Расчеты в математике
Нахождение расстояния от точки до координатной прямой
Дана точка A(1; -2; 3). Необходимо найти расстояние от этой точки до координатной прямой Oy.
Нахождение угла между прямыми
- Параметрическое уравнение для первой прямой.
- Параметрическое уравнение для второй прямой.
- Угол между прямыми.
- Угол в градусах.
Расстояние от точки до плоскости
Дана плоскость с уравнением. Необходимо найти расстояние от точки D(-1; 3; 2) до этой плоскости.
Определение координат середины нижнего основания трапеции
Даны координаты вершин A(2; 10) и B(8; 9) трапеции. Точка O(4; 8) делит диагонали в отношении 1:3. Необходимо найти координаты середины нижнего основания трапеции.
Поиск точки на оси абсцисс
Необходимо найти точку на оси абсцисс, равноудаленную от точек A(-1; 2) и B(-3; 4).
Параметрические уравнения прямой
Даны точки A1(-2; 1; -3) и A2(4; 5; 6). Необходимо найти параметрические уравнения прямой, проходящей через эти точки.
Нахождение угла между векторами
Данны векторы A(-1; 0), B(1; 2), C(2; 0). Необходимо найти угол между этими векторами.
Определение координат точки относительно оси ординат
Необходимо найти координаты точки, симметричной точке с координатами (4; -9) относительно оси ординат.
Взаимное расположение прямых
Даны уравнения двух прямых. Необходимо определить их взаимное расположение: лежат ли они в одной плоскости, параллельны, пересекаются или перпендикулярны.
Нахождение длины отрезка
Даны точки A(2; 4) и B(4; 6). Необходимо найти длину отрезка AB.
Перенос точек
При параллельном переносе точка A(-3; 4) переходит в точку A(1; -1), а точка B(2; -3) в точку B. Необходимо найти координаты точки B.
Графики линейных уравнений
Две прямые находятся в точке пересечения, координаты которой нужно найти.
Определение свойств ромба и прямоугольника
Свойства диагоналей ромба.
Определение ромба.
Свойства диагоналей прямоугольника.
Определение точки N на отрезке AB
Даны точки A(-2; 5) и B(4; 17). Необходимо определить координаты точки N, так чтобы расстояние от нее до A было вдвое больше, чем до B.
Координаты точек на окружности
Даны координаты точек A(9; 13) и B(3; -5) на окружности, касающейся меньшей окружности. Необходимо найти квадрат радиуса меньшей окружности.
После выполнения всех расчетов, можно сравнить результаты с данными ответами и изучить решения.
Свойства геометрических фигур
Прямоугольник
Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые. Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину, и квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов смежных сторон прямоугольника. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам в точке пересечения, которая называется центром прямоугольника и центром описанной окружности. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
Квадрат
Квадрат – это правильный четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 90 градусов. Диагонали квадрата равны и перпендикулярны. Центры вписанной и описанной окружности квадрата совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.
Трапеция
Трапеция – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Длина средней линии равна половине суммы длин ее оснований. Средняя линия всегда параллельна ее основаниям.
Окружность
Окружность – это замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку, которая лежит на прямой, проходящей через их центры.
Окружность и ее элементы
- Диаметр: отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.
- Хорда: отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Секущая: прямая, пересекающая кривую в двух точках или пересекающая две другие прямые в разных точках.
- Касательная: прямая, перпендикулярная к радиусу, проведенному в точку касания.
Свойства окружности
- Диаметр, если перпендикулярен хорде, делит ее пополам.
- Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
- Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Взаимное расположение двух окружностей
Две окружности касаются, если у них есть одна общая точка.
Взаимное расположение прямой и окружности
Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности. Возможны следующие три случая взаимного расположения прямой и окружности:
- Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки.
- Прямая с окружностью имеет только одну общую точку.
- Прямая имеет с окружностью две общие точки.
Определение
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.
Теоремы
Теорема 1
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую стягивает данная хорда.
Теорема 2
Свойство секущей и касательной, проведенных к окружности из одной точки: Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
Дополнительные ссылки
Резюме
Понимание взаимного расположения прямой и окружности является важным элементом геометрии. Зная различные случаи взаимного расположения, а также основные теоремы и свойства, вы сможете более глубоко изучить данную тему и применить ее на практике.
Определение секущей
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. Пусть прямая l пересекает окружность (О; r) в точках А и В (рис. 97) и отрезок АВ будет хордой окружности.
Теорема 1
Диаметр окружности, разделяющий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде.
Доказательство
Допустим, диаметр СD в точке Е делит хорду АВ на две равные части: АЕ = ЕВ (рис. 97). Из равенства треугольников ΔОАЕ = ΔОВЕ следует, что ∠ОЕА= ∠ОЕВ = 90°. Значит, ОЕ ⊥ АВ или СD ⊥ ОВ. Теорема доказана.
Теорема 2
Если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он разделит хорду на две равные части.
Длина отрезка ОЕ определяет расстояние от центра О окружности до ее хорды АВ или до прямой l (рис. 85). Это расстояние обозначается через d, d = ОЕ. В ΔАОЕ : ОЕ < r или d < r.
Следствие 1
Если расстояние от центра окружности до секущей прямой меньше радиуса окружности, тогда прямая пересекается с окружностью в двух точках.
Следствие 2
Хорды окружности, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны.
Теорема 3
Используя рис. 98, попытайтесь самостоятельно объяснить и доказать справедливость следующих утверждений:
- центр окружности лежит на биссектрисе ∠ВМС(О ∈ ОМ);
- расстояния от вершины угла ВМС до точек касания равны (МВ = МС);
- отрезки, соединяющие точки касания с центром окружности, являются ее радиусами и перпендикулярны сторонам угла ВМС (ОВ= = ОС = R, ОВ ⊥ ВМ, ОС ⊥ СМ);
- ∠ВМС + ∠ВОС = 180°.
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение двух окружностей связано с расстоянием между их центрами.
Если R + R′ < d и d< R – R′ (рис. 99), тогда окружности не пересекаются.
Если R + R′ =d или R – R′ = d, то окружности будут иметь общую точку (касаются), лежащую на прямой, проходящей через центры окружностей (рис. 100).
Вопросы
- Как можно описать три возможных случая взаимного расположения прямой и окружности относительно радиуса с использованием понятия расстояния от точки до прямой?
- К какому из перечисленных трех случаев взаимного расположения двух окружностей относятся концентрические окружности?
Упражнения
- Сформулируйте и докажите теорему о взаимном расположении двух окружностей.
- Проведите примеры расчетов для случаев взаимного расположения окружностей.
238. Начертите окружность ω (О; r). Сколько точек пересечения этой окружности: 1) с прямой ОА; 2) с лучом ОВ?239. Сколько касательных можно провести к окружности через точку: 1) лежащую на окружности; 2) лежащую внутри окружности; 3) лежащую вне окружности?240. Через точку А окружности ω (О; r) проведены касательные АВ и АС. Точки В и С — точки касания. Докажите, что АС = АВ.241. Даны окружности (О; 4 см) и (О; 5 см), ОО1 = 6 см. Имеют ли эти окружности общую точку?242. Окружности с радиусами 4 и 5 дм касаются друг друга. Найдите расстояние между их центрами, когда они касаются внешне и касаются внутренне.243. Внутрь прямого угла вписана окружность. Хорда, соединяющая точки касания, равна 40 см. Вычислите расстояние от центра окружности до хорды.244. Каково взаимное расположение окружностей (О;R) и (О′;R′), если:1) d = 1 дм, R = 0,8 дм, R′ = 0,2 дм;2) d = 40 см, R = 110 см, R′ =70 см;3) d = 12 см, R = 5 см, R′ = 3 см?