Теория вероятностей егэ

Что такое теория вероятности из ЕГЭ по математике?

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий случайные события и величины, а также их свойства и различные арифметические операции над ними. Вероятность показывает количественную оценку возможности наступления некоторого события.

Теория вероятности ЕГЭ решения задач

Введем немного терминологии:

  • События называются противоположными, если они несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Простым языком: если событие А — кое-что произошло, то Ā — то же самое не произошло. P (Ā) = 1 – P (A).
  • Произведением событий А и В называется событие АВ, заключающееся в том, что произошли оба события одновременно: и А, и В.

Теорема 1: если события А и В независимы и совместны, то P (AB) = P(A) * P(B)

То есть, вероятность произведения есть произведение вероятностей.

  • Суммой событий А и В называется событие А+В, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В.

Теорема 2: вероятность суммы событий есть сумма вероятностей за вычетом вероятности из произведения P (A+B) = P(A) + P (B) – P (AB).

Для несовместных событий, очевидно, P (AB) = 0. Случаи, когда события совместны, но зависимы, бывают в задании 4 крайне редко, и в подобных номерах недостающая информация, как правило, известна из условия.

За исключением еще одного момента, это, в принципе, вся теория, которую необходимо знать, но её надо знать четко, так как она требуется в каждой второй задаче задания 4.

Рассмотрим на примере. Случайно выбранное стекло (на рынке) может оказаться продукцией первой фабрики (45%), или второй (55%) с определенной вероятностью быть бракованным в первом и во втором случае. Условие можно представить в виде схемы (дерева), включающей в себя все возможные исходы.

СобытиеВероятность
Произведено на 1 фабрике45%
Произведено на 2 фабрике55%
Браковано на 1 фабрике5%
Браковано на 2 фабрике3%

Нарисовав такую схему, легко считать конечные вероятности. Если спрашивается вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным, то нам подходят два конечных исхода:

0,45 * 0,05 + 0,55 * 0,03 = 0,019

События случайное стекло произведено на первой фабрике и случайное стекло, произведенное на первой фабрике, браковано — совместны и независимы, поэтому их вероятности мы перемножили для того, чтобы найти вероятность события стекло будет произведено на первой фабрике и окажется бракованным. А вот конечные исходы мы просто сложили, так как события, очевидно, несовместны (стекло произведено только на какой-то одной фабрике) и подходят нам оба, т.е. случай хотя бы один из.

Важные уточнения к решению задач ЕГЭ на теорию вероятности

Во-первых, метод хорошо работает и в случае постановки условия наоборот, когда, скажем, была бы известна вероятность приобрести в магазине бракованное стекло, но не было бы известно, как много производят первая и вторая фабрика (в процентном соотношении). Тогда вместо 45% и 55% на нашей схеме были бы неизвестные и , через которые мы бы выразили известную вероятность брака случайного стекла.

Иллюстрация блок-схемы

Во-вторых, к подобной задаче можно рисовать, как правило, не одну блок-схему. Ниже приведен пример того, как иначе, неправильно, можно было бы изобразить условие номера 27.

В этом варианте, казалось бы, тоже перебраны все конечные исходы, но для такой блок-схемы у нас нет данных: условие сформулировано таким образом, что вероятности мы можем выписать именно для первой блок-схемы.

Иногда не совсем очевидно, как именно рисовать блок-схему, поэтому вот вам универсальный совет: если вы нарисовали схему и видите, что ваше условие, ваши вероятности к ней не подходят — просто нарисуйте ее иным способом. Существует как минимум два способа изображения условия.

Классическое определение вероятности – подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

По сути, все задачи первой группы из ЕГЭ по теории вероятности являются чем-то вроде: В ящике лежит 4 шара, один из них черный. Какова вероятность с первого раза случайно вытащить черный шар?. То есть вероятность события есть отношение благоприятного числа исходов к общему числу исходов.

Посмотрим, как решаются задания 1–11 из практикума.

В 4 номере число благоприятных исходов подсчитывается перебором, а случаи 3–5 и 5–3 (кол-во очков на костях) — исходы разные, и считать их нужно отдельно. Общее же число исходов быстрее посчитать не перебором, а 6 * 6 — на каждый из 6 вариантов на первой кости приходится по 6 вариантов на второй. Вещи это довольно простые, но обсудить их хотя бы один раз стоит.

Приступая к 11 задаче, стоит иметь в виду, что иногда условие задачи можно переформулировать более наглядным для себя образом, если суть происходящего не меняется. Эту же самую задачу можно представить так:

Пусть за круглый стол с 9 стульями садятся 2 девочки. Мальчиков нет вообще. Сначала заходит одна девочка и садится на произвольное место. Потом заходит вторая и садится на произвольное место из свободных. Какова вероятность, что она сядет рядом?.

При такой формулировке любой ученик сможет посчитать, что осталось свободных 8 мест, только 2 из них подходящие — рядом с первой девочкой, и разделить 2 на 8.

Были ли мальчики, или нет, заходили девочки одновременно, или по очереди, и если по очереди, то место, куда села первая девочка — это всё не имеет значения. Важно лишь то, что было 9 мест и 2 девочки. Иногда такой подход, подобное переформулирование задачи заметно упрощает процесс умозрительного представления и решения.

Достаточно распространен немного более усложненный вариант этой же задачи. Есть 4 комнаты по 4 стула в каждой, 16 человек рассаживают по стульям, какова вероятность двум близнецам оказаться в одной комнате? Аналогично, представляем, что человек не 16, а всего 2 — наши близнецы, и мы запускаем их по очереди. Первый садится куда-то, куда — не важно. Важно то, что, когда второй пойдет садиться на какой-то стул, подходящих стульев будет 3 (в комнате с первым близнецом), а всего свободных — 15.

Примеры задач и решения ЕГЭ по теории вероятности

Теория вероятности ЕГЭ задания 4 и 5 можно условно разделить на 2 группы:

Вероятность и статистика: решение задач

На экзамене у Андрея 60 вопросов, из которых он не выучил 3. Найдем вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Решение:

Количество выученных вопросов = общее количество вопросов – количество не выученных вопросов

Выученных вопросов = 60 – 3 = 57

Вероятность попадания на выученный вопрос = количество выученных вопросов / общее количество вопросов

Вероятность = 57 / 60 = 0.95

Следовательно, вероятность того, что Андрею попадется выученный вопрос равна 0.95.


В фирме такси на данный момент доступны 15 машин: 2 красные, 9 желтых и 4 зеленых. Одна из машин выехала по вызову, случайно оказавшись ближе всех к заказчице. Найдем вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Решение:

Вероятность того, что приедет желтое такси = количество желтых такси / общее количество машин

Вероятность = 9 / 15 = 0.6

Следовательно, вероятность того, что к заказчице приедет желтое такси составляет 0.6.


Теоремы на сложение и умножение вероятностей

Пусть вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0.02. Покупатель случайным образом выбирает упаковку, содержащую две батарейки. Найдем вероятность того, что обе батарейки будут исправными.

Решение:

Пусть A – первая батарейка исправна, B – вторая батарейка исправна.

Вероятность того, что обе батарейки исправны = P(A) * P(B), так как события независимы.

Вероятность = (1 – 0.02) * (1 – 0.02) = 0.98 * 0.98 = 0.9604

Следовательно, вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными равна 0.9604.


На фабрике керамической посуды 10% тарелок имеют дефект. При проверке качества выявляется, что 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки попадают в продажу. Найдем вероятность того, что случайно выбранная тарелка при покупке не имеет дефектов.

Решение:

Вероятность того, что случайно выбранная тарелка не имеет дефектов = 1 – вероятность выбора дефектной тарелки

Вероятность = 1 – 0.1 * 0.9 = 1 – 0.09 = 0.91

Ответ округляем до сотых, поэтому вероятность того, что тарелка при покупке не имеет дефектов, составляет 0.91.

Хотя бы один из

Рассмотрим задачу с точностью наоборот к утверждению хотя бы одна лампа не перегорит. Неправильно — хотя бы одна лампа перегорит, но правильно — перегорят все. То есть перегорит первая, вторая и третья лампа, если бы условие задачи было выполнено — это уже произведение обратных событий.

Формула для этого случая: P(A + B + C) = 1 – P(Ā * Ḃ * Ć). Необходимо понимать принцип, на котором основана эта формула, даже если вы ее не знаете.

Пример решения задачи под номером 16 демонстрирует оба способа. Оба способа важны, поскольку в случае несовместных или зависимых событий второй способ не подходит.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *