Спираль ферма и оптика

Линзы: Фокусное расстояние и оптическая сила

Линза (нем. linse, от лат. lens — чечевица) — это простейший оптический элемент, ограниченный с двух сторон сферическими поверхностями.

Обычно линзы изготавливаются из оптического стекла (стекло специального изготовления с минимальным количеством дефектов: пузырьков воздуха, включений посторонних микрочастиц).

Типы линз

Линзы могут быть выпуклыми и вогнутыми. У выпуклых линз середина толще, чем края, у вогнутых — наоборот. В выпуклых линзах различают двояковыпуклые, плосковыпуклые и вогнуто-выпуклые. Вогнутые линзы подразделяются на двояковогнутые, плосковогнутые и выпукло-вогнутые.

Тонкая линза

Если толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей и расстоянием от предмета до линзы, то такую линзу называют тонкой. Луч света, проходящий через оптический центр тонкой линзы, практически не преломляется.

Фокусы линзы

Выпуклая линза

Если на выпуклую линзу направить пучок света параллельно ее главной оптической оси, она соберет его в некоторой точке $F$ на оси линзы, которая называется главным фокусом. Расстояние от центра линзы до точки $F$ называется фокусным расстоянием.

Вогнутая линза

Пучок света, направленный параллельно оптической оси вогнутой линзы, после преломления в ней расходится. Если продолжить расходящиеся лучи, они соберутся на оптической оси линзы в мнимом фокусе. Такая линза называется рассеивающей.

Фокусное расстояние линзы зависит от кривизны поверхностей, ограничивающих линзу. Чем больше кривизна поверхности линзы, тем меньше фокусное расстояние.

Изображение линз

Изображение фокусов линзы

## Оптическая сила линзы и построение изображений

Оптической силой линзы называется физическая величина, обратная фокусному расстоянию:

- Фокусное расстояние собирающей линзы (и соответственно, ее оптическую силу) условились считать положительной величиной, т.к. собирающая линза обладает действительным фокусом.
- Фокусное расстояние рассеивающей линзы (и, соответственно, ее оптическую силу) — отрицательная величина, т.к. у рассеивающей линзы мнимый фокус.

## Построение изображений в линзах

### Собирающая линза

Для образования оптического изображения точки в линзе достаточно двух лучей. В качестве таковых выбираются любые два из трех лучей, ход которых известен:

1. Луч, идущий параллельно оптической оси линзы
2. Луч, проходящий через оптический центр линзы
3. Луч, проходящий через фокус линзы

### Рассеивающая линза

Поскольку лучи после преломления в рассеивающей линзе не пересекаются, то в фокусе собираются продолжения этих лучей. Получаемое изображение, следовательно, является мнимым и прямым.

## Формула тонкой линзы

Используя законы геометрии, в частности, подобие треугольников, можно вывести формулу, связывающую расстояние d от предмета до линзы, расстояние d1 от изображения до линзы и фокусное расстояние линзы f:

Решение задачи 1:

Дано: f = 10 см, d = 20 см

Используем формулу тонкой линзы:

1/d + 1/f = 1/F

Подставляем значения:

1/20 + 1/10 = 1/F

Упрощаем:

0.05 + 0.1 = 1/F

0.15 = 1/F

F = 1/0.15 = 6.67 см

Ответ: F = 6.67 см

Решение задачи 2:

Дано: f = -15 см, d = -30 см

Используем формулу тонкой линзы:

1/d + 1/f = 1/F

Подставляем значения:

1/-30 + 1/-15 = 1/F

-0.033 – 0.067 = 1/F

-0.1 = 1/F

F = 1/-0.1 = -10 см

Ответ: F = -10 см

Решение задачи 3:

Дано: f = 5 см, d = 15 см

Используем формулу тонкой линзы:

1/d + 1/f = 1/F

Подставляем значения:

1/15 + 1/5 = 1/F

0.067 + 0.2 = 1/F

0.267 = 1/F

F = 1/0.267 = 3.75 см

Ответ: F = 3.75 см

Решение задачи 4:

Дано: f = -20 см, d = 40 см

Используем формулу тонкой линзы:

1/d + 1/f = 1/F

Подставляем значения:

1/40 + 1/-20 = 1/F

0.025 – 0.05 = 1/F

-0.025 = 1/F

F = 1/-0.025 = -40 см

Ответ: F = -40 см

С помощью решения таких задач можно легко отработать навыки по определению фокусного расстояния линзы, а также понять, каким образом меняется изображение в зависимости от параметров линзы и расположения объекта.

Расстояние между собирающей линзой и предметом

Какое расстояние нужно выбрать между собирающей линзой и предметом, чтобы получить его прямое изображение, увеличенное в 2 раза? Известно, что оптическая сила линзы D=+10 дптр. Найдите это расстояние в сантиметрах и округлите до целого числа.


Из рисунка видно, что треугольники △АКО и △CDO подобны, т.к. оба треугольника прямоугольные и ∠O – общий. В задаче сказано, что изображение предмета должно быть увеличено в 2 раза. Значит, коэффициент подобия треугольников будет равен:

k = A K D C = 2 f = 2 d

Воспользуемся формулой для тонкой линзы. Изображение у нас мнимое, значит, перед f ставим знак минус.

1 d − 1 f = 1 F = D 1 d − 1 2 d = D 1 2 d = D d = 1 2 D = 1 2 ⋅ 10 дптр = 0 , 05 м

Ответ: 5 см

Задача (Действительное изображение)

Найдите коэффициент увеличения изображения предмета.


Решим пункт a.

Здесь изображение находится за двойным фокусом. Значит, как мы знаем, в этом случае изображение получается действительным, перевёрнутым, уменьшенным.

Чтобы узнать коэффициент увеличения, нужно найти отношение C1A1:CA. Другими словами, нужно найти коэффициент подобия треугольников △A1C1O и △ACO. Воспользуемся формулой тонкой линзы.

F – одна единица (1 клетка), d – 3 единицы (3 клетки).

1 3 + 1 f = 1 1 f = 3 2

Коэффициент подобия треугольников △A1C1O и △ACO:

k = f d = 1 , 5 3 = 0 , 5

Значит, коэффициент увеличения изображение тоже равен:

k = A 1 C 1 A C = 0 , 5

Решим пункт б.

Когда предмет находится между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы, то изображение получается действительным, увеличенным, перевёрнутым.


На рисунке показан ход двух лучей от точечного источника света A через тонкую линзу.

Какова оптическая сила линзы, если одна клетка на рисунке соответствует 2 см?

Мы видим, что изображение точки A, будет действительным, т.к. лучи пересекаются за самой линзой.

Расстояние от точки до линзы равно d = 6 клеток ∙ 0,02 м = 0,12 м. Расстояние от линзы до изображения точки равно f = 12 клеток ∙ 0,02 м = 0,24 м. Применим формулу тонкой линзы.

1 0 , 12 м + 1 0 , 24 м = 1 F = D D = 12 , 5 дптр

Ответ: 12,5 дптр

Задача (Рассеивающая линза)

В тонкой рассеивающей линзе получено уменьшенное в 5 раз изображение предмета. Определите модуль фокусного расстояния линзы, если предмет находится на расстоянии d = 20 см от линзы.

Воспользуемся формулой увеличения линзы. Изображение уменьшено, поэтому формула принимает перевёрнутый вид

d f = 0 , 2 м f = 5 f = 0 , 2 м 5 = 0 , 04 м

Теперь не проблема найти фокусное расстояние.

В рассеивающей линзе фокусное расстояние в формулу тонкой линзы подставляем со знаком "минус". Изображение получается в рассеивающей линзе мнимым, поэтому перед f тоже ставим знак "минус".

1 0 , 2 м − 1 0,04 м = − 1 F F = 0,05 м

Ответ: 0,05 м

Задача (Скорость изображения муравья)

Муравей движется перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы, которая имеет фокусное расстояние F. Он находится на расстоянии 8 3 ∙F от линзы и движется со скоростью V = 5 см/с. Какая скорость u будет у движущегося изображения муравья?

d = 8 3 ⋅ F

За 1 с муравей реально проползёт 5 см. Узнаем, сколько его изображение проползёт за 1 с.

Составим систему уравнений. Первое уравнение – это формула увеличения линзы, вторая – формула тонкой линзы.

Из второго уравнения выражаем f.

f = 8 ⋅ F 5

Подставляем в первое.

x 5 = 8 F 3 8 F 5 = 3 см

Получается за 1 с изображение муравья пройдёт 3 см.

Ответ: u = 3 см/c

Таким образом, решение задач на линзы требует понимания основных определений и формул, связанных с тонкими линзами. Важно уметь правильно выбирать знаки величин и следить за единицами измерения. Решение задач на линзы не только позволяет лучше понять оптику, но и развивает навыки анализа, логического мышления и применения математических методов.

Спираль ферма и оптика

О выборе единицы преломляющей силы-диоптрии

Posted at 14:46h Интересные факты

29 сентября 1873 года на офтальмологической секции международного медицинского конгресса в Брюсселе была введена метрическая система в нумерации очковых стекол и выбрана единица преломляющей системы — диоптрия. Этому событию 17 октября 1925г. был посвящен доклад M.N. Jospk «К пятидесятилетию диоптрии» на заседании Парижского офтальмологического общества. В докладе сообщалось, что диоптрия широко применяется в течение уже 50 лет, даже в тех странах, в которых еще не была введена метрическая система, и что принятие этой метрической системы прошло не без затруднений. Ранее оптическую силу очковых линз рассчитывали в дюймовой системе — единицей преломляющей силы было стекло с фокусным расстоянием в один дюйм. Но такое стекло обладало большой преломляющей силой, что само по себе было неудобно, да и дюйм был не одинаковым в разных странах.

Еще в 1863г. известный офтальмолог Марк-Антуан Жиро-Телон, известный созданием бинокулярного офтальмоскопа (1861г.), указал на преимущество использования стекла со слабой преломляющей силой. На международном медицинском конгрессе в Париже в 1867г. Эмиль Жаваль предложил применять метрическую систему в измерении фокусного расстояния стекол, а Альбрехт Эдуард Нагель рекомендовал принять за единицу измерения стекло с фокусным расстоянием в 100см. Однако пользоваться такой единицей было неудобно. Название новой единицы измерения «диоптрия» — было предложено французским окулистом Фердинандом Моноер. Diopter — это греческое слово, означающее «видящий на сквозь» В журнале «Annales d’ oculistiques» в 1872г. Ф. Моноер опубликовал статью «О внедрении метрической системы в нумерации очков и выборе единицы преломления» В клиническую практику новую единицу измерения оптической силы-диоптрию ввел выдающийся шведский офтальмолог, лауреат Нобелевской премии по физиологии и медицине Альвар Гульстранд (1862-1930).

На офтальмологическом конгрессе в 1874г. в Гейдельберге А.Э. Нагель представил первый набор пробных очковых линз по новой метрической системе, произведенной в оптических мастерских Кристиана Генриха Эрбе в Тюбингене. Вообще же первый набор пробных стекол для подбора очков был изготовлен в Англии в 1750г., а самым древним из сохранившихся наборов с пробными линзами является набор 1778г., выпущенный в Мюнхене.

Французский офтальмолог Фердинанд Моноер (1836-1912), доктор медицины,профессор медицинской физики, директор офтальмологической клиники медицинского факультета университета Нанси, профессор физической медицины медицинского факультета университета Лиона предложил десятичную систему обозначения остроты зрения и издал таблицу для проверки остроты зрения, интересную еще тем, что если читать крайние справа и слева буквы этой таблицы снизу вверх (исключая нижнюю строку) можно прочитать имя «Ferdinand Monoyer» о широте его научных интересов свидетельствуют, например такие работы, как: «Экстракция катаракты в случае дислокации хрусталика с осложнением увеального тракта и стекловидного тела» 1867г., «Аномалии рефракции глаза: теоретические представления и клинические наблюдения» 1868г., «Радикальное изменение некоторых форм слезных опухолей путем частичного удаления мешка, методической катетеризации и инъекции сульфата натрия» 1873г., «Новая формула для расчета преломляющей силы числа пресбиопических очков» 1875г., «Общая теория центрированных диоптрических систем» 1883г., «Измерение и коррекция пресбиопии» 1898г. и др.

Используемая литература: Р.Н. Коровенков «Очерки истории офтальмологии»

А ещё я расскажу, как можно без этого прибора определить реальные диоптрии и фокусное расстояние линз купленных очков.

* Нет, это не микроскоп.

Спираль ферма и оптика

Начну с конца. Вы купили очки и возникли сомнения, что указанные диоптрии соответствуют заявленным. Как определить реальное значение?

Всё просто. Делите 1(один) на фокусное расстояние линзы в метрах, получаете её оптическую силу в диоптриях.

А как определить фокусное расстояние линзы?

А вот это можно сделать разными способами.

Вариант, сходить в ближайшую оптику и за шоколадку попросить измерить линзы, безусловно получает самый главный приз за оригинальность, но я расскажу про некоторые способы самостоятельного определения фокусного расстояния.

Первый и самый простой — с помощью Солнца (которое пока на небе).

Для тонкой линзы её фокусное расстояние — это расстояние от её плоскости до плоскости, где фокусируются направленные на неё параллельные лучи.

Солнечные лучи у Земли строго говоря не совсем параллельны, но для не очень высоконаучных измерений, их можно считать параллельными.

Соответственно фокусируем их на какую-нибудь поверхность и измеряем расстояние от линзы до этой поверхности. Это и будет фокусное расстояние этой линзы (F).

Спираль ферма и оптика

*Эта и последующие иллюстрации приведены для упрощения понимания текста и не являются точными масштабными схемами объектов и явлений.

Этот метод не требует никакого специфического оборудования, только Солнце и рулетку. Но в этом и первая проблема метода — Солнце не всегда под рукой. И включить его выключателем в нужный момент нельзя.

Но его можно заменить на какой-то другой источник условно параллельных лучей — контрастные облака, прожектор где-то вдали, лазер.

Вторая проблема в том, что определять точку фокусировки не всегда просто. Если на линзах с небольшой оптической силой Солнце фокусируется в достаточно большой круг, по которому точка фокуса на чёрной картонке детектируется легко, то линзами с большой оптической силой, Солнце фокусируется в маленькую очень яркую точку. Мало того, что определить фокус такой точки сложнее из-за меньшего размера и большей яркости, так ещё и фокусировать её на картонку не получится. Нужно что-то не только чёрное, но и несгораемое, чугунная сковородка, например.

С лазерами тоже ситуация не простая. Не каждый имеющийся под рукой лазер позволяет легко определить точку фокуса. По крайней мере с четырьмя имеющимися у меня это оказалась проблематично. Фокус ловить сложно и вообще непонятно, что из того, что я вижу, является фокусом, а что уже расфокусом.

С одним лазером мне удалось достичь точности как с Солнцем, но нужно тщательно подбирать яркость лазера в зависимости от окружающего освещения.

Второй способ.

Он не требует Солнца, лазеров, контрастных облаков или прожекторов, висящих в километре от вашего окна. Он вообще не требует источника параллельных лучей.

Но по-прежнему нужна рулетка и источник света, на этот раз, наоборот, с неупорядоченными лучами, типа лампы накаливания или света, отражённого от какого-то обычного объекта.

Схема измерения здесь следующая:

Спираль ферма и оптика

Помещаете линзу между источником света и экраном, на который пытаетесь сфокусировать источник света, передвигая линзу между ним и экраном.

В точке фокуса измеряете расстояние от линзы до источника света (Lист) и расстояние от линзы до сфокусированного изображения на экране (Lизобр) и по следующей формуле получаем фокусное расстояние (F) и диоптрии (D) этой линзы:

1 / Lист + 1 / Lизобр = 1 / F = D

В этом способе есть две тонкости. Первая это то, что точки фокуса тут две. В одной изображение уменьшенное, во второй увеличенное. Но обе считаются по одной формуле. Какую выбирать — на ваше усмотрение, где лучше видите момент фокуса.

И тут я бы рекомендовал использовать в качестве источника света не просто лампу, а лампу, закрытую экраном с каким-то контрастным изображением. Чёрным крестом, например. Фокус такого изображения ловить проще.

Вторая особенность метода в том, что работает он только если между источником света и экраном расстояние не менее четырёх фокусных расстояний линзы. Иначе фокуса вы не поймаете. Ни с крестом, ни с иконой.

А из этого вытекает, во-первых, что вы должны хотя бы ориентировочно знать фокусное расстояние измеряемой линзы. А во-вторых, на линзах с малой оптической силой вам надо иметь приличное свободное расстояние для измерения. Для линзы в 1.5 диоптрии вам надо расстояние под 3 метра, и это если вы точно уверены, что она около 1.5 диоптрий. А если не уверены, то нужен в запас ещё метр-другой.

Но и это ещё не всё.

Оба этих метода напрямую позволяют измерять только собирающие (+) линзы.

Впрочем, есть одна хитрость, позволяющая измерять этими способами и рассеивающие (-).

Дело в том, что оптическая сила системы тонких линз равна сумме оптических сил линз её составляющих.

Соответственно нужно взять собирающую линзу заведомо большей оптической силы, чем рассеивающая, сложить их вместе и измерить их общую оптическую силу любым описанным выше методом. Затем измерить оптическую силу собирающей линзы теми же методами и вычесть её из оптической силы системы. В результате получится оптическая сила рассеивающей линзы.

Ещё раз отмечу, что всё это работает для тонких линз. Сложные системы, состоящие из множества линз и имеющие существенную общую толщину это уже совсем другая тема, сильно выходящая за рамки статьи. Но для систем, толщина которых существенно меньше их фокусного, это работает.

И для редких измерений описанные выше методы вполне подходят.

Но вот для частых измерений или профессиональной работы они вряд ли удобны. И для этих целей созданы специальные приборы — диоптриметры.

Они позволяют не только измерять оптическую силу линз от долей до десятков диоптрий, причём как собирающих, так и рассеивающих, но и имеют ещё ряд функций, необходимых при работе с линзами и очками. И всё это собрано в относительно компактном корпусе.

Диоптриметры бывают автоматические и ручные. Ниже я расскажу про ручной и про принцип его работы.

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Но для уменьшения габаритов прибора и для возможности измерения рассеивающих линз без танцев с бубном, лучи на линзу подаются не параллельные, а под углом. Под таким углом, чтобы обеспечить на выходе исследуемой линзы параллельный пучок, который уже фокусируется оптической системой (3) в одной плоскости (2).

Угол этот меняется ручкой (12), которая меняет положение элементов в оптической системе (10), проецирующей лучи на исследуемую линзу.

К этой ручке приделан барабан, на который нанесены деления в диоптриях.

Соответственно вы крутите ручку, добиваясь резкости специальных светящихся меток (8), сфокусированных в плоскости (2) и видимых в окуляре (1), а на барабане сразу отображается оптическая сила линзы в диоптриях.

Бегать с рулеткой, ловить Солнце уже не нужно. Система почти закрытая, поэтому внешнее освещение не усложняет определение точки фокуса.

Кроме того, диоптриметр позволяет измерять астигматические линзы — линзы, имеющие не сферическую форму и имеющие разную оптическую силу по разным направлениям.

Бытовой пример такой линзы — бутылка с вод(к)ой. Для простоты понимания считаем, что наша бутылка представляет из себя идеальный цилиндр. Если её поставить вертикально, то в горизонтальном сечении она круглая и представляет собой классическую собирающую линзу, по вертикали же она линейная и её оптическая сила в этом направлении равна нулю.

Теперь от теории к практике. Посмотрим, как устроен один конкретный диоптриметр. Разбирать его совсем до потрохов не имею возможности, но что-то покажу.

Устройства эти весьма специфические, сотнями миллионов, как смартфоны не продаются, поэтому технологии, используемые там, примерно такие же древние, как и принцип работы.

Свечку только заменили на лампу накаливания в подсветке.

Хотя нет, в этом экземпляре, несмотря на обещание 3 ваттной лампы, на самом деле 5 мм светодиод. Белый, яркий:

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Ничего страшного. Когда фазу пробьёт на корпус, сама к нему тогда и приварится.

Светит светодиод вот вон в ту трубочку:

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

в которой размещается маска, резкое изображение которой мы пытаемся ловить.

Там же, ниже, видим и зуб

чатую передачу, у которой явные проблемы с кариесом:

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

преобразует в линейное движение трубки с маской.

Немного благородной ржавчины совершенно не повредит точному оптическому прибору:

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Так сразу видна ручная лепка

Ну да ладно, идём дальше.

А дальше свет от светодиода, прошедший через маску и оптическую систему после неё, должен попасть на исследуемую линзу, которую нам нужно поместить вот сюда:

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Спираль ферма и оптика

Аяяй, расфокус. Крутим ручку со шкалой диоптрий и получаем:

Теперь смотрим на шкалу ручки:

Спираль ферма и оптика

Чуть больше 4 диоптрий.

По методам, описанным в начале статьи, у линз этих очков получилось фокусное расстояние F около 24 см = 4.2 диоптрии.

На мой взгляд хороший результат, по крайней мере я ожидал худшего, исходя из качества сборки многих элементов аппарата.

Проверка на нескольких других линзах с другой оптической силой дала тоже очень близкие значения, даже ещё ближе, чем на этих очках.

И я не уверен, что результаты, полученные методами из начала статьи более точные. Ловить фокус там не всегда просто. В диоптриметре же фокус ловится очень просто и чётко.

Ещё отличия могут быть вызваны следующим.

В первых методах мы ловим фокус всей линзы, некий средний результат. А линза ведь может иметь не идеальную форму, а значит и неодинаковую оптическую силу на разных участках. А диоптриметр измеряет относительно небольшую площадь и выдаёт оптическую силу именно этого участка. Впрочем, и в первых методах мы можем заэкранировать линзу непрозрачным материалом, оставив небольшой открытый участок для измерения, чтобы сравнение было более корректным.

Кроме того, если мы измеряем фокус с помощью «белого» света, то фактически мы измеряем некий абстрактный средний фокус для всех входящих в спектр длин волн, ведь свет разных длин волн преломляется одной и той же линзой под разными углами. Фактически у линзы несколько фокусных расстояний — для каждой длины волны своё фокусное:

Спираль ферма и оптика

Да, глаз лучше фокусируется именно по зелёной составляющей, как и сделано в диоптриметре, но тем не менее этот момент надо тоже знать и помнить.

Собственно, из-за этого сфокусировать белый свет в идеальную точку с резкими и чёткими границами не получится, на них всегда будут вылезать края спектра, известные большинству фотографов хроматические аберрации:

Спираль ферма и оптика

Кстати, а почему же глаз человека не видит в повседневной жизни эти аберрации, его хрусталик преломляет все волны одинаково? Конечно же нет. Часть аберраций устраняет мозг, часть убирается из-за особенностей строения глаза, подробнее можно почитать здесь.

Теперь немного из практики измерений реальных очков с Али.

Тут сильно как повезёт. Есть очки с близкими к обещанным значениями. При заявленных +2.5 в реальности имеют +2.5, при заявленных +4 имеют +4. И даже стеклянные +6 имеют честные +6. А есть и такие, которые вместо обещанных +2.5 имеют в реальности +1.5. А это почти 27 см лишнего фокусного расстояния.

Ну и на этом у меня пока всё, всем спасибо!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *