Признаки равенства треугольников
- Докажите равенство этих двух треугольников! – Да я вам отвечаю, на крови готов поклясться, что они равны!
26 января 2024 г.
Введение
Знакомая ситуация? Коварная геометрия нанесла удар, откуда и не ждали. И вот перед нами два абсолютно идентичных треугольника и необходимость точно сформулировать, почему они равны. Не спешим гадать на картах и клясться всем дорогим и близким, а запоминаем признаки равенства треугольников (их всего три, так что оставляем панику вместе с картами, в сторонке), при помощи которых задачи из геометрии решаются легко и просто.
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а угол между этими сторонами так же равен углу между соответствующими сторонами, то два треугольника равны.
Допустим, мы должны подтвердить, что △ABC и его потенциальный близнец △DEF одинаковы. Известно, что стороны AB и DE и AC и DF попарно между собой равны, а ∠ CAB равен ∠ EDF. Таким образом, если мы попытаемся наложить △ABC на △DEF, то одинаковые стороны и углы совпадут, что и подтвердит равенство △ABC и △DEF.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два смежных угла одного треугольника равны соответствующим стороне и углам другого треугольника, то эти два треугольника равны.
Снова перед нами два “брата-акробата” – ΔABC и ΔDEF. Но на этот раз нам известно, что AB = DE, а ∠CAB и ∠CBA сообразно равны ∠FDE и ∠FED. Теперь, поскольку стороны и прилежащие к ним углы одинаковы, они будут полностью пересекаться друг с другом.
Точка F лежит и на стороне DF, и на стороне EF, поэтому F будет принадлежать и лучами AC и CB. А поскольку они пересекаются в точке C, то и точка F совпадет с точкой C. В результате, стороны DF и EF будут совмещены с AC и BC сообразно.
Как видим, при наложении ΔABC и ΔDEF абсолютно совпадают, а, следовательно, равны.
Третий признак равенства треугольников
Если все три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого треугольника, то оба треугольника равны.
Предположим, у небезызвестных ∆ABC и ∆DEF AB =DE, AC = DF и BC = FE. Значит, мы сможем наложить ∆DEF на ∆ABC так, чтобы вершины D и A, E и B совпали друг с другом, а точки F и C легли по разные стороны от отрезка AB.
CF проходит внутри угла ACB, а так как AC = DF и BC = FE, то ∆ACF и ∆ BCF являются равнобедренными с основанием CF. Из свойства равнобедренных треугольников следует, что ∠DCF = ∠DFC и ∠FCE = ∠CFE. В результате ∠DCE = ∠DFE.
Поскольку стороны треугольников попарно равны, то можно заключить, что ΔABC = ΔDEF (вспоминаем теорему №1).
## Важно запомнить
Данные правила работают и в обратную сторону. Например, если ∆ABC = ∆DEF, то, следовательно, AB = DE, а ∠CAB = ∠FDE.
## Примеры решения задач
Итак, теперь, когда мы кратко разобрались с признаками равенства треугольников, самое время закрепить новые знания практикой.
### Задача № 1
∆ABC и ∆ACD
AB = AD
Необходимо доказать: ∆ABC = ∆ACD
Таким образом, согласно первому признаку равенства ∆ABC = ∆ACD
### Задача № 2
∆FBD и ∆ACF
CF = FB
∠ACF = 90॰
∠FBD = 90॰
Необходимо доказать: ∆ACF = ∆FBD
Найти: AD, если FD = 12см
Следовательно, ∆ACF = ∆FBD по второму признаку равенства.
Если ∆ACF= ∆FBD, то FD = AF = 12 см (согласно третьему признаку равенства)
AD = FD+AF
12+12 = 24
AD = 24 см
Ответ: 24 см
## Заключение
Итак, мы узнали, по каким свойствам можно доказать равенство треугольников. Эти, скажем прямо, базовые принципы служат основой для решения куда более сложных задач и теорем. Геометрия - барышня коварная и временами докапывается до сущих мелочей, однако, в этом и есть ее особый шарм. В очевидных и легко решаемых ребусах уровня 7-8 класса скрываются ответы на сложнейшие загадки и тождества.
## Проверь себя
Согласно первому признаку равенства, треугольники равны если:
- Если два прямоугольных треугольника имеют одинаковые гипотенузы и прилежащие к одному из катетов углы, то по какому признаку мы сможем подтвердить, что они равны?
Δ ABC = ΔDOH
AB = DO = 7
AC= 5 см
Какой длины OH, если она длиннее стороны DH в два раза?
## Что значит равенство треугольников
Равенство треугольников — свойство двух фигур, в которых все элементы (три соответствующие стороны и соответствующие углы) равны.
Две фигуры являются равными тогда и только тогда, когда они могут быть полностью наложены друг на друга. Существуют различные условия для доказательства равенства. Фигура имеет шесть измерений — три стороны и три угла, и любое из трех указанных измерений может быть использовано для доказательства равенства.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Для обозначения конгруэнтности используется символ ≅.
Постулат о конгруэнтности треугольников (УСУ) — фигуры конгруэнтны, если любые два угла и входящая в них сторона равны. Входящая сторона — это сторона между двумя углами.
На рисунке выше имеем △ABC и △A1B1C1. Заметим, что ∠A на △ABC равен ∠A1 на △A1B1C1, а ∠B на △ABC равен ∠B1 на △A1B1C1.
Есть включенная сторона между ∠A и ∠B на △ABC, которая равна длине стороны, входящей в треугольник ∠A1 и ∠B1 на △A1B1C1.
В этих двух треугольниках два угла конгруэнтны (равны), а входящая сторона между этими углами конгруэнтна. Таким образом, оставшийся угол △ABC должен быть равен:
Постулаты и конгруэнтность треугольников
Это связано с тем, что внутренние углы складываются в 180 градусов. С заданными сторонами и углами можно построить только один треугольник (или его отражение).
Постулаты равенства треугольников
Пожалуй, самый простой из трех постулатов — постулат о боковых сторонах (ССС) — треугольники являются равными, если три стороны одной фигуры равны соответствующим сторонам другой. Это единственный признак, в котором не рассматриваются углы.
Применяя постулат о боковом угле (УСУ), можно утверждать, что треугольники конгруэнтны, если любая пара соответствующих сторон и входящий в них угол конгруэнтны.
Проверка равенства треугольников
Для того чтобы две фигуры в △ABC и △A1B1C1 были конгруэнтны, три части — сторона, входящий угол и смежная сторона — должны быть конгруэнтны тем же трем частям — соответствующим стороне, углу и стороне — в другом треугольнике △YAK.
С помощью этих постулатов можно проверить равенство таких многоугольников, как параллелограмм, квадрат и прямоугольник.
Пример равенства треугольников
Дано:
- BC = QR = 4 единицы;
- CA = RP = 5 единиц;
- ∠ABC = ∠PQR = 90°.
Теперь по условию конгруэнтности можно сделать вывод, что Δ ABC ≅ Δ PQR. Для определения угла A используется следующая логика: AB = AC и ∠ B = 70°, значит ∠ A = 40°.
Проверка равенства других фигур
Для фигур, где AC = QR = 5, ∠BAC = ∠PQR и BA = PQ = 9, можно заключить, что Δ BAC ≅ Δ PQR.
Пример равенства треугольников по СУС
Для треугольников ∆ PQR и ∆ PSR, если PQ = PS, ∠QPR = ∠SPR и PR = PR, то ∆PQR ≅ ∆PSR по признаку СУС.
Другие примеры равенства
Путем решения математических уравнений, можно доказать конгруэнтность треугольников на различных изображениях.
Доказательство теоремы
Итак, для начала докажем, что треугольники ABD и CBD равны по стороне BD и равным углам ∠ABD = ∠CBD.
Дальше из треугольников ∆ABE и ∆CBE.
BE является общей стороной для обоих треугольников.
Из углового равенства ∠ABD = ∠CBD и ∠ABD = ∠CBD следует, что треугольники ABE и CBE равны по двум сторонам и углу.
Таким образом, мы получаем, что AC = BD.
Вывод
Исходя из вышесказанного, мы можем утверждать, что AC равно BD.