и получим:
S = (5√3)/4 * 4 = 5√3 см^2
Таким образом, площадь развертки правильного тетраэдра с ребром длиной 5 см равна 5√3 кв.см.
Задача 2. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 5 см.
Для нахождения объема правильного тетраэдра воспользуемся формулой:
V = (√2/12) * a^3
где a – длина ребра.
Подставим в формулу значение длины ребра a = 5 см:
V = (√2/12) * 5^3 = (√2/12) * 125 = 125√2/12 см^3
Таким образом, объем правильного тетраэдра с ребром длиной 5 см равен 125√2/12 куб.см.
Надеемся, что наша лекция по теме Тетраэдр была полезной и информативной для вас. Спасибо за внимание!
### Площадь развертки правильного тетраэдра
Построим сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точки ). Сечением тетраэдра является треугольник.
1. Соединим точки ) и продолжим прямые до пересечения, поставим точку, лежащую в одной плоскости АВС.
2. Построим пересечение прямой МК с каждой гранью, получив четырехугольник .
Построение желательно делать поэтапно со словами диктора.
### Структура тетраэдра
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Тетраэдр ограниченный четырьмя треугольниками называется тетраэдром DABC. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
### Свойства тетраэдра
- Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
- Два ребра, не имеющие общей вершины, называются противоположными.
- Высота тетраэдра - отрезок, соединяющий вершину с точкой, перпендикулярной противоположной грани.
- Медиана - отрезок, соединяющий вершину с пунктом пересечения медиан.
- Бимедиана - отрезок, соединяющий середины ребер.
### Объем тетраэдра
Тетраэдр - это пирамида с треугольным основанием. Объем можно рассчитать по формуле:
\[ V = \frac{1}{6} \times a^3 \sqrt{2} \], где a - длина ребра тетраэдра.
### Правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр - все грани равносторонние треугольники.
Для правильного тетраэдра с ребрами a и высотой H формула объема выглядит так:
\[ V = \frac{1}{6} \times a^3 \times \sqrt{2} \]
### Вычисление объема тетраэдра по координатам вершин
Пусть даны координаты вершин тетраэдра. Из вершин проведем векторы и для нахождения координат каждого из векторов.
Тетраэдр: геометрическая фигура и её свойства
Тетраэдр в переводе с греческого означает четырехгранник. Эта геометрическая фигура обладает четырьмя гранями, четырьмя вершинами и шестью ребрами. Грани тетраэдра представляют собой треугольники.
Элементы четырехгранника
Отрезок, выпущенный из любой вершины тетраэдра и опущенный на точку пересечения медиан грани, являющейся противоположной, называется медианой. Высота многоугольника представляет собой нормальный отрезок, опущенный из вершины напротив. Бимедианой называется отрезок, соединяющий центры скрещивающихся ребер.
Свойства тетраэдра
Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед.
Медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке, где медианы делятся в отношении 3:1, а бимедиана делит на две равные части.
Плоскость, проходящая через середину двух скрещивающихся ребер, делит тетраэдр на равные по объему части.
Виды тетраэдра
Видовое разнообразие тетраэдра широко. Рассмотрим правильный тетраэдр, у которого все грани – правильные треугольники. Правильный тетраэдр является одним из пятерых аналогичных многогранников.
Формулы четырехгранника
- Высота тетраэдра: корень из 2/3 умножить на длину ребра.
- Объем тетраэдра: корень квадратный из 2/12 умножить на длину ребра в кубе.
Выпускная квалификационная работа
Избранные теоремы геометрии тетраэдра
Глава I. Виды тетраэдров и теоремы о тетраэдрах
1.1 Теоремы о тетраэдрах
- Теорема Менелая
- Теорема Чевы
- Свойства медиан и бимедиан тетраэдра
1.2 Различные виды тетраэдров
- Пифагоровы тетраэдры
- Ортоцентрические тетраэдры
- Каркасные тетраэдры
- Равногранные тетраэдры
- Инцентрические тетраэдры
- Соразмерные тетраэдры
- Правильные тетраэдры
Глава II. Тетраэдр в курсе математики средней школы
- Сравнительная характеристика изложения темы тетраэдр в школьных учебниках
- Тестирование уровня развития пространственного мышления у учеников средней школы
Интерес к изучению тетраэдра возник у человечества с древних времен и не угасает до сих пор, благодаря его красоте и практической ценности.
Исследование тетраэдра в математике
Тетраэдр является одним из основных фигур стереометрии, хотя его изучение в курсе средней школы не всегда подробно. В некоторых учебниках избегают терминологии, предпочитая называть фигуру треугольной пирамидой, что может ограничить понимание различий между разными видами тетраэдров.
Роль задач о тетраэдрах в математическом развитии школьников трудно переоценить. Они способствуют развитию пространственного мышления и формированию геометрических представлений, что важно при изучении стереометрии.
Цель дипломной работы
Целью дипломной работы является изучение различных видов тетраэдров и теорем, связанных с этой геометрической фигурой. Для достижения цели были сформулированы следующие задачи:
- Собрать информацию о тетраэдре из различных источников и систематизировать её.
- Проанализировать представление материала в учебниках для средней школы.
- Разработать курс занятий о тетраэдре для школьников.
Глава I – Виды тетраэдров и теоремы о них
еоремы о тетраэдрах
Теорема Менелая для треугольника:
Пусть точки А₁ и С₁ лежат на сторонах ВС и AC треугольника ABC, точка B₁ на продолжении стороны AC. Для того чтобы точки А₁, B₁, C₁ лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
К одной из граней октаэдра приставили правильный тетраэдр с такими же длинами рёбер. Сколько граней у получившегося многогранника? Как соотносятся объёмы октаэдра и правильного тетраэдра? Изготовив октаэдр и несколько правильных тетраэдров с одинаковыми длинами рёбер, можно ответить на эти вопросы без вычислений.
Октаэдр — один из пяти ; у него восемь граней — правильных треугольников. Если положить октаэдр гранью на стол, то противоположная грань будет горизонтальна. (Октаэдр является простейшим представителем антипризм.)
Поставьте на горизонтальную грань октаэдра правильный тетраэдр с такой же длиной ребра, совместив их грани. Вы увидите, что грани тетраэдра являются продолжениями граней октаэдра. Это иллюстрирует тот факт, что сумма двугранных углов октаэдра и правильного тетраэдра составляет Таким образом, когда вы приставляете к октаэдру правильный тетраэдр, количество граней не увеличивается, а уменьшается! У получившегося многогранника граней всего семь — меньше чем у октаэдра.
Октаэдр можно представить как пересечение двух двойственных («противоположных») тетраэдров, когда их рёбра пересекаются. Если это помнить, то факт перестаёт быть настолько удивительным.
К октаэдру и стоящему на нём тетраэдру приставим ещё три таких же тетраэдра. Все вместе они образуют в два раза больший правильный тетраэдр. Так как ребро большого тетраэдра в два раза больше «единичного», то его объём в восемь ($=2^3$) раз превосходит объём единичного. Значит, объём октаэдра равен Следовательно, если у октаэдра и правильного тетраэдра одинаковые длины рёбер, то объём тетраэдра составляет четверть от объёма октаэдра.
Приставим два тетраэдра к противоположным граням октаэдра. Получится параллелепипед, у которого есть своё название — правильный ромбоэдр. Ромбоэдр — так как все грани у этого многогранника имеют форму ромбов. А правильный — так как все ромбы одинаковы (и в каждом из них есть
У правильного ромбоэдра есть ось симметрии третьего порядка: диагональ, соединяющая «свободные» вершины тетраэдров. Если повернуть фигуру относительно этой оси на то правильный ромбоэдр перейдёт в себя.
А если сжать правильный ромбоэдр вдоль этой оси, то можно получить куб. И так как при сжатиях (аффинных преобразованиях) отношения объёмов не меняются, то, опять же без вычислений, легко понять, какую часть объёма куба составляют его «углы» и «средняя часть».
Правильные ромбоэдры можно приставлять друг к другу, и таким образом заполнить, замостить всё трёхмерное пространство. При этом рёбра и вершины правильных ромбоэдров образуют знаменитую гранецентрированную кубическую решётку, ГЦК. Если в её узлы (вершины ромбоэдров) поместить шары радиуса, равного половине ребра (тетраэдра или октаэдра), то это будет одно из расположений шаров, на которых достигается максимальная плотность упаковки шаров в трёхмерном пространстве.