OB·sin(180° – α) = 0,5·OA·OB·sin α, SOCD = S = 0,5·OC·OD·sin(180° – α) = 0,5·OA·OB·sin α, тогда S1S2 = S2).

точке O. Известно, что BD = 10, CK = 4, KO = 2. Найдите AC.

Решение.

Так как АС ∥ BD, то треугольники AOK и BOD подобны по двум углам (общему углу на вершине O и противоположному углу между АК и BD). Следовательно, можно записать пропорцию сторон:

[\frac{AO}{BO} = \frac{AK}{BD}] [\frac{AO}{10} = \frac{2}{10}] [AO = 2]

Так как КТ = RO = 2, то TO = KO – KT = 2 – 4 = -2.

Также из подобия треугольников ОКD и ОТА можно записать пропорцию сторон:

[\frac{KO}{AO} = \frac{KD}{TA}] [\frac{2}{2} = \frac{10}{TA}] [TA = 10]

Отобразим данные на рисунке.

Следовательно, ответ: AC = TA + CK = 10 + 4 = 14.

Слайд 21 Выводы

  1. Трапеции обладают множеством интересных свойств и специфических дополнительных построений.
  2. Понимание геометрических конструкций в трапециях позволяет решать сложные задачи с легкостью.
  3. Практика решения геометрических задач на тему трапеций помогает развивать логическое мышление и навыки построения.

Площади геометрических фигур

В этой статье мы рассмотрим несколько геометрических задач на вычисление площадей различных фигур. Давайте начнем!

Задача №1

Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника AРD.

Решение

  1. По трём равным сторонам, площадь AВD равна площади CDB.
  2. SABD = SCDB = 0,5·SABCD = 0,5·24 = 12;
  3. SKPB = SCDB – SPKCD = 12 – 10 = 2

Задача №2

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников OAD и OCB равны соответственно 16 и 9. Найдите площадь трапеции.

  1. AD и BC – основания трапеции ABCD.
  2. SОAD~ SОCB (по двум равным углам), SOAD : SOCB = k2 = 16:9, где k = 4:3 = OA:OC.
  3. SBAD = SCAD, так как эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты равны.
  4. SOCD = SOAB = 12.
  5. SABCD = SOAD + SOCB + SOCD + SOAB = 16 + 9 + 12 + 12 = 49.

Задача №3

Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP=40 см, NK=24 см.

  1. Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD. Тогда ABCF – параллелограмм (по определению).
  2. BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; SFCB = 0,5·SABCF
  3. SАВЕ = 0,5·SABCF = SDCB = 15.

В данной статье мы рассмотрели несколько геометрических задач на вычисление площадей различных фигур. Надеемся, что данная информация была полезной для вас.

Статья о геометрии трапеций

Задачи и решения

Задача № 1

Необходимо найти площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36. Известно, что BC – меньшее основание трапеции.

Дано:

  • Площадь трапеции ABCD = 36
  • BC = AB = CD

Решение

  1. Треугольники ABC и DCB равнобедренные, поэтому BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников.
  2. AH = HC = BE = ED
  3. Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, следовательно, треугольник BCEH также является трапецией.

Задача № 2

Для данной трапеции с диагоналями 3 и 5 и отрезком, соединяющим середины оснований равным 2, необходимо найти площадь трапеции.

Решение

  1. Дополнительное построение: СМ параллельна KL, CF параллельна BD.
  2. LKCM и DBCF – параллелограммы
  3. CM – медиана треугольника ACF

Задача № 3

В этой задаче требуется найти площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали которого равны 8 и 5, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, также равны.

Задача № 4

На самые продвинутые геометрические навыки требует задача о трапеции ABCD с диагоналями AC и BD.

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 5

Необходимо найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BТ для четырёхугольника ABCD.

Задача № 6

На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Необходимо найти площадь треугольника АРD.


Автор: Наталия Петрова, геометр и преподаватель

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *