Решение задачи на геометрию: Нахождение длины диагонали ромба
Для начала вспомним, что ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны, а углы между смежными сторонами – прямые. Кроме того, в ромбе диагонали являются взаимно перпендикулярными, то есть пересекаются под прямым углом.
Из условия задачи известно, что сторона ромба равна корню из 3, а острый угол между смежными сторонами – 60°. Обозначим вершины ромба как ABCD, где AB, BC, CD и DA – его стороны.
Мы можем начать решение, найдя длину одной из диагоналей ромба. Для этого нам понадобится знание тригонометрии и свойства равнобедренного треугольника.
Решение:
Обратимся к треугольнику ABC. Так как острый угол между AB и BC равен 60°, то синус этого угла равен √3/2. Также мы знаем, что AB = BC = √3 (так как это сторона ромба). Из свойства равнобедренного треугольника следует, что высота AH, проведенная к основанию BC, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника AHB и AHC, где угол BAH равен 30°. Значит, тангенс угла между AB и AH равен тангенсу 30°, то есть 1/√3. Теперь можем найти высоту AH, выразив ее через известные величины: AH = AB * sin60° = √3 * √3/2 = 3/2.
Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то мы разбили ромб на два прямоугольных треугольника ABH и AHD, где AH – высота, BD – диагональ. Значит, можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника AHD: BD^2 = AD^2 + AH^2. Известно, что AD = √3 (так как это сторона ромба), а AH мы уже нашли: AH = 3/2. Подставляем: BD^2 = (√3)^2 + (3/2)^2 = 3 + 9/4 = 15/4. BD = √(15/4) = √15/2.
Таким образом, мы нашли длину большой диагонали ромба – √15/2.
Задача: нахождение угла ABC в ромбе ABCD
В ромбе ABCD угол CAD равен 34°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Хорошо, я попытаюсь решить эту задачу без использования знания о геометрии ромба.
Решение:
Сначала нарисуем ромб ABCD и угол CAD, который равен 34°.
Одним из свойств углов треугольника является то, что сумма градусных мер двух внутренних углов треугольника равна 180°. Таким образом, сумма углов CAD и ABCD должна быть равна 180°.
ABCD – ромб, поэтому углы между его сторонами должны быть равны. Значит, угол ABC также должен быть равен 180° минус 34°, разделенное на 2.
Таким образом, угол ABC равен 73°.
Нейросеть для решения математических задач
Хотите быстро и легко решать математические задачи? Наша нейросеть онлайн поможет вам в этом! Воспользуйтесь простой и понятной формой на сайте и получите ответ на ваш вопрос мгновенно. Наша нейросеть пишет текст без ошибок и искажений, позволяя вам сосредоточиться на решении задачи и получить верный ответ.
С нашей нейросетью вы можете забыть о сложных вычислениях, ограничениях времени и необходимости использовать калькулятор. Наш сервис быстро и точно решает задачи любой сложности, в том числе и задачу на нахождение пропущенного угла в ромбе. Более того, мы предлагаем решение не только математических примеров, но и других задач и вопросов, связанных с наукой и технологией.
Присоединяйтесь к нашему сообществу для мгновенных ответов!
Присоединяйтесь к нашему сообществу пользователей и получайте моментальные ответы на вопросы, которые раньше занимали у вас много времени и усилий. Наша нейросеть онлайн – это простой и удобный способ получения правильного ответа без излишней траты времени и сил.
Задания реального ЕГЭ по математике 1 июня 2023
Определение боковой стороны трапеции
- Отсутствующая сторона трапеции равна 5
Если вокруг трапеции описана окружность, то она является равнобедренной, то есть AB = CD. Тогда периметр трапеции можно записать в виде:
[ P = AB + BC + CD + AD = 2AB + BC + AD ]Нахождение площади четырехугольника BCDM
- Площадь четырехугольника BCDM равна 9
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника ABD и BCD, их площади равны 12/2 = 6. В треугольнике ABD медиана BM делит его на два равновеликих треугольника ABM и BMD, площади которых равны 3.
Нахождение площади треугольника ADE
- Площадь треугольника ADE равна 3
Нахождение средней линии трапеции
- Средняя линия трапеции равна 8
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то есть 4 + 12 = 16. Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то ответ: 16 : 2 = 8
Нахождение высоты, проведенной к второй стороне треугольника
- Высота, проведенная ко второй стороне треугольника равна 6
Задачи по геометрии
Нахождение площади боковой поверхности цилиндра
- Площадь боковой поверхности цилиндра равна 27√2
Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания, площадь боковой поверхности конуса равна 27√2.
Нахождение объема цилиндра
- Объем цилиндра равен 6
Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объем конуса равен 6.
Нахождение объема шара
- Объем шара равен 6
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6.
Решение вероятностных задач
Нахождение вероятности выступления спортсмена из Норвегии последним
- Вероятность того, что спортсмен из Норвегии выступит последним равна 0.2
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок выступления спортсменов определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.
Нахождение вероятности выступления прыгуна из Чехии четвертым
- Вероятность того, что прыгун из Чехии выступит четвертым равна 0.1
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 70 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии, 7 прыгунов из Чехии и 57 из Сербии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать прыгун из Чехии.
Вероятности и уравнения
Задача 1
Имеется фабрика, которая выпускает сумки. 8 из 100 сумок имеют скрытые дефекты. Какова вероятность того, что купленная сумка не будет иметь дефектов?
Решение
Для этой задачи вероятность покупки сумки без дефектов составляет 92%.
Задача 2
В коробке с фломастерами имеется 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Наугодить выбрано два фломастера. Какова вероятность выбора одного синего и одного красного?
Решение
Вероятность выбрать по одному синему и красному фломастеру составляет 0.4.
Задача 3
Биатлонист стреляет 4 раза по мишеням, с вероятностью попадания равной 0.9. Найдите вероятность того, что первые 3 раза он попал, а последний раз промахнулся.
Решение
Вероятность для данной задачи равна 0.6561 при округлении до сотых.
Уравнения и задачи
Задача 1
Решите уравнение: 5x – 2 = 125.
Решение
Решение уравнения: x = 25.
Задача 2
Решите уравнение: 32 – x = 81.
Решение
Решение уравнения: x = -49.
Задача 3
Найдите корень уравнения: x^2 – 3x + 2 = 0.
Решение
Корни уравнения: x1 = 1, x2 = 2.
Вычисления
Задача 1
Найдите значение выражения: log(0.4125) – log(0.48).
Решение
Значение выражения: -0.083775.
Задача 2
Найдите значение выражения: log(562.5) + log(52).
Решение
Значение выражения: 2.448706.
Физика и электротехника
Задача 1
Для получения чёткого изображения на экране лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием 60 см. Необходимо определить минимальное расстояние от линзы до лампочки, чтобы изображение на экране было чётким.
Решение
Минимальное расстояние от линзы до лампочки должно быть 120 см.
Задача 2
При подключении нагрузки к источнику с ЭДС 55 В и внутренним сопротивлением 0.5 Ом, напряжение на нагрузке должно быть не менее 50 В. Определите минимальное значение сопротивления нагрузки.
Решение
Минимальное значение сопротивления нагрузки должно быть 4.5 Ом.
Решение математических задач
Задача 1:
(источник profimatika.ru) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города 𝐴 в город 𝐵, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в 𝐵 со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из 𝐴 в 𝐵. Найдите скорость велосипедиста на пути из 𝐵 в 𝐴. Ответ дайте в км/ч.
Задача 2:
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем первая труба.
Задача 3:
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?
Задача 4:
На рисунке изображены графики функций f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = kx + d, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Задача 5:
(источник profimatika.ru) На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏 которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
Задача 6:
(источник profimatika.ru) На рисунке изображены графики функций 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 и 𝑔(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
Задача 7:
Найдите точку максимума функции 𝑦 = −2/3·𝑥^1.5 + 3𝑥 + 1.
Задача 8:
Найдите точку максимума функции 𝑦 = 7 + 15𝑥 − 𝑥√𝑥.
Уравнения:
- Решите уравнение 2 cos3 𝑥 = √3 sin2 𝑥 + 2cos 𝑥
- Решите уравнение 4 sin3 𝑥 = 3 cos(︁𝑥 − 𝜋/2)︁.
- Решите уравнение sin 𝑥 · cos 2𝑥 + sin 𝑥 = √3cos2 𝑥.
- Решите уравнение cos 𝑥 · cos 2𝑥 = √3 sin2 𝑥 + cos 𝑥.
- Решите уравнение cos 𝑥 · cos 2𝑥 + √3 sin2 𝑥 = cos 𝑥.
- Решите уравнение 2 cos3 𝑥 = √2 sin2 𝑥 + 2 cos 𝑥.
- Решите уравнение 2 sin2 𝑥 cos 𝑥 + √3 cos2 𝑥 = √3.
- Решите уравнение sin 𝑥 cos 2𝑥 − √2 cos2 𝑥 + sin 𝑥 = 0.
Четырехугольная пирамида:
Дана четырехугольная пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, в основании которой лежит ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 со стороной 10. Известно, что 𝑆𝐴 = 𝑆𝐶 = 10√2, 𝑆𝐵 = 20, 𝐴𝐶 = 10.
a) Докажите, что ребро 𝑆𝐷 перпендикулярно плоскости основания пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷.
б) Найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐶 и 𝑆𝐵.
2. В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 лежит равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 = 5 и 𝐵𝐶 = 3. Точка 𝑀 делит ребро 𝐴1𝐷1 в отношении 𝐴1𝑀 : 𝑀𝐷1 = 2 : 3, а точка 𝐾 — середина ребра 𝐷𝐷1. а) Докажите, что плоскость 𝑀𝐾𝐶 параллельна прямой 𝐵𝐷. б) Найдите тангенс угла между плоскостью 𝑀𝐾𝐶 и плоскостью основания призмы, если ∠𝑀𝐾𝐶 = 90∘, ∠𝐴𝐷𝐶 = 60∘.
3. (источник profimatika.ru) Основанием прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 является параллелограмм. На рёбрах 𝐴1𝐵1, 𝐵1𝐶1 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑀, 𝐾 и 𝑁 соответственно, причем 𝐵1𝐾 : 𝐾𝐶1 = 1 : 2, а 𝐴𝑀𝐾𝑁 – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что 𝑁 – середина 𝐵𝐶. б) Найдите площадь трапеции 𝐴𝑀𝐾𝑁, если объем призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 12, а ее высота равна 2.
5. (источник profimatika.ru) Дана прямая призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1. 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐴𝐵. На 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃:𝑃𝐵 = 3:1. Точка 𝑄 делит пополам ребро 𝐵1𝐶1. Точка 𝑀 делит пополам ребро 𝐵𝐶. Через точку 𝑀 проведена плоскость 𝛼, перпендикулярная 𝑃𝑄. а) Докажите, что прямая 𝐴𝐵 параллельна плоскости 𝛼. б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит 𝑃𝑄, если 𝐴𝐴1 = 5, 𝐴𝐵 = 12, cos ∠𝐴𝐵𝐶 = 3/5.
1. Решите неравенство:
2. Решите неравенство:
3. Решите неравенство:
4. Решите неравенство:
5. Решите неравенство:
6. (источник profimatika.ru) Решите неравенство:
7. (источник profimatika.ru) Решите неравенство:
8. Решите неравенство:
9. (источник profimatika.ru) Решите неравенство:
10. (источник profimatika.ru) Решите неравенство:
1. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: — в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года; — в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
2. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: — в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года; — в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
3. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 10 лет под 10% годовых. Условия его возврата таковы: — в январе каждого года долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — в 2030 году долг составил 800 тыс. рублей; — в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на одну и ту же величину (но уже другую) меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью. Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат составила 2090 тыс. рублей.
4. (источник profimatika.ru) В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 800 тыс. руб. — в январе начисляется 𝑟% по кредиту. — с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму. — в конце 2030 года долг составляет 200 тыс. руб. — с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму. — к 2035 году кредит должен быть выплачен. Найдите 𝑟, если общая сумма выплат составила 1480 тыс. руб.
5. (источник profimatika.ru) В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 700 тыс. руб. — каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму; — с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму; — к 2035 году кредит должен быть выплачен. Какая выплата была в 2026 году, если общая сумма выплат составила 1420 тыс. руб.
6. (источник profimatika.ru) В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года; — в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет. Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
1. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐷 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝑁, при чем 𝐴𝑀:𝑀𝐶 = 1:2, 𝐵𝑁:𝐵𝐷 = 1 : 3. а) Докажите, что cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 1/5. б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.
2. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, диагональ 𝐵𝐷 в точке 𝑁, при чем 𝐴𝑀:𝑀𝐶 = 1:2, 𝐵𝑁:𝐵𝐷 = 1:3. а) Докажите, что сторона 𝐵𝐶 делится прямой в отношении 1:4, считая от точки 𝐵. б) Найдите сторону ромба, если 𝑀𝑁 = 3√2.
3. (источник profimatika.ru) Треугольник 𝐴𝐵𝐶 равносторонний. На стороне 𝐴𝐶 выбрана точка 𝑀, серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝑀 пересекает сторону 𝐴𝐵 в точке 𝐸, а сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. а) Доказать что угол 𝐴𝐸𝑀 равен углу 𝐶𝑀𝐾. б) Найти отношение площадей треугольников 𝐴𝐸𝑀 и 𝐶𝑀𝐾, если 𝐴𝑀:𝐶𝑀 = 1:4.
4. (источник profimatika.ru) Дана равнобедренная трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Биссектрисы углов 𝐵𝐴𝐷 и 𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑀 и 𝑁 отмечены на боковых сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Известно, что 𝐴𝑀 = 𝑀𝑂, 𝐶𝑁 = 𝑁𝑂. а) Докажите, что точки 𝑀, 𝑁 и 𝑂 лежат на одной прямой. б) Найдите 𝐴𝑀 : 𝑀𝐵, если известно, что 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 и 𝐵𝐶 : 𝐴𝐷 = 1 : 7.
5. (источник profimatika.ru) Дан ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, перпендикулярная стороне 𝐴𝐷, пересекает его диагональ 𝐴𝐶 в точке 𝑀, диагональ 𝐵𝐷 — в точке 𝑁, причем 𝐴𝑀 : 𝑀𝐶 = 1 : 2, 𝐵𝑁 : 𝑁𝐷 = 1 : 3. а) Докажите, что cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 0,2. б) Найдите площадь ромба, если 𝑀𝑁 = 5.
1. (источник profimatika.ru) Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
имеет ровно 2 различных решения.
2. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
3. (источник profimatika.ru) Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
4. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений:
3. (источник profimatika.ru) Дана правильная несократимая дробь 𝑎/𝑏. За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т.е. получить несократимую дробь (𝑎+𝑏)/(𝑏+2𝑎). a) Можно ли из дроби 2/3 получить дробь 29/41. б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь 6/7 за 2 хода. в) Дробь с/𝑑 больше 7/10. Найдите Найдите минимальную дробь с/𝑑, которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода?
4. (источник profimatika.ru) Есть числа 𝐴 и 𝐵. Из них можно сделать числа 𝐴 + 2 и 𝐵 − 1 или 𝐵 + 2 и 𝐴−1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что 𝐴 = 7, 𝐵 = 11. а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50? б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
5. (источник profimatika.ru) В классе больше 10, но не больше 26 человек, доля девочек не более 46%. а) Может ли в классе быть 9 девочек? б) Может ли в классе быть 55% девочек, если придёт ещё одна? в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка? (max. доля ∈ Z)
6. (источник profimatika.ru) В игре число 𝑎 = 4 и число 𝑏 = 5, за ход можно сделать (𝑎 − 1; 𝑏 + 2) или (𝑎 + 2; 𝑏 − 1). (новые числа a и b всегда положительные) а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов? б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300 в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.
7. (источник profimatika.ru) Для чисел 𝐴 и 𝐵, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили 𝑆 – сумму произведений соответствующих цифр. Например, для числа 𝐴 = 123 и 𝐵 = 579 получается сумма 𝑆 = 15 + 27 + 39 = 46. a) Существуют ли трёхзначные числа А и В, для которых 𝑆 = 100? б) Существуют ли пятизначные числа А и В, для которых 𝑆 = 400? B) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел А и В?