Сомнительная достоверность
Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе. На странице обсуждения могут быть пояснения. (26 апреля 2023)
Четырёхугольники с параллельными противоположными сторонами
Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется полным четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Ньютона — Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.
Согласно теореме о сумме углов многоугольника, сумма углов четырёхугольника без самопересечений равна 360°.
Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон. Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть:
Равенство в неравенстве четырёхугольника достигается только в том случае, если он вырожденный, то есть все четыре его вершины лежат на одной прямой.
Для сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника выполнено неравенство Птолемея, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырёхугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.
Соотношения между сторонами и диагоналями
Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:
Это соотношение можно представить в виде определителя, который представляет собой выражение для квадрата объёма тетраэдра через длины его рёбер с помощью определителя Кэли-Менгера. Если вершины тетраэдра лежат в одной плоскости, то он имеет нулевой объём и превращается в четырёхугольник. Длины рёбер будут длинами сторон или диагоналей четырёхугольника.
Соотношения Бретшнайдера — соотношение между сторонами , , и и противоположными углами и диагоналями , простого (несамопересекающегося) четырёхугольника:
Специальные прямые линии четырёхугольника
Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона.
Теоремы о средних линиях четырёхугольника
Прямая, получаемая соединением середин диагоналей (L, M и N), называется прямой Ньютона — Гаусса.
Ортополярные линии ортополюсов троек вершин четырехугольника
Внутри четырёхугольника существует точка Понселе.
Точка Микеля четырёхугольника
Внутри четырёхугольника существует точка Микеля.
Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника
Первая теорема Птолемея
Вторая теорема Птолемея
Теория о четырёхугольниках
В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.
Формулы для длин диагоналей (следствия первой и второй теорем Птолемея)
- Японская теорема (Japanese theorem)
- Теорема Микеля-Штейнера для четырёхстронника
Где p — полупериметр четырёхугольника.
Вписанные четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями
Вводя понятие полупериметра p, имеем . Следовательно, также имеем . Далее можно заметить: Следовательно, Тогда по формуле (1) в рамке в параграфе Площадь имеем
Вписано-описанные четырёхугольники ABCD и EFGH и Поризм Понселе для них
Вписано-описанный четырёхугольник ABCD с центром I вписанной и с центром O описанной окружностей
Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его внутренне-касающийся вписанный четырёхугольник WXYZ
Площадь вписанно-описанного четырёхугольника
Разбиение сторон касательного четырехугольника точками касания с окружностью
Внеописанный четырёхугольник для окружности
Внеописанный четырёхугольник ABCD и его вневписанная окружность
Внеописанный четырёхугольник для параболы
Описанный четырёхугольник ортодиагональный четырёхугольник
Ортодиагональный четырехугольник, и прямоугольники, вписанные в , и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.
Ортодиагональный четырехугольник. и точки Паскаля, формируемые с помощью окружности , – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника вписанного в . и точки Паскаля, формируемые с помощью окружности , – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника вписанного в .
Свойства диагоналей некоторых четырёхугольников
Четырёхугольник Деление диагоналей пополам в точке их пересечения Перпендикулярность диагоналей Равенство длин диагоналей Деление углов пополам диагоналями
Трапеция Нет См. замечание 1 Нет Нет
Равнобедренная трапеция Нет См. замечание 1 Да Хотя бы двух противоположных углов
Дельтоид См. замечание 2 Да См. замечание 2 См. замечание 2
Замечание
Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеций не имеют перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечное число (неподобных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые действительно имеют перпендикулярные диагонали и не похожи на какой-либо другой названный четырёхугольник.
У дельтоида одна диагональ делит пополам другую. Другая же диагональ делит его противоположные углы пополам. Наиболее общий дельтоид имеет неодинаковые диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) дельтоидов, у которых диагонали равны по длине (и дельтоиды не являются каким-либо другим из названных четырёхугольников).
Симметрии некоторых четырёхугольников
На рис. показаны некоторые симметричные четырёхугольники, их переход друг в друга, а также дуальные к ним. Обозначения на рис.:
Замечание. Первая и вторая средние линии четырёхугольника — отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон
Площадь прямоугольника
Для прямоугольника площадь можно вычислить по формуле:
[S = a \cdot b]
Где (a) и (b) – длины сторон прямоугольника.
Формула для вписанных четырёхугольников
Для вписанных четырёхугольников площадь можно вычислить по формуле:
[S = \sqrt{(p – a)(p – b)(p – c)(p – d)}]
Где:
- (p) – полупериметр четырёхугольника, равный полусумме всех его сторон.
- (a, b, c, d) – длины сторон четырёхугольника.
Из этой формулы вытекает формула Брахмагупты:
[S = \sqrt{(p – e)(p – f)}]
Где:
- (e, f) – диагонали четырёхугольника.
Прямоугольник 5 на 4
Прямоугольник с длиной стороны 5 и шириной 4 также может быть рассмотрен как пример прямоугольника.
В евклидовой геометрии прямоугольником считается четырёхугольник, у которого хотя бы три угла прямые. В неевклидовой геометрии, где сумма углов не равна 360°, понятие прямоугольника может быть обобщено.
Место в планиметрии
Прямоугольник можно рассматривать как:
- Параллелограмм с прямыми углами.
- Фигуру с прямыми углами.
Важным частным случаем прямоугольника является квадрат, у которого равны как углы, так и стороны. Каждый квадрат является прямоугольником, но не наоборот.
Благодаря своей симметрии, прямоугольники широко применяются в орнаментах, мозаиках и паркетах.
Прямоугольники в различных геометриях
Прямоугольники могут быть интересно рассмотреть в различных геометриях:
- Сферическая геометрия: сферический прямоугольник имеет дуги больших окружностей под углами более 90°.
- Эллиптическая геометрия: эллиптический прямоугольник представляет собой фигуру с эллиптическими дугами.
- Гиперболическая геометрия: гиперболический прямоугольник имеет гиперболические дуги под углами менее 90°.
Понятие прямоугольника может быть интересно рассмотреть в контексте различных геометрий и их особенностей.