Механическое напряжение

План урока по физике: Давление твердых тел

Введение

Давление – физическая величина, определяемая как сила, действующая на единицу площади. Важный параметр в различных областях науки. Измеряется в паскалях, барах, атмосферах или фунтах на квадратный дюйм.

Давление в автомобильных шинах

  • Измеряется в атмосферах или барах.
  • Необходимо следить за состоянием резины и крепежных элементов.

Преобразование единиц давления

  • Использование калькулятора для преобразования единиц давления.

Октаэдрические плоскости напряжений

  • Существуют восемь октаэдрических плоскостей.
  • Нормальные и сдвиговые компоненты тензора напряжений.
  • Вычисление вектора напряжений и нормальной составляющей.

Давление в сплошной среде

  • Скалярная интенсивная физическая величина.
  • Диагональная компонента тензора напряжений.
  • Давление идеального газа и его проекции.

Октаэдрические плоскости напряжений

14 апреля 2023 года

Формулы:

  • Формула для вычисления давления идеального газа на стенку.
  • Формула для проекции импульса и вектора плотности потока.

Понимание давления, его измерение и влияние на различные процессы важно для понимания механики твердых тел. Ученики седьмого класса смогут углубить свои знания в этой теме благодаря данному уроку.

Измерение давления

В Международной системе единиц (СИ) измеряется в паскалях (русское обозначение: Па; международное: Pa). Паскаль равен давлению, вызываемому силой, равной одному ньютону, равномерно распределённой по нормальной к ней поверхности площадью один квадратный метр.

Единицы давления

В практике также используются следующие единицы давления:

ЕдиницаОбозначение
Паскаль (Па)Pa
Бар (bar)бар
Техническая атмосфера (at)ат
Физическая атмосфера (atm)атм
Миллиметр ртутного столбаmm Hg, Torr, торр
Миллиметр водяного столбаmm H2O
Фунт-сила на квадратный дюйм (psi)psi

Таблица перевода единиц давления в мм водяного столба

1 мм вод. ст. =

  • 9,80665 Па,
  • 9,80665⋅10−5 бар,
  • 10-4 ат,
  • 9,6784⋅10-5 атм,
  • 0,073556 psi,
  • 1 мм вод. ст. = 1,4223⋅10-3 мм рт. ст.

Измерение давления

Измерение давления газов и жидкостей проводится с помощью различных приборов, таких как манометры, дифманометры, вакуумметры, датчики давления. Для измерения атмосферного давления используют барометры, а для артериального давления – сфигмоманометры.

Заключение

В течение тысячелетий в архитектуре использовались различные методы для вычисления напряжения в материалах. Научное понимание напряжённого состояния простых тел стало возможным благодаря открытиям ученых в 17-18 веках, что позволило создать математические модели и формулы для анализа напряжений. Получение информации о давлении в жидкостях началось с работ Ньютона, который вывел формулы для сил трения в потоке.

Молекулярная структура и механическое напряжение

Когда площадь соприкасающихся поверхностей большая, сопротивление внешнему воздействию оказывает большое число молекул. Они немного отходят назад, и кристаллическая решетка сжимается, как пружинка. При этом сила упругости, создаваемая каждым элементом решетки, относительно невелика. Но так как этих сил много, их оказывается достаточно, чтобы компенсировать внешнее воздействие. Если же поверхность соприкосновения тел мала, то к оказанию сопротивления привлекается гораздо меньше молекул. Им приходится отступать значительно дальше, но сил упругости все равно оказывается недостаточно, чтобы компенсировать внешнюю силу, и тогда материал начинает разрушаться.

Приглашаем преподавать английский, математику, физику, компьютерные курсы!

С опытом подготовки к ЕГЭ доход до 100 000 ₽ в месяц

Земля притягивает к себе все тела, обладающие массой. Но если между предметом и планетой окажется какая-то горизонтальная опора, например, крышка стола, то тело будет давить на эту опору. Иногда опора не выдерживает и ломается. Чтобы не оказаться в опасной ситуации, давайте разберемся в этой теме.

Вопрос ученикам: Что действует на тело?

Ответ: Земля действует на тело с силой тяжести F=mg, где m — масса тела, g — ускорение свободного падения. А тело, лежащее на опоре, действует на опору.

Вопрос ученикам: Как называется сила, с которой тело действует на опору?

Ответ: Сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на горизонтальную опору и растягивает вертикальный подвес, называется вес тела, обозначается P.

Вес тела и сила тяжести часто равны друг другу по величине, но являются разными силами, которые еще и приложены к разным телам! Сила тяжести приложена к телу, а вес — к опоре или подвесу.

Простой эксперимент: надавите на свою руку пальцем, а потом — заточенным концом карандаша. Сравните ощущения. И это можно измерить!

Механическое напряжение в механике сплошных сред

Механическое напряжение в механике сплошной среды — это физическая величина, которая выражает внутренние силы, которые соседние частицы в непрерывной среде оказывают друг на друга, а деформация — это мера изменения геометрических размеров среды. Например, когда сплошная вертикальная штанга поддерживает груз, каждая частица в штанге давит на частицы, находящиеся непосредственно под ней. Когда жидкость находится в закрытом контейнере под давлением, каждая частица сталкивается со всеми окружающими частицами. Стенки контейнера и поверхность, создающая давление (например, поршень), прижимаются к ним в соответствии с силой реакции. Эти макроскопические силы на самом деле являются чистым результатом очень большого количества межмолекулярных сил и столкновений между частицами в этих средах. Механическое напряжение или в дальнейшем напряжение часто обозначается строчной греческой буквой сигма σ.

Деформация и механическое напряжение в материалах

Деформация, то есть взаимное смещение внутренних частей материала, может возникать из-за различных механизмов, таких как напряжение, при приложении внешних сил к массивному материалу (например, гравитация) или к его поверхности (например, контактные силы, внешнее давление или трение). Любая деформация твёрдого материала создает внутреннее упругое напряжение, аналогичное силе реакции пружины, которое стремится вернуть материал в его исходное недеформированное состояние, наблюдавшееся до приложения внешних сил.

В жидкостях и газах только деформации, которые изменяют объём, создают постоянное упругое напряжение. Однако, если деформация постепенно изменяется со временем, даже в жидкостях обычно возникает некоторое вязкое напряжение, препятствующее этому изменению. Упругие и вязкие напряжения обычно объединяют под названием механическое напряжение.

Виды механического напряжения

Разные виды механического напряжения:

  1. Сжатие
  2. Растяжение
  3. Сдвиг
  4. Изгиб
  5. Кручение
  6. Знакопеременное напряжение

Значительное напряжение может существовать, даже если деформация незначительна или отсутствует вовсе. Напряжение может существовать при отсутствии внешних сил; такое встроенное напряжение встречается, например, в предварительно напряжённом бетоне и закалённом стекле. Напряжение может наблюдаться в материале без приложения общих сил, например, из-за изменений температуры или химического состава или внешних электромагнитных полей.

Тензор механического напряжения

Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой σ обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой τ.

Связь между напряжением и деформацией

Связь между механическим напряжением, деформацией и скоростью изменения деформации может быть довольно сложной, хотя линейное приближение часто оказывается адекватным на практике, если их величины достаточно малы. Напряжение, превышающее определённые пределы прочности материала, приведёт к необратимой деформации (например, пластическому течению, разрушению, кавитации) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава.

Заключение

В некоторых отраслях техники термин напряжение иногда используется в более широком смысле как синоним внутренней силы. Напряжение определяется как сила, действующая через маленькую границу на площадь этой границы для всех ориентаций границы. Напряжение является фундаментальной величиной, связывающей силу и площадь границы материала.

Следуя основным положениям механики сплошных сред, напряжение — это макроскопическое понятие. А именно, составляющие тело частицы, рассматриваемые в его определении и анализе, должны быть достаточно малыми, чтобы их можно было рассматривать как однородные по составу и состоянию, но всё жё достаточно большими, чтобы игнорировать квантовые эффекты и детальное движение молекул среды. Таким образом, сила между двумя частицами на самом деле является средним значением очень большого числа атомных сил между их молекулами; и предполагается, что физические величины, такие как масса, скорость и силы, которые действуют через объём трёхмерных тел, например гравитация, плавно распределены по ним.:p.90–106 В зависимости от контекста, можно также предположить, что частицы достаточно велики, чтобы позволить усреднение других микроскопических структурных характеристик, таких как зёрна металлического стержня или волокна куска дерева.

Напряжение на поверхности (жёлтый диск) — это сила, которую материал с одной стороны (верхний шар) оказывает на материал с другой стороны (нижний шар), делённая на площадь этой поверхности.

Количественно напряжение выражается вектором напряжения Коши Т, определяемым как сила F между соседними частями материала через воображаемую разделяющую поверхность S, делённую на площадь S при стремлении этой поверхности к нулю:p.41–50 В :p.41–50 жидкости сила перпендикулярна поверхности и представляет собой знакомое давление. В твёрдом теле или в потоке вязкой жидкости сила F может быть не перпендикулярна поверхности S; следовательно, напряжение на поверхности следует рассматривать как векторную величину, а не как скаляр. Более того, направление и величина обычно зависят от ориентации поверхности S. Таким образом, напряжённое состояние материала должно описываться тензором (второго ранга), называемым тензором напряжений (Коши); который является линейной функцией, связывающей вектор нормали n к поверхности S с напряжением T. По отношению к любой выбранной системе координат тензор напряжений Коши может быть представлен в виде симметричной матрицы вещественных чисел 3 × 3. Даже внутри однородного тела тензор напряжений может меняться в зависимости от координат и времени; следовательно, напряжение в материале, как правило, является изменяющимся во времени тензорным полем.

Нормальное напряжение и напряжение сдвига

В общем, напряжение T, которое частица P прикладывает к другой частице Q по соприкасающейся поверхности S, может иметь любое направление относительно S. Вектор T можно рассматривать как сумму двух компонент: нормального напряжения (сжатия или растяжения), перпендикулярного поверхности, и напряжения сдвига, параллельного поверхности.

Если единичный вектор нормали n поверхности (направленный от Q к P) предполагается фиксированным, то нормальный компонент можно выразить одним числом, скалярным произведением . Это число будет положительным, если P «растягивает» Q (растягивающее напряжение), и отрицательным, если P «толкает» Q (сжимающее напряжение). Компонент сдвига тогда представляет собой вектор T — (T · n)n.

Причины и последствия

Стеклянная ваза с эффектом кракелюр. Трещины возникают в результате кратковременного, но интенсивного напряжения, возникающего при кратковременном погружении полурасплавленной детали в воду.

Связь между напряжением и его последствиями и причинами, включая деформацию и скорость изменения деформации, может быть довольно сложной (хотя на практике используют линейное приближение, если величины достаточно малы). Напряжение, превышающее определённые пределы прочности материала, приведёт к необратимой деформации (например, пластическому течению, разрушению, кавитации) или даже к изменению его кристаллической структуры и химического состава.

Альтернативные способы представления напряжений

Другие полезные способы представления напряжения включают первый и второй тензоры напряжений Пиолы — Кирхгофа, тензор напряжений Био и тензор напряжений Кирхгофа.

Тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа

В случае конечных деформаций тензоры напряжений Пиолы — Кирхгофа выражают напряжение относительно некой эталонной конфигурации. В этом состоит отличие от тензора напряжений Коши, который выражает напряжение относительно текущей конфигурации. Для бесконечно малых деформаций и поворотов тензоры Коши и тензор Пиолы — Кирхгофа идентичны.

Тогда как тензор напряжений Коши связывает напряжения в текущей конфигурации, градиент деформации и тензоры деформации описываются путём сравнения движения тела с эталонной конфигурацией; таким образом, не все тензоры, описывающие состояние материала, находятся в эталонной или текущей конфигурации. Описание напряжений, деформаций и деформаций в эталонной или текущей конфигурации упростило бы определение конститутивных моделей (например, тензор напряжений Коши — это вариант чистого вращения, в то время как тензор деформаций является инвариантным; таким образом, возникают проблемы при определении конститутивной модели, которая связывает изменяющийся тензор в терминах инвариантного при чистом вращении; поскольку по определению конститутивные модели должны быть инвариантными к чистым вращениям). 1-й тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа, одно из возможных решений этой проблемы. Он определяет семейство тензоров, которые описывают конфигурацию тела в текущем или эталонном состоянии.

1-й тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа, связывает силы в текущей («пространственной») конфигурации с областями в эталонной («материальной») конфигурации.

где — градиент деформации и — определитель Якоби .

В терминах компонентов по отношению к ортонормированному базису первый тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа определяется выражением

Поскольку он связывает разные системы координат, первый тензор напряжения Пиолы — Кирхгофа является двухточечным тензором. В общем случае, он симметричен. Первый тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа представляет собой трёхмерное обобщение одномерной концепции инженерного напряжения.

Если среда вращается без изменения напряжённого состояния (жёсткое вращение), то компоненты 1-го тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа будут изменяться в зависимости от ориентации среды.

Второй тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа

В то время как 1-й тензор напряжения Пиолы — Кирхгофа связывает силы в текущей конфигурации с областями в эталонной конфигурации, 2-й тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа связывает силы в эталонной конфигурации с областями в эталонной конфигурации. Сила в эталонной конфигурации вычисляется через отображение, которое сохраняет относительную взаимосвязь между направлением силы и нормалью области в эталонной конфигурации.

В индексной записи относительно ортонормированного базиса

Это симметричный одноточечный тензор.

Если среда вращается без изменения напряжённого состояния (жёсткое вращение), то компоненты 2-го тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа остаются постоянными, независимо от ориентации материала.

Принцип напряжений Эйлера — Коши

Рисунок 2.1a Внутреннее распределение контактных сил и парных напряжений на дифференциальной площадке внутренней поверхности в объёме, в результате взаимодействия между двумя частями объёма, разделенными секущей поверхностью

Рисунок 2.1b Внутреннее распределение контактных сил и парных напряжений на дифференциальной площадке внутренней поверхности в объёме, в результате взаимодействия между двумя частями объёма, разделенными секущей поверхностью

Рисунок 2.1c Вектор напряжений на внутренней поверхности S с вектором нормали n. В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязательно перпендикулярен этой плоскости, то есть параллелен , и может быть разделён на две компоненты: одна компонента, нормальная к плоскости, называется нормальным напряжением , и другая компонента, параллельная этой плоскости, называется напряжением сдвига .

Это уравнение означает, что вектор напряжения зависит от его положения в теле и ориентации плоскости, на которую он действует.

В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязан быть перпендикулярным этой плоскости, то есть параллельным n, и его можно разложить на две составляющие (рисунок 2.1c):

где dFn — нормальная составляющая силы dF к дифференциальной площадке dS

где dFs — тангенциальная составляющая силы dF к дифференциалу площади dS. Напряжение сдвига можно дополнительно разложить на два взаимно перпендикулярные вектора.

Основная лемма Коши

Теорема Коши о напряжениях утверждает, что существует тензорное поле второго ранга σ(x, t), называемое тензором напряжений Коши, не зависящее от n, такое, что T линейно зависит от n:

Это уравнение подразумевает, что вектор напряжения T(n) в любой точке P среды, связанной с плоскостью с нормальным единичным вектором n может быть выражен как функция векторов напряжений на плоскостях, перпендикулярных трём осям координат, то есть через компоненты σij тензора напряжений σ.

Чтобы доказать это выражение, рассмотрим тетраэдр с тремя гранями, ориентированными в координатных плоскостях и с бесконечно малой площадью dA ориентированной в произвольном направлении, заданном нормальным единичным вектором n (рисунок 2.2). Тетраэдр образован разрезанием бесконечно малого элемента вдоль произвольной плоскости с нормалью n. Вектор напряжений на этой плоскости обозначается как T(n). Векторы напряжений, действующие на грани тетраэдра, обозначаются как T(e1), T(e2) и T(e3) и по определению являются компонентами σij тензора напряжений σ. Этот тетраэдр иногда называют тетраэдром Коши. Равновесие сил, то есть первый закон движения Эйлера (второй закон движения Ньютона), даёт:

Рисунок 2.2. Вектор напряжений, действующий на плоскость с нормальным единичным вектором n. Примечание о знаках: тетраэдр образован разрезанием параллелепипеда вдоль произвольной плоскости с нормалью n. Сила, действующая на плоскость с нормалью n, это реакция другой части параллелепипеда и имеет противоположный знак.

где правая часть представляет собой произведение массы, заключенной в тетраэдр, на его ускорение: ρ плотность, a ускорение, h высота тетраэдра, если принять плоскость n за основание. Площадь граней тетраэдра, перпендикулярных осям, можно найти путем проецирования dA на каждую грань (с использованием скалярного произведения):

и затем подставляем в уравнение, чтобы сократить dA:

Чтобы рассмотреть предельный случай, когда тетраэдр сжимается до точки, h должна стремиться к 0 интуитивно понятно, что плоскость с нормалью n перемещается вдоль вектора n ы сторону O). В результате правая часть уравнения стремится к 0, поэтому

Рисунок 2.3 Компоненты тензора напряжений в трёх измерениях

Рассмотрим элемент (рисунок 2.3) с плоскостями, перпендикулярными осям координат декартовой системы координат. Векторы напряжений, связанные с каждой из плоскостей этого элемента, то есть T(e1), T(e2), и T(e3) можно разложить на нормальную часть и две компоненты сдвига, то есть составляющие в направлении трёх осей координат. Для частного случая поверхности с нормальным единичным вектором, ориентированным в направлении оси x1 обозначим нормальное напряжение через σ11, а два касательных напряжения как σ12 и σ13 (второй индекс показывает параллельную ось координат):

С использованием индексной записи:

Девять компонентσij векторов напряжений представляют собой компонентами тензора второго ранга в декартовой системе коорднинат, называемого тензором напряжений Коши, который полностью определяет напряжённое состояние в точке и задается матрицей

где σ11, σ22, и σ33 — нормальные напряжения, σ12, σ13, σ21, σ23, σ31, и σ32 — напряжения сдвига (касательные напряжения). Первый индекс i указывает, что напряжение действует в плоскости, перпендикулярной оси xi, а второй индекс j обозначает направление, в котором действует напряжение. Компонент вектора напряжения положителен, если он действует в положительном направлении осей координат и если плоскость, в которой он действует, имеет вектор внешней нормали, указывающий в положительном направлении координат.

Таким образом, используя компоненты тензора напряжений можно записать:

или, что то же самое:

Альтернативно в матричной форме:

Обозначения Фойгта для представление тензора напряжений Коши используются для удобства при наличии симметрии тензора напряжений, чтобы выразить напряжение в виде шестимерной векторной формы:

Обозначения Фойгта широко используется для представления соотношений напряжения-деформации в механике твёрдого тела и для повышения эффективности вычислений в программном обеспечении для численного расчёта механики конструкций.

Правило преобразования тензора напряжений

Можно показать, что тензор напряжений — это контравариантный тензор второго ранга. При переходе из xi системы координат в xi’ систему координат, компоненты σij в исходной системе преобразуются в компоненты σij’ в новой системе в соответствии с правилом преобразования тензора (рисунок 2.4):

где A матрица вращения с компонентами aij. В матричной форме это записывается в виде

Рисунок 2.4 Преобразование тензора напряжений

Расширение матричной операции и упрощение членов с использованием симметрии тензора напряжений даёт:

Круг Мора для напряжений представляет собой графическое представление этого преобразования.

Нормальные и касательные напряжения

Величина компоненты нормального напряжения σn любого вектора напряжений T(n) действующей на произвольную плоскость с нормальным единичным вектором n в данной точке, выраженная с использованием компонент σij тензора напряжений σ, — это скалярное произведение вектора напряжения и нормального единичный вектора:

Величину компоненты напряжения сдвигаτn, действующей в плоскости, натянутой на два вектора T(n) и n, можно найти с помощью теоремы Пифагора:

Тензор девиатора напряжения

Тензор напряжений можно представить в виде двух тензоров напряжений:

В математической формулировке

где — среднее напряжение определённое как

Давление () обычно определяется как отрицательная треть следа тензора напряжений за вычетом любого напряжения, в которое вносит вклад дивергенция скорости, то есть

где — константа пропорциональности, — оператор набла, — k-я декартова координата, — скорость и — k-я компонента скорости в декартовых координатах.

Тензор девиаторных напряжений можно получить вычитанием тензора гидростатических напряжений из тензора напряжений Коши:

Инварианты тензора девиатора напряжений

Поскольку это тензор второго ранга, тензор девиатора напряжения также обладает набором инвариантов, которые можно получить используя ту же процедуру, которую мы использовали для вычисления инвариантов тензора напряжений. Можно показать, что главные направления тензора девиатора напряжений совпадают с главными направлениями тензора напряжений . Таким образом, его характеристическое уравнение имеет вид

где , и -первый, второй и третий инварианты тензора девиатора напряжений, соответственно. Их значения одинаковы (неизменны) независимо от ориентации выбранной системы координат. Эти инварианты тензора девиатора напряжений выражаются как функции компонентов или его главных значений , , и , или аналогично как функции или его главных значений , , и . В самом деле

Поскольку , то тензор девиатора напряжений отвечает состоянию чистого сдвига.

Величина, называемая эквивалентным напряжением или напряжением фон Мизеса, обычно используется в механике твёрдого тела. Она определяется как

Приглашаем учителей физики с высшим образованием (или студентов последнего курса) и опытом подготовки к выпускным экзаменам

Механическое напряжение

Чем может помочь калькулятор перевода единиц давления?

Калькулятор перевода единиц давления упрощает процесс перевода и снижает риск ошибок. Эти калькуляторы просты в использовании и требуют минимального ввода от пользователя. Калькулятор может преобразовывать различные единицы давления, включая Па, бар, атм и фунт на квадратный дюйм. Пользователю нужно только ввести значение, которое он хочет преобразовать, и калькулятор предоставит соответствующее значение в желаемых единицах измерения. Это экономит время и избавляет от необходимости вручную рассчитывать коэффициент преобразования, уменьшая вероятность ошибок.

Где можно использовать калькулятор для перевода единиц давления?

Калькулятор для перевода единиц давления можно использовать в самых разных отраслях и приложениях, включая машиностроение, физику, химию и медицину. В инженерии, например, измерения давления имеют решающее значение при проектировании и анализе систем, включающих жидкости, газы и другие вещества. В области медицины измерения давления используются для контроля артериального давления, внутричерепного давления и других физиологических параметров.

В обоих случаях калькулятор для преобразования единиц измерения давления может оказаться неоценимым при преобразовании между различными единицами и сделать данные более доступными.

Такой преобразователь величин будет полезен и для автомобилистов. Например, в системе кондицинирования автомобиля давление измеряется в кПа. При исправной и герметичной системе в Ауди a4 нормальное давления составляет 250-290 кПа. Если цифра меньше, следут проверить радиатор кондиционера и компрессор на AUDI A4 в первую очередь.

ВыводДавление является важным параметром в различных областях, и выбор единицы измерения зависит от области применения и страны, в которой производится измерение. Преобразование между различными единицами давления может быть сложным и трудоемким, поэтому калькулятор для преобразования единиц давления необходим. Он упрощает процесс конвертации, снижая вероятность ошибок и экономя время. С помощью калькулятора перевода единиц давления можно работать с данными из разных регионов и отраслей и делать содержательные и точные интерпретации.

Зачем нам нужно конвертировать единицы измерения давления?

Измерения давления используются в самых разных областях, и в разных отраслях промышленности используются разные единицы измерения давления. Например, в Соединенных Штатах наиболее часто используемой единицей давления является фунт на квадратный дюйм, тогда как в Европе стандартной единицей измерения является бар.

В результате при работе в глобальном контексте или при работе с измерениями из разных регионов часто необходимо выполнять преобразование между разными единицами измерения давления. Кроме того, некоторые приборы могут измерять давление в одних единицах, а данные требуются в других. В таких случаях преобразование необходимо, чтобы сделать данные значимыми и полезными.

Изучение нового материала

Давление — физическая величина, характеризующая силу, действующую на единицу давления, численно равная отношению величины силы F, действующей перпендикулярно поверхности к площади этой поверхности S.

Формула

p = F⁄S

Единица измерения давления в системе СИ — Паскаль:

Па = H⁄m2

Это легко проверить: единица измерения силы — Ньютон (Н), а единица измерения площади — квадратный метр (м2). Если давление равно отношению силы на площадь, то и единица измерения давления (Паскаль — Па) равна отношению единицы измерения силы (Ньютон — Н) на единицу измерения площади (квадратный метр — м2).

Иногда возникает необходимость выяснить, сколько в одной единице измерения давления содержится других единиц измерения давления.

Переведите значения давлений из одной единицы измерения в другую:

В качестве напоминания — список некоторых дольных и кратных единиц.

Сколько платят в Skyeng преподавателю физики?

Из чего складывается доход учителей, рассказываем в специальной статье.

Механическое напряжение

Максимальные и минимальные касательные напряжения

Максимальное напряжение сдвига или максимальное главное напряжение сдвига равно половине разницы между наибольшим и наименьшим главными напряжениями и действует в плоскости, которая делит пополам угол между направлениями наибольшего и наименьшего из главных напряжений, то есть максимальное напряжение сдвига ориентировано под углом в от плоскостей главных напряжений. Максимальное напряжение сдвига выражается как

Предполагая тогда:

Нормальная составляющая напряжения, действующая на плоскость максимального напряжения сдвига, не равна нулю и равна

Главные напряжения и инварианты напряжений

В каждой точке напряжённого тела есть как минимум три плоскости, называемые главными плоскостями, с векторами нормалей , называемые главными направлениями, где соответствующий вектор напряжения перпендикулярен плоскости, то есть параллелен или в том же направлении, что и вектор нормали и где нет нормальных касательных напряжений . Три напряжения, нормальные к этим основным плоскостям, называются главными напряжениями.

Компоненты тензора напряжений зависят от ориентации системы координат в рассматриваемой точке. Однако тензор напряжений сам по себе является физической величиной и, как таковой, не зависит от системы координат, выбранной для его представления. С каждым тензором связаны определённые инварианты, которые также не зависят от выбранной системы координат. Например, вектор — это простой тензор первого ранга. В трёх измерениях он состоит из трёх компонент. Значение этих компонент будет зависеть от системы координат, выбранной для представления вектора, но величина вектора является физической величиной (скаляром) и не зависит от декартовой системы координат. Точно так же каждый тензор второго ранга (например, тензоры напряжений и деформаций) имеет три независимых инвариантных величины, связанных с ним. Один набор таких инвариантов — это главные напряжения тензора напряжений, которые являются собственными значениями матрицы тензора напряжений. Их векторы направления являются главными направлениями или собственными векторами.

Вектор напряжения, параллельный единичному вектору нормали :

где — константа пропорциональности, которая в этом частном случае соответствует величинам векторов нормальных напряжений или главных напряжений.

Учитывая, что и , можем записать:

Это однородная система, то есть система трёх линейных уравнений с неизвестные , равных нулю. Чтобы получить нетривиальное (ненулевое) решение для детерминант составленный из коэффициентов матрицы должен быть равен нулю, то есть система должна быть сингулярна. Таким образом:

Запись определителя приводит к характеристическому уравнению:

Характеристическое уравнение имеет три действительных корня , из-за симметрии тензора напряжений. , и — главные напряжения зависящие от собственных значений . Главные напряжения уникальны для данного тензора напряжений. Следовательно, из характеристического уравнения коэффициенты , и , называемые первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений, соответственно, всегда имеют одинаковое значение независимо от ориентации системы координат.

Для каждого собственного значения существует нетривиальное решение системы уравнений . Эти решения имеют смысл главных направлений или собственных векторов, определяющих плоскость, в которой действуют основные напряжения. Главные напряжения и главные направления характеризуют напряжение в точке и не зависят от ориентации.

В системе координат с осями, ориентированными вдоль главных направлений, что означает, что нормальные напряжения являются главными напряжениями, тензор напряжений представляется диагональной матрицей вида:

Инварианты тензора напряжений , , и можно выразить через главные напряжения. В частности первый и третий инварианты — это след и определитель матрицы тензора напряжений:

Используя только части выражения под квадратным корнем можно получить максимальное (для плюса) и минимальное (для минуса) напряжение сдвига. Это записывается как:

Эксперимент

Рис. 4. Тело в равновесии.

Когда тело находится в равновесии, компоненты тензора напряжений в каждой точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия:

Например, для гидростатической жидкости в условиях равновесия тензор напряжений принимает вид:

где — гидростатическое давление, а обозначает символ Кронекера.

Вывод уравнений равновесия Рассмотрим сплошное тело (см. Рисунок 4), занимающее объём , ограниченное поверхностью с площадью , с заданными нагрузками или поверхностными силами на единицу площади, действующие на каждую точку поверхности тела, и объёмные силы на единицу объёма в каждой точке объёма . Таким образом, если тело находится в равновесии, то результирующая сила, действующая на объём, равна нулю: По определению вектор напряжений равен , тогда Использование формулу Гаусса для преобразования поверхностного интеграла в объёмный интеграл даёт Для произвольного объёма интеграл обращается в нуль, и мы получим уравнения равновесия

В то же время для равновесия требуется, чтобы сумма моментов относительно произвольной точки была равна нулю, что приводит к выводу, что тензор напряжений должен быть симметричным, то есть

Вывод симметрии тензора напряжений Суммируя моменты относительно точки O (рисунок 4), результирующий момент равен нулю, поскольку тело находится в равновесии. Таким образом, где — радиус-вектор, который выражается как Зная, что и используя теорему Гаусса, чтобы перейти от поверхностного интеграла к объёмному интегралу, получим: Второй интеграл равен нулю, так как он содержит уравнения равновесия. Остаётся первый интеграл, где , следовательно: Тогда для произвольного объёма V получим соотношения которые удовлетворяются в каждой точке тела. Раскрывая эти уравнения, получим: , , и или в общем случае: Это доказывает, что тензор напряжений симметричен.

Однако в моментных теориях, то есть при наличии моментов на единицу объёма, тензор напряжений несимметричен. Это также верно, когда число Кнудсена близко к единице , или для сред, как например неньютоновская жидкость, что может приводить к появлению вращательно неинвариантной жидкости, такой как полимер.

Закрепление материала (решение задач)

А теперь проверим замечательные слова: «Лучший способ изучения физики — это решение задач по физике».

Задача 1

На стол с четырьмя ножками поставили коробку шириной 40 см, длиной 50 см и массой 50 кг. Площадь опоры каждой ножки стола равна 4 см2. Какое давление оказывает коробка на стол? Какое давление оказывает стол на пол, если масса стола 100 кг?

Ускорение свободного падения считать равным:

a = 40 см = 0,4 м — ширина коробки,

b = 50 см = 0,5 м — длина коробки,

m = 50 кг — масса коробки,

S = 40 см2 = 0,004 м2 — площадь опоры каждой ножки стола,

n = 4 — количество ножек,

M = 100 кг — масса стола.

pк — давление коробки на стол,

pс — давление стола на пол.

  1. Запишем формулу давления из определения:

p = F⁄Sпов, где F — сила, оказывающая давление, Sпов — площадь поверхности, на которую оказывается давление.

  1. Запишем формулу силы тяжести коробки (силы, оказывающей давление):

Fк = m∙g

  1. Найдем площадь поверхности, на которую оказывается давление коробкой:

Sк = a∙b

  1. Получим итоговую формулу для давления коробки на стол:

  2. Найдем силу тяжести стола и коробки:

Fкс = (M+m)∙g

  1. Найдем площадь поверхности, на которую оказывается давление ножками стола:

Sс = n∙S

  1. Получим итоговую формулу давления стола с коробкой на пол:

  2. Выполним вычисления:

  3. Проверим единицы измерения:

Задача 2

Вычислите площадь острия гвоздя, если при забивании его в доску с силой 200 Н, он оказывает давление 1000 МПа.

F = 200 Н — сила, с которой забивается гвоздь,

p = 100 МПа = 100000000 Па — давление, оказываемое гвоздем на доску при его забивании.

S — площадь острия гвоздя.

p = F⁄S , где F — сила, оказывающая давление, S — площадь поверхности, на которую оказывается давление.

  1. Выразим площадь из формулы давления:

S = F⁄p

  1. Выполним вычисления:

  2. Проверим единицу измерения:

Как пройти отбор в команду?

Вас ждет тест, знакомство с платформой, тренировочный урок, заполнение профиля.

Подробнее в статье «4 этапа отбора в Skysmart: как начать преподавать онлайн»

Подготовиться к отбору

Механическое напряжение

Задача 3

Ученик выбрал себе лыжи длиной 160 см и шириной 4 см каждая. Какое давление он будет оказывать на лыжню, если его масса равна 50 кг?

l = 160 см = 1,6 м — длина лыж,

a = 5 см = 0,05 м — ширина лыж,

m = 50 кг — масса ученика.

p — давление ученика на лыжню.

  1. Выразим площадь поверхности лыж:

S = 2∙a∙l

  1. Запишем формулу силы тяжести:

F = m∙g

  1. Получим итоговую формулу для давления:

  2. Выполним вычисления:

Задача 4

Масса автомобиля в 5 раз больше, чем масса слона. Площадь опоры автомобиля в 2 раза меньше. Кто из них оказывает большее давление на землю и во сколько раз?

m — масса слона,

M = 5m — масса автомобиля,

Sа — площадь опоры автомобиля,

Sс = 2Sа — площадь опоры слона.

pа — давление автомобиля,

pс — давление слона.

n — отношение большего из давлений к меньшему.

  1. Запишем формулы силы тяжести слона и автомобиля:

Fс = mg — сила тяжести слона,

Fа = M∙g = 5m∙g — сила тяжести автомобиля.

  1. Запишем формулы давления слона и автомобиля:

Механическое напряжение

  1. Сравним полученные формулы давлений слона и автомобиля:

Механическое напряжение

Давление автомобиля больше.

  1. Найдем отношение большего давления к меньшему:

Учите детей английскому в Skyeng!

Полная удаленка, ваше собственное расписание, готовые уроки на удобной платформе.

Не нужно тратить время на подготовку к урокам и отчеты, преподавайте с удовольствием!

Подведение итогов урока

Здесь опытные учителя помогают взрослым ученикам с узкими запросами и получают повышенное вознаграждение.❤️

Продуктивных уроков и горящих глаз учеников!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *