## Коротко о том, что такое логарифмические уравнения ЕГЭ
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифм — это степень. Более половины простейших логарифмических уравнений и заданий с логарифмами в ЕГЭ решаются логически с помощью одного лишь определения логарифма, поэтому его надо знать идеально.
Логарифм облегчает работу со степенями — упрощает трудные и объемные вычисления. Если собираешься двигаться по жизни в сторону физики, астрономии, математики — он будет с тобой большую часть пути. Поэтому не забрасывай понимание логарифма в самом начале, особенно если не получается решать даже простые задачки. Теперь давай разбираться дальше.
## Что такое логарифм?
Как выглядит формула: Представь, что у тебя есть число b, которое ты возводишь в степень y, и получается x: То есть, b — основа, y — степень, x — ответ. Все правильно, не так ли? Теперь посмотри на первую формулу: у тебя основа находится совсем рядом с log, — это таким способом, кстати, обозначают логарифм, — ответ находится под log — это аргумент; а степень становится решением. По сути, с помощью логарифмов ищут, в какой степени число, которое является аргументом. То есть, у тебя основа, например, 2, а число равняется 16, но ты не знаешь ответа. По другому задать вопрос можно так: В какую степень следует возвести двойку, чтобы получить шестнадцать? Давай подставлять: точно не квадрат и куб — слишком мало дают; тогда пробуем 4 — получается шестнадцать.
О, достаточно просто найти! Но это самая легкая задачка, которая может встретиться. Логарифм используют, чтобы выполнять действия со степенями было проще, поэтому понять, как он работает — самая важная часть процесса.
## Зачем он нужен?
В школьных и универских задачах он используется во многих уравнениях, поэтому встретить его на ОГЭ или ЕГЭ — стандарт. Если скоро будешь сдавать экзамены, то обязательно пройди эту тему, без нее есть возможность получить неплохой балл, но попасть в ряды высокобалльников — очень сложно, потому что как в тестовой части, так и в письменной есть задания с логарифмами. Если читаешь эту статью, значит у тебя сто процентов есть проблемы при решении таких заданий — это твой знак начать подготовку к ЕГЭ по математике в Турбо!
## Какие бывают виды?
Оба этих вида связаны: если разделить натуральный с любым аргументом, на такой же с аргументом десяти, то получится десятичный с аргументом, который был указан ранее.
## Открываем свойства логарифма
Раз уж теперь ты разбираешься в теме хотя бы чуть-чуть, пора перечитать название статьи и рассказать об этом. Вернемся к картинке в начале:
Начнем с области допустимых значений:
Решение логарифмических уравнений: базовые знания о логарифмах
Так как мы работаем со степенями, запомни: умножение и деление — не то, чем кажутся. Это немного запутывает в начале, но хорошо запомни свойство! Остальные формулы вполне логичны, но внимательно их проработай — открой задачник по логарифмам и потренируйся. Чем больше наработаешь навык, тем проще будет в будущем: не придется искать информацию в нескольких источниках — она отложится у тебя в голове.
На самом деле, эта тема достаточно легкая, хоть и встречается довольно часто — ее просто нужно старательно отрабатывать, чтобы скилл не потерялся со временем. Если пойдешь после школы в ВУЗ или колледж, обязательно с ней встретишься — причем тогда, когда совсем не ожидаешь. Вспоминать основы математики перед высшим учебным заведением — обязательно, даже дискриминант там будет тебя преследовать, не говоря уже о более сложных вещах.
Логарифмические уравнения ЕГЭ 2024 – базовые знания о логарифмах
Итак, наверное, каждый уже решал уравнения типа 2x = 8, где в обеих частях уравнения получаем одинаковые основания и приравниваем степени. Но что делать, если получить одинаковые основания с удобными степенями нельзя, как, например, если 2x = 7 или 2x = 11? Ведь уравнения, описывающие реальный мир, совершенно не обязательно будут иметь красивые и удобные решения. Хотелось бы иметь возможность как-то выразить решение такого уравнения, такое число, математическим языком.
Как это сделать? С помощью следующей записи: допустим, если 2x = 7, то пишут, что x=log27 — эта запись дословно означает, что икс равен степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 7. Называется эта штука логарифмом, и произносят такую запись следующим образом: логарифм семи по основанию два. Соответственно, если 3x = 5, то x=log35 — икс равен степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 5.
Переходим к общему случаю: если у нас есть уравнение ax = b, то икс будет равен:
[x=log_{a}b
]
Важно: log_{a}b — это степень, в которую надо возвести a, чтобы получить b (аргумент логарифма).
Логарифм — всего лишь обозначение. Это не новый объект, как синус или производная, а просто новое обозначение. Представьте, что нам нужно найти сумму степени, в которую надо возвести 10, чтобы получить 8, и степени, в которую надо возвести 10, чтобы получить 125. Представить это в голове достаточно сложно, но с помощью логарифмов это решается очень просто, в два действия. Немного практики – и вы этому научитесь.
Решение логарифмических уравнений ЕГЭ по математике
Найдите значение выражения (log2 16)*(log6 36)
Этот номер решается чисто из определения логарифма.
[(log_2 16)(log_6 36)=42=8
]
Попробуй самостоятельно решить еще несколько примеров:
Приступим к следующей серии примеров. Итак, у нас есть log_{a}b — степень, в которую надо возвести a, чтобы получить b. То есть если возвести a в степень log_{a}b, получим, что:
Данная формула называется основным логарифмическим тождеством.
Теперь можно приступить к решению следующих примеров:
Решение логарифмических уравнений ЕГЭ профиль – как складывать логарифмы
Примеры сложения логарифмов
Возьмем в качестве примера логарифмы: log2(4) + log2(8). Первое слагаемое равно 2, второе – 3, сумма равна 5. При этом 5 можно представить как логарифм 32 по основанию 2. Таким образом, log2(4) + log2(8) = 5 = log2(32).
Связь между числами 4, 8 и 32
Если умножить 4 на 8, получится 32. Следовательно, если сложить два логарифма с одинаковым основанием, получится логарифм этого же основания от произведения чисел под начальными логарифмами.
Общая формула
В общем виде:
loga(x) + loga(y) = loga(xy)
Сложение логарифмов
Помните, что при перемножении чисел с одинаковыми основаниями их степени складываются. Логарифмы также можно рассматривать как степени, и сложение степеней происходит при перемножении чисел.
Формула разности логарифмов
Аналогично с формулой разности логарифмов:
loga(x) - loga(y) = loga(x/y)
Примеры расчетов
log3(9) + log3(27) = log3(9*27) = log3(243)log5(125) - log5(25) = log5(125/25) = log5(5)log10(100) + log10(1000) = log10(100*1000) = log10(100000)
Таким образом, сложение и вычитание логарифмов имеет свои простые правила, которые могут быть легко применены при решении математических задач.