Страница Начал Ньютона с аксиомами механики
Русский перевод этих формулировок законов см. в предыдущих разделах.
В середине XVII века ещё не существовало современной техники дифференциального и интегрального исчисления. Соответствующий математический аппарат в 1680-е годы параллельно создавался самим Ньютоном (1642—1727), а также Лейбницем (1646—1716). Завершили математизацию основ механики Эйлер (1707—1783) и Лагранж (1736—1813).
В теоретической механике в целом
В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости:
Обобщенный импульс, как и не обобщённый, может обозначаться буквой обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.
Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность — длина, то будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой выступает угол (величина безразмерная), то обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа
Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:
, отсюда: .
Для частицы в электромагнитном поле
В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно Соответственно, обобщённый импульс частицы равен (в системе СИ):
И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.
В классической механике импульс тела равен произведению массы этого тела на его скорость направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
В релятивистской физике импульс вычисляется как:
где — скорость света; в пределе для малых формула переходит в классическую.
Важнейший физический закон, в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:
здесь — время, — сила, приложенная к телу.
В записи через импульс (в отличие от — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.
В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.
Понятие импульс имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.
Литература:
- Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
- Спасский Б. И. История физики. М.: Высшая школа, 1977.
- Кудрявцев П. С. Курс истории физики. — М.: Просвещение, 1974.
Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:
Законы сохранения в механике
Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые и в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).
При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие система не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними.
Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.
Понятие импульса
Хотя Ньютон формулировал первый закон механики с использованием термина тело, в современной науке такие тела рассматриваются как материальные точки. Одной из базовых характеристик в механике является импульс, который вычисляется как произведение массы материальной точки на ее скорость.
Импульс тела конечных размеров находится через интегрирование плотности импульса по всем его частям. В релятивистской механике импульс определяется с учетом массы и скорости частиц.
Определения и применение импульса
В классической механике импульс системы материальных точек определяется как сумма импульсов каждой точки. Величина импульса измеряется в килограмм-метрах в секунду в Международной системе единиц.
Для одной материальной точки можно также определить четырехмерный импульс, связанный с массой и скоростью. Существуют соотношения между массой, импульсом и энергией частицы, которые использованы на практике в различных науках.
Заключение
Импульс в механике играет важную роль в определении движения и взаимодействия материальных точек. Понимание импульса и его связь с другими характеристиками системы помогает в изучении физических явлений и развитии научных теорий.
Импульс электромагнитного поля
Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:
[\vec{I} = \int \vec{S} \cdot d\vec{S}
]
((в системе СИ)).
Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения.
Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением данной точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).
В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.
При подходящем выборе единиц измерения этот закон можно записать в виде формулы:
[\vec{a} = \dfrac{\vec{F_{\text{result}}}}{m}
]
где:
- (\vec{a}) — ускорение материальной точки;
- (\vec{F_{\text{result}}}) — равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке;
- (m) — масса материальной точки.
Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульса:
[\dfrac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F_{\text{result}}}
]
В инерциальной системе отсчёта скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил. Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается в виде:
[\vec{F_{\text{result}}} = \sum \vec{F_i}
]
Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света. При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона, получаемое в рамках специальной теории относительности.
Частный случай (при (v << c)) второго закона нельзя рассматривать как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.
Исходная формулировка Ньютона:
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Расширение ньютоновской аксиоматики
Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?
Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие импетус. По Буридану, летящий камень обладает импетусом, который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом импетус прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.
Законы сохранения импульса в физике
В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие количества движения. Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение величины тела на скорость его движения. Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление.
Закон сохранения количества движения
Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе.
Формальное абстрактное определение
Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций). Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве.
Законы Ньютона и силы инерции
Использование законов Ньютона предполагает задание некой инерциальной системы отсчёта. Однако, на практике приходится иметь дело и с неинерциальными системами отсчёта. В этих случаях, помимо сил, о которых идёт речь во втором и третьем законах Ньютона, в механике вводятся в рассмотрение так называемые силы инерции.
Следствия законов Ньютона
Из законов Ньютона вытекают уравнения движения механических систем, а также законы сохранения, указанные ниже. Уравнение движения является дифференциальным уравнением: ускорение есть вторая производная от координаты по времени.
Закон сохранения импульса в гидродинамике
В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа. При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы.
Если в согласии с методом Рейнольдса представить , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:
Третий закон Ньютона
Этот закон описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Пусть имеется замкнутая система, состоящая из двух материальных точек, в которой первая точка может действовать на вторую с некоторой силой , а вторая — на первую с силой . Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия .
Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:
Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.
Импульс в квантовой механике
В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с каноническим (при отсутствии магнитного поля — обычным) импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид:
где — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам -ой частицы.
Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:
Для замкнутой системы () оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.
Определение через волны де Бройля
Модуль импульса обратно пропорционален длине волны
где — постоянная Планка.
Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью (скорости света), модуль импульса равен (где — масса частицы), и:
Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.
В векторном виде это записывается как:
где — волновой вектор.
Законы Ньютона в логике курса механики
Существуют методологически различные способы формулирования классической механики, то есть выбора её фундаментальных постулатов, на основе которых затем выводятся законы-следствия и уравнения движения. Придание законам Ньютона статуса аксиом, опирающихся на эмпирический материал, — только один из таких способов («ньютонова механика»). Этот подход принят в средней школе, а также в большинстве вузовских курсов общей физики.
Альтернативным подходом, использующимся преимущественно в курсах теоретической физики, выступает лагранжева механика. В рамках лагранжева формализма имеются одна-единственная формула (запись действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным), являющийся теоретической концепцией. Из этого можно вывести все законы Ньютона, правда, только для лагранжевых систем (в частности, для консервативных систем). Все известные фундаментальные взаимодействия описываются именно лагранжевыми системами. Более того, в рамках лагранжева формализма можно рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.