Решение задач по геометрии
Задача 1
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 18. Найдите AO.
Решение:
Медианы в треугольнике при пересечении делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Таким образом, AO = 2/3 * AN = 2/3 * 12 = 8.
Задача 2
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 15, CM = 45. Найдите OM.
Решение:
Так как M и N – середины сторон, то OM = 1/2 * CM = 1/2 * 45 = 22.5.
Задача 3
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 36. Найдите OM.
Решение:
OM = 1/2 * CM = 1/2 * 36 = 18.
Задача 4
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 24, CM = 15. Найдите AO.
Решение:
AO = 2/3 * AN = 2/3 * 24 = 16.
Задача 5
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 27, CM = 9. Найдите AO.
Решение:
AO = 2/3 * AN = 2/3 * 27 = 18.
Задача 6
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 27, CM = 18. Найдите CO.
Решение:
CO = 2/3 * CM = 2/3 * 18 = 12.
Задача 7
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 15. Найдите CO.
Решение:
CO = 1/3 * CM = 1/3 * 15 = 5.
Задача 8
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 24, CM = 9. Найдите CO.
Решение:
CO = 1/3 * CM = 1/3 * 9 = 3.
Задача 9
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 6, CM = 9. Найдите ON.
Решение:
Так как M и N являются серединами сторон, то ON = 1/2 * AN = 1/2 * 6 = 3.
Задача 10
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 24, CM = 18. Найдите ON.
Решение:
ON = 1/2 * AN = 1/2 * 24 = 12.
Задача 11
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 33, CM = 15. Найдите ON.
Решение:
ON = 1/2 * AN = 1/2 * 33 = 16.5.
Задача 12
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 21, CM = 15. Найдите OM.
Решение:
OM = 1/2 * CM = 1/2 * 15 = 7.5.
Задача 13
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 18, CM = 21. Найдите OM.
Решение:
OM = 1/2 * CM = 1/2 * 21 = 10.5.
Задача 14
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 27, CM = 9. Найдите AO.
Решение:
AO = 2/3 * AN = 2/3 * 27 = 18.
Задача 15
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 18, CM = 21. Найдите CO.
Решение:
CO = 2/3 * CM = 2/3 * 21 = 14.
Задача 16
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 27, CM = 18. Найдите CO.
Решение:
CO = 2/3 * CM = 2/3 * 18 = 12.
Задача 17
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 24, CM = 15. Найдите AO.
Решение:
AO = 2/3 * AN = 2/3 * 24 = 16.
Задача 18
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 15. Найдите О.
Решение:
Так как M и N являются серединами сторон, то O = 1/2 * (AN + CM) = 1/2 * (12 + 15) = 13.5.
Задача 19
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 6, CM = 9. Найдите О.
Решение:
O = 1/2 * (AN + CM) = 1/2 * (6 + 9) = 7.5.
Задача 20
Домашнее задание: ФИПИ (геометрия), стр.14.
Решение геометрических задач на основе теории треугольников
Нахождение третьего угла в треугольнике
В треугольнике, где два угла равны 72 и 42 градусам, чтобы найти третий угол, достаточно просуммировать значения всех углов треугольника и вычесть их из 180 градусов.
$Угол_{1} + Угол_{2} + Угол_{3} = 180$
$72 + 42 + Угол_{3} = 180$
$114 + Угол_{3} = 180$
$Угол_{3} = 180 – 114$
$Угол_{3} = 66$
Ответ: третий угол равен 66 градусам.
Нахождение внешнего угла при вершине С
В треугольнике ABC, где угол C равен 115 градусам, внешний угол при вершине C равен сумме внутреннего угла C и 180 градусов.
$Внешний угол = Угол_{C} + 180$
$Внешний угол = 115 + 180$
$Внешний угол = 295$
Ответ: внешний угол при вершине C равен 295 градусам.
Нахождение АM в треугольнике ABC
В треугольнике ABC с АС=14 и BM=10, чтобы найти АM, используем формулу медианы треугольника:
$BM = \frac{1}{2} * AM$
$10 = \frac{1}{2} * AM$
$AM = 10 * 2$
$AM = 20$
Ответ: АM равно 20.
Нахождение площади прямоугольного треугольника
Если два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10, чтобы найти его площадь, воспользуемся формулой:
$Площадь = \frac{1}{2} * Катет_{1} * Катет_{2}$
$Площадь = \frac{1}{2} * 4 * 10$
$Площадь = 20$
Ответ: площадь треугольника равна 20.
Нахождение площади треугольника с заданной стороной и высотой
Если сторона треугольника равна 16, а высота, проведенная к этой стороне, равна 19, чтобы найти площадь треугольника, используем формулу:
$Площадь = \frac{1}{2} * Сторона * Высота$
$Площадь = \frac{1}{2} * 16 * 19$
$Площадь = 152$
Ответ: площадь треугольника равна 152.
Нахождение площади треугольника BCD
Если на стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=6, DC=10 и площадь треугольника ABC равна 48, чтобы найти площадь треугольника BCD, вычислим площадь треугольника ABC и вычтем из нее площадь треугольника ABD.
$AD/DC = 6/10$
$S_{BCD}/S_{ABC} = DC/AC$
$S_{BCD} = S_{ABC} * DC/AC$
$S_{BCD} = 48 * 10/16$
$S_{BCD} = 30$
Ответ: площадь треугольника BCD равна 30.
Нахождение длины отрезка MN
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC. С учетом того, что сторона AB равна 21, сторона BC равна 22 и сторона AC равна 28, длина отрезка MN равна половине разности сторон AB и BC:
$MN = \frac{1}{2} * (BC – AB)$
$MN = \frac{1}{2} * (22 – 21)$
$MN = \frac{1}{2}$
$MN = 0.5$
Ответ: длина отрезка MN равна 0.5.