Смежные и вертикальные углы

Начальные геометрические сведения (отрезки, прямые и углы)

Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Смежные углы всегда равны.

Нет. (Смежные углы не всегда равны. Например, смежные углы могут быть 100 и 80 градусов.)

Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.

Нет. Если оба по 90 градусов, то они прямые.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Нет. Через заданную точку можно провести любое количество прямых.

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

Нет. Если угол острый, то смежный с ним тупой.

На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.

Нет. Таких точек бесконечное количество. Все они лежат на серединном перпендикуляре, проведенном к данному отрезку.

Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.

Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Смежные и вертикальные углы. Повторяем теорию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

• Если сумма двух углов равна , то эти углы смежные.
• Смежные углы могут быть равными.

• Сумма двух вертикальных углов может равняться .
• Если угол равен , то смежный с ним угол равен

• Найдите величину угла COB, если OP— биссектриса угла AOC,
• Найдите величину угла AOP, если OP — биссектриса угла AOC,. Ответ дайте в градусах.

• Найдите угол AOC, если . Ответ дайте в градусах.
• Найдите угол AOD, если ∠𝐶𝑂𝐵 = 800. Ответ дайте в

• Найдите угол AOC, если ∠𝐷𝑂𝐵 = 1110. Ответ дайте в

• Луч PK – биссектриса угла MPB. Найдите величину угла KPB, если ∠2 = 800. Ответ дайте в градусах.

• Один из смежных углов на больше другого. Найдите градусную меру большего угла.
• Один из смежных углов на больше другого. Найдите градусную меру меньшего угла.
• Один из смежных углов на больше другого. Найдите градусную меру большего угла.

• Найдите угол COB, если ∠𝐴𝑂𝐶 +∠𝐵𝑂𝐷 = 3200. Ответ дайте в градусах.
• В треугольнике ABC угол C равен . Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.
• В треугольнике ABC угол C равен . Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Утверждения:

1. Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
2. Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
3. Смежные углы всегда равны.
4. Вертикальные углы равны.
5. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
6. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Геометрические утверждения

Утверждение №7

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Утверждение №8

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

Утверждение №9

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Утверждение №10

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

Утверждение №11

Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Утверждение №12

Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Утверждение №13

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Утверждение №14

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Утверждение №15

В остроугольном треугольнике все углы острые.

Утверждение №16

Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.

Утверждение №17

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Утверждение №18

В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.

Утверждение №19

Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.

Утверждение №20

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Утверждение №21

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Утверждение №22

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Утверждение №23

Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

Утверждение №24

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Утверждение №25

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Утверждение №26

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Утверждение №27

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Утверждение №28

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

Утверждение №29

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.

Утверждение №30

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Утверждение №31

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Утверждение №32

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Утверждение №33

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Утверждение №34

Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.

Утверждение №35

Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

Утверждение №36

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Утверждение №37

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.

Утверждение №38

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Утверждение №39

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.

Утверждение №40

Все высоты равностороннего треугольника равны.

Утверждение №41

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

Утверждения о геометрических фигурах

Равнобедренные треугольники

Утверждение №42: Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

Подобные треугольники

Утверждение №43: Любые два равносторонних треугольника подобны.

Утверждение №44: Все равнобедренные треугольники подобны.

Утверждение №45: Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Утверждение №46: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Равные треугольники

Утверждение №47: Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Утверждение №48: Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Утверждение №49: Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Четырёхугольники

Утверждение №50: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.

Утверждение №51: Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Параллелограммы

Утверждение №52: В параллелограмме есть два равных угла.

Утверждение №53: Диагонали параллелограмма равны.

Утверждение №54: Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Утверждение №55: Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.

Утверждение №56: Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Ромбы

Утверждение №57: Диагонали ромба перпендикулярны.

Утверждение №58: Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Утверждение №59: Диагонали ромба равны.

Утверждение №60: Все углы ромба равны.

Утверждение №61: Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Утверждение №62: Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Утверждение №63: Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Утверждение №64: Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Утверждение №65: Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Прямоугольники

Утверждение №66: Все углы прямоугольника равны.

Утверждение №67: Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Утверждение №68: Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

Утверждение №69: Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.

Утверждение №70: В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

Утверждение №71: Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Утверждение №72: Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Утверждение №73: Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

Квадраты

Утверждение №74: Любой квадрат является прямоугольником.

Утверждение №75: Существует квадрат, который не является прямоугольником.

Квадраты и ромбы

Утверждение №76: Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.

Утверждение №77: Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.

Геометрические утверждения

Утверждение №78

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Утверждение №79

Все квадраты имеют равные площади.

Утверждение №80

Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

Утверждение №81

Основания любой трапеции параллельны.

Утверждение №82

В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.

Утверждение №83

Боковые стороны любой трапеции равны.

Утверждение №84

Основания равнобедренной трапеции равны.

Утверждение №85

Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Утверждение №86

Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Утверждение №87

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Утверждение №88

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

Утверждение №89

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Утверждение №90

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Утверждение №91

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Утверждение №92

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

Утверждение №93

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Утверждение №94

Все диаметры окружности равны между собой.

Утверждение №95

Все хорды одной окружности равны между собой.

Утверждение №96

Любые два диаметра окружности пересекаются.

Утверждение №97

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Утверждение №98

Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

Утверждение №99

Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Утверждение №100

Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

Утверждение №101

Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

Утверждение №102

Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Утверждение №103

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Утверждение №104

В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

Утверждение №105

В любой ромб можно вписать окружность.

Утверждение №106

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.