Вариант № 398
Уравнение с четырьмя равными платежами
Задача:
Вариант а) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк рублей. Какой должна быть сумма , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Задача:
31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Задача:
Ольга хочет взять в кредит 100 000 рублей под 10% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 тысяч рублей?
Задача:
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего года.
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб., если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 6,1 млн. рублей.
Задача:
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере млн рублей, где число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год (в млн рублей)
- январь 1
- февраль 1
- март 1
- апрель 1
- май 1
- июнь 1
Найдите наименьшее значение , при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Задача:
В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо одним платежом выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита.
Вариант № 042
Распределение мест на самолёте
Задача:
На борту самолёта 28 кресел расположены рядом с запасными выходами и 16 — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 400 мест.
Задача:
В группе шесть человек, среди них — Михаил и Олег. Группу случайным образом делят на 3 пары. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной паре.
Вероятностные задачи
Задача 1
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 92 качественных сумки приходится 8 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.
Задача 2
В сборнике билетов по географии всего 30 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме Регионы России. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику вопроса по теме Регионы России.
Задача 3
У Дины в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Дина наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит менее 60 рублей.
Задача 4
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Задача 5
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,5. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток.
Задача 6
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Задача 7
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
Задача 8
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.
При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Задача 9
Чтобы выйти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Задача 10
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,4 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,9?
Вероятностные задачи
Задача 1
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Для первой фабрики вероятность купить стекло бракованного качества:
[0.45 \times 0.03 = 0.0135]
Для второй фабрики вероятность купить стекло бракованного качества:
[0.55 \times 0.01 = 0.0055]
Тогда общая вероятность купить бракованное стекло:
[0.0135 + 0.0055 = 0.019]
Задача 2
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0.52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0.3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
А. выигрывает оба раза, если он выигрывает обе партии. Вероятность выиграть обе партии:
[0.52 \times 0,3 = 0.156]
Задача 3
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0.3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0.12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Вероятность того, что кофе не закончится ни в одном автомате:
[1 – 0.3 – 0.3 + 0.12 = 0.52]
Задача 4
При артиллерийской стрельбе система делает выстрел по цели. Вероятность уничтожения цели при первом выстреле равна 0.4, а при каждом последующем — 0.6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.98?
Посчитаем вероятность уничтожения цели после N выстрелов. Обозначим эту вероятность как Р.
[P(N) = 0.4 + 0.6 * P(N-1)]
Таким образом, для вероятности уничтожения цели не менее 0.98, необходимо выполнить не менее 6 выстрелов (Р(6) = 0.98).
Задача 5
Из множества натуральных чисел от 58 до 82 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 6?
Количество чисел, делящихся на 6: 82 – (54 + 6) / 6 = 4. Общее количество чисел: 82 – 58 + 1 = 25. Вероятность того, что число делится на 6: 4 / 25 = 0.16
Задача 6
Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов. В первый день 16 докладов, остальные поровну распределены между вторым и третьим днями. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Вероятность того, что доклад перейдет на третий день:
[1 – \frac{16}{40} – \frac{12}{40} = 0.7]
Задача 7
Для подтверждения скидки магазин отправляет покупателю на телефон сообщение с трёхзначным кодом, все цифры которого различны и нечётны. Какова вероятность того, что он случайно угадает код?
Трёхзначные нечётные числа, где все цифры различны: 135, 137, 153, 157, …, 975, 973, 971. Общее количество таких чисел: 5 * 4 * 3 = 60. Вероятность угадать код: 1 / 60 = 0.0167
Задача 8
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. В каждую мишень даётся не более двух выстрелов. Вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0.6. Во сколько раз вероятность события стрелок поразит ровно пять мишеней больше вероятности события стрелок поразит ровно четыре мишени?
Вероятность поразить ровно 5 мишеней: C(5, 5) * 0.6^5 = 0.07776
Вероятность поразить ровно 4 мишени: C(5, 4) * 0.6^4 * 0.4 = 0.2592
Отношение вероятностей: 0.2592 / 0.07776 = 3.333
Задача 9
В магазине три продавца. Каждый из них занят обслуживанием клиента с вероятностью 0.7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты.
Вероятность того, что каждый из продавцов занят клиентом:
[0.7 \times 0.7 \times 0.7 = 0.343]
Ответ: 0.343
Вероятностные задачи
Задача 1: Первый синий фломастер
В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Задача 2: Выход из строя платежного терминала
Платежный терминал в течение рабочего дня может выйти из строя с вероятностью 0.07. В торговом центре независимо друг от друга работают два таких платежных терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один из них в течение рабочего дня будет исправен.
Задача 3: Выбор фломастеров
В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Задача 4: Пенсионеры в городе
В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12.6% взрослого населения, причем доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события выбранный мужчина является пенсионером.
Задача 5: Колесо обозрения
Максим с папой решил покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 11 синих, 7 зеленых, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.
Задача 6: Билет по химии
В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме Кислоты. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику будет вопрос по теме Кислоты.
Задача 7: Механические часы
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
Задача 8: Передача SMS-сообщения
Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность успешной передачи сообщения в каждой попытке равна 0.4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не более двух попыток.
Задача 9: Стрелок
Стрелок стреляет по один раз по каждой из пяти одинаковых мишеней. Вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0.8. Во сколько раз вероятность события стрелок поразит ровно четыре мишени больше вероятности события стрелок поразит ровно три мишени?
Задача 10: Шахматисты
Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0.56. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0.3. Шахматисты А и Б играют две партии, меняя цвет фигур во второй партии. Найдите вероятность того, что А выиграет обе партии.
Задача 11: Последовательное вытаскивание фломастеров
В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Задача 12: Стрелок в тире
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0.2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он с вероятностью не менее 0.6 поразил цель?
При изготовлении подшипников диаметром 72 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,97. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 71,99 мм или больше чем 72,01 мм.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Вариант № 402
В сборнике билетов по истории всего 25 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теме "Великая Отечественная Война". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Великая Отечественная Война".
В кармане у Серёжи было четыре конфеты — «Ласточка», «Красная шапочка», «Маска» и «Взлётная», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка».
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 60 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 24 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 17 пассажиров, равна 0,87. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,58. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 16.
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °, равна 0,91. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °
В городе 52 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 17,8 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 10 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
При изготовлении подшипников диаметром 75 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 74,99 мм или больше чем 75,01 мм.
В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.
Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?