Решение задач на линзы
Решение задач на линзы имеет большое значение в контексте ЕГЭ по физике и других вступительных экзаменов, особенно для студентов, выбравших естественнонаучные направления. Задачи на линзы могут быть представлены в различных форматах, включая теоретические вопросы и практические задания, и могут быть частью как физического, так и математического разделов экзаменов.
Понимание принципов работы линз и способности решать задачи на линзы являются необходимыми навыками для успешной сдачи экзаменов и продолжения образования в области физики, оптики и других естественных наук.
Изображения точечного источника света в линзах
Определение оптической силы линзы
Линзы характеризуются величиной, которая называется оптической силой линзы. Оптическая сила обозначается буквой D и является величиной, обратной фокусному расстоянию:
D = 1 / F
За единицу оптической силы принята диоптрия (дптр). 1 дптр = 1 м.
Тонкие линзы
В задачах школьного курса, как правило, речь идёт о тонких линзах. Тонкой линзой называют такую линзу, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами сферических поверхностей линзы и расстоянием предмета от линзы.
Изображения точечного источника света
Для получения изображений точечного источника света в собирающей и рассеивающей линзах, используются три удобных луча:
- Луч, идущий параллельно главной оптической оси.
- Луч, идущий к линзе через её фокус.
- Луч, проходящий через оптический центр линзы.
Точка пересечения преломлённых лучей в собирающей линзе или их продолжений в рассеивающей, и даёт нам положение изображения точечного источника света.
Пример задачи
Пусть точечный источник света располагается на главной оптической оси линзы. Чтобы найти, где образуется изображение, проведём от источника света два луча:
- Луч, идущий от источника света и проходящий через фокус линзы.
- Второй луч, проходящий через оптический центр линзы.
Определение изображений в тонких линзах
Первый луч пустим вдоль главной оптической оси линзы, который, проходя через оптический центр, не испытывает преломления. А второй луч направим под некоторым углом к линзе. Теперь проведём побочную оптическую ось, проходящую через оптический центр линзы параллельно падающему лучу.
Далее проведём заднюю фокальную плоскость для собирающей линзы, или переднюю для рассеивающей. Побочная оптическая ось пересечёт фокальную плоскость в побочном фокусе. Через этот побочный фокус и пойдут все параллельные данной оптической оси лучи после преломления в собирающей линзе, или продолжения преломлённых лучей в рассеивающей линзе.
Проведение опыта и построение изображений
Преломлённый луч (или его продолжение) пересечёт главную оптическую ось в точке, которая и будет являться изображением точечного источника света. При этом изображение в собирающей линзе будет являться действительным, так как оно получилось на пересечении самих преломлённых лучей, а в рассеивающей — мнимым, так как оно получено на пересечении продолжений преломлённых лучей.
Теперь проведём небольшой опыт. На столе расположим экран, собирающую линзу и зажжённую свечу, удалённую от линзы на расстояние, большее, чем удвоенное фокусное расстояние линзы. Будем передвигать экран в направлении к линзе до тех пор, пока на экране не увидим чёткое изображение пламени свечи.
Что мы можем сказать об этом изображении? Во-первых, оно уменьшенное. Во-вторых, — перевёрнутое. Но самое главное в том, что это изображение реально существует, так как на экране концентрируется энергия света. Если поместить чувствительный термометр в изображение пламени свечи, то он покажет небольшое повышение температуры.
Построение изображений в линзе
Подтвердим сказанное построением. Для получения изображения точки А воспользуемся двумя лучами. Первый луч пустим вдоль главной оптической оси линзы. Так как он проходит через оптический центр, то он не испытывает преломления, поэтому мы его просто продолжаем за линзу. Второй луч направим под некоторым углом к линзе.
Проводим побочную оптическую ось, проходящую через центр линзы параллельно падающему лучу. И указываем положение задней фокальной плоскости. Точка пересечения побочной оптической оси и фокальной плоскости даёт нам положение побочного фокуса, через который пойдут все параллельные данной оптической оси лучи после преломления в линзе.
Преломлённый луч пересечёт главную оптическую ось в точке, которая и будет являться изображением точки А предмета. Чтобы построить изображение точки В, направим луч света параллельно главной оптической оси линзы. После преломления, этот луч, как мы уже знаем, пойдёт через главный фокус линзы. Второй луч можно направить через оптический центр линзы.
В точке пересечения этих двух лучей и будет находиться изображение нашей точки В. Соединяя точки А1 и В1 получим изображение предмета АВ в линзе.
Опыт с линзами: как строить изображения
Полученное нами изображение предмета является действительным, так как оно получилось на пересечении преломлённых лучей. Во-вторых, оно перевёрнутое. И, как можно видеть из построения, оно уменьшенное.
Положение предмета относительно линзы
Обратите внимание, что если предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси, то и его изображение также будет перпендикулярно ей. Зная это, мы сможем построить изображение точки В просто опустив перпендикуляр из точки А1 на главную оптическую ось.
Расположение свечи на различных расстояниях
Продолжим опыт. Поставим свечу на расстоянии, равному двойному фокусному. Перемещая экран, мы со временем увидим на нём действительное, перевёрнутое изображение пламени свечи, размер которого будет равен размеру пламени самой свечи.
Как видим, и вправду оно у нас получилось действительным, перевёрнутым и равным по высоте предмету.
Размещение свечи между фокусами линзы
Передвинем свечу так, чтобы она находилась между первым и вторым фокусом линзы (F < d < 2F). После небольших манипуляций с экраном мы сможем увидеть на нём действительное, перевёрнутое, увеличенное изображение пламени свечи.
Расположение свечи на фокусе и между фокусом и линзой
Теперь передвинем нашу свечу так, чтобы она находилась в главном фокусе линзы. Изображения пламени свечи мы не увидим — изображение отсутствует.
Также, поставив свечу между главным фокусом и линзой, не увидим изображения пламени свечи.
Преломлённые лучи расходятся, и изображение предмета в этом случае будет мнимым, увеличенным, прямым и находиться со стороны изображаемого предмета.
Заключение
При построении изображения предметов в рассеивающей линзе поступают точно так же, как и в случае с собирающей. Отличие состоит в том, что у рассеивающей линзы фокус мнимый. Поэтому изображение, даваемое рассеивающей линзой, всегда мнимое, прямое, уменьшенное и находится между линзой и её фокусом.
Формула тонкой линзы
Опыты и расчёты показывают, что между расстоянием d от предмета до линзы, расстоянием f от линзы до изображения и фокусным расстоянием линзы F существует соотношение, которое называется формулой тонкой линзы:
1 / d + 1 / f = 1 / F
В этой формуле расстояние до изображения берут со знаком плюс, если изображение действительное, и со знаком минус, если изображение мнимое. Фокусное расстояние собирающей линзы берут со знаком плюс, а рассеивающей – со знаком минус.
Далее будет подразумеваться всегда тонкая линза.
Задачи на линзы
Теперь давайте выведем формулу, которая свяжет три величины — расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокус линзы. Все размышления, которые мы будем проводить для собирающей линзы, справедливы и для линзы рассеивающей.
Рассмотрение треугольников
Итак, рассмотрим два треугольника: ΔАОВ и ΔА1ОВ1. Эти треугольники подобны по стороне и прилежащим к ней углам. Следовательно, можно записать, что:
f / d = h / h1
Аналогично, из подобия треугольников ΔОCF и ΔА1В1F находим, что:
F / f = H / H1
Также из построений видно, что AB = OC. А A1F = A1O – OF. Исходя из этого, мы можем записать, что:
h = h1 + H – H1
Преобразование уравнений
Заменим стороны треугольников через введённые нами ранее обозначения.
Теперь преобразуем полученное уравнение, воспользовавшись известными математическими приёмами:
1 / d + 1 / f = 1 / F
Разделив полученное равенство на множитель Ffd, и преобразовав выражение так, как это показано на экране, получим формулу тонкой линзы для нашего случая:
f = Fd / (F – d)
Правило знаков для линз
Для практического использования формулы тонкой линзы не забываем про правило знаков:
- для собирающей линзы, действительных источника и изображения, фокусное расстояние, расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения считают положительными;
- для рассеивающей линзы, мнимых источника и изображения, фокусное расстояние, расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения считают отрицательными.
Линейное увеличение линзы
Как вы могли заметить, чаще всего, изображение, получаемое с помощью тонкой линзы, отличается своими размерами от предмета. Так вот, это различие между размерами предмета и размерами его изображения принято характеризовать линейным (или поперечным) увеличением линзы.
Если обозначить размеры предмета буквой h, а размеры изображения — H, то линейное увеличение линзы равно отношению линейного размера изображения к линейному размеру предмета:
H / h = F / d
Вывод формулы тонкой линзы через линейное увеличение
Если вернуться к нашему рисунку для вывода формулы тонкой линзы, то из подобия треугольников ΔAOB и ΔA1OB1 следует, что:
f / d = H / h
Тогда можно записать, что линейное увеличение линзы равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы:
F = dH / (H – h)
Какое расстояние нужно выбрать между собирающей линзой и предметом, чтобы получить его прямое изображение, увеличенное в 2 раза? Известно, что оптическая сила линзы D=+10 дптр. Найдите это расстояние в сантиметрах и округлите до целого числа.
Как мы знаем, с помощью собирающей линзы можно получить прямое (не перевёрнутое) увеличенное изображение только, если предмет находится между фокусом и линзой.
Из рисунка видно, что треугольники △АКО и △CDO подобны, т.к. оба треугольника прямоугольные и ∠O – общий. В задаче сказано, что изображение предмета должно быть увеличено в 2 раза. Значит, коэффициент подобия треугольников будет равен:
k = A K D C = 2 f = 2 d
Воспользуемся формулой для тонкой линзы. Изображение у нас мнимое, значит, перед f ставим знак минус.
1 d − 1 f = 1 F = D 1 d − 1 2 d = D 1 2 d = D d = 1 2 D = 1 2 ⋅ 10 дптр = 0 , 05 м
Ответ: 5 см
Задача (Действительное изображение)
Найдите коэффициент увеличения изображения предмета.
Решим пункт a.
Здесь изображение находится за двойным фокусом. Значит, как мы знаем, в этом случае изображение получается действительным, перевёрнутым, уменьшенным.
Чтобы узнать коэффициент увеличения, нужно найти отношение C1A1:CA. Другими словами, нужно найти коэффициент подобия треугольников △A1C1O и △ACO. Воспользуемся формулой тонкой линзы.
F – одна единица (1 клетка), d – 3 единицы (3 клетки).
1 3 + 1 f = 1 1 f = 3 2
Коэффициент подобия треугольников △A1C1O и △ACO:
k = f d = 1 , 5 3 = 0 , 5
Значит, коэффициент увеличения изображение тоже равен:
k = A 1 C 1 A C = 0 , 5
Решим пункт б.
Когда предмет находится между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы, то изображение получается действительным, увеличенным, перевёрнутым.
Нарисуем примерный рисунок, не соблюдая изначальный масштаб, для экономия места.
Здесь вновь получаются подобные треугольники △A1C1O и △ACO, и их коэффициент подобия покажет степень увеличения изображения.
На изначальном рисунке d = 5, F = 4. Применим формулу для тонкой линзы.
1 5 + 1 f = 1 4 1 f = 1 20 f = 20
Коэффициент подобия треугольников △A1C1O и △ACO равен
k = f d = 20 5 = 4 k = A 1 C 1 A C = 4
Ответ: a) 0,5 б) 4
Исходя из этих примеров, можно сказать, что увеличение предмета в тонкой линзе будет равно
Г = Н h = f d
H – размер изображения, h – размер предмета, в м.
Задача (Пользуемся формулой)
На рисунке показан ход двух лучей от точечного источника света A через тонкую линзу.
Какова оптическая сила линзы, если одна клетка на рисунке соответствует 2 см ?
Мы видим, что изображение точки A, будет действительным, т.к. лучи пересекаются за самой линзой.
Расстояние от точки до линзы равно d = 6 клеток ∙ 0,02 м = 0,12 м. Расстояние от линзы до изображения точки равно f = 12 клеток ∙ 0,02 м = 0,24 м. Применим формулу тонкой линзы.
1 0 , 12 м + 1 0 , 24 м = 1 F = D D = 12 , 5 дптр
Ответ: 12,5 дптр
Задача (Рассеивающая линза)
В тонкой рассеивающей линзе получено уменьшенное в 5 раз изображение предмета. Определите модуль фокусного расстояния линзы, если предмет находится на расстоянии d = 20 см от линзы.
Воспользуемся формулой увеличения линзы. Изображение уменьшено, поэтому формула принимает перевёрнутый вид
d f = 0 , 2 м f = 5 f = 0 , 2 м 5 = 0 , 04 м
Теперь не проблема найти фокусное расстояние.
В рассеивающей линзе фокусное расстояние в формулу тонкой линзы подставляем со знаком "минус". Изображение получается в рассеивающей линзе мнимым, поэтому перед f тоже ставим знак "минус".
1 0 , 2 м − 1 0,04 м = − 1 F F = 0,05 м
Ответ: 0,05 м
Задача (Скорость изображения муравья)
Муравей движется перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы, которая имеет фокусное расстояние F. Он находится на расстоянии 8 3 ∙F от линзы и движется со скоростью V = 5 см/с. Какая скорость u будет у движущегося изображения муравья?
d = 8 3 ⋅ F
За 1 с муравей реально проползёт 5 см. Узнаем, сколько его изображение проползёт за 1 с.
Составим систему уравнений. Первое уравнение – это формула увеличения линзы, вторая – формула тонкой линзы.
Из второго уравнения выражаем f.
f = 8 ⋅ F 5
Подставляем в первое.
x 5 = 8 F 3 8 F 5 = 3 см
Получается за 1 с изображение муравья пройдёт 3 см.
Ответ: u = 3 см/c
Таким образом, решение задач на линзы требует понимания основных определений и формул, связанных с тонкими линзами. Важно уметь правильно выбирать знаки величин и следить за единицами измерения. Решение задач на линзы не только позволяет лучше понять оптику, но и развивает навыки анализа, логического мышления и применения математических методов.