<strong>результата принятия решения.</strong>

Подготовка к ОГЭ: Прогрессии в математике

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это разновидность числовой последовательности, в которой каждый новый компонент на фиксированное значение отличается от предшествующего. Это значение называют разностью.

Прогрессия описывается правилом an+1 = an + d.

Например, последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19 может называться арифметической прогрессией, так как каждый последующий член отличается от предыдущего на фиксированное значение 4. Элемент a1 = 3, разность d = 4.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Такая последовательность имеет определенную закономерность в построении. Элемент n — это всегда среднее арифметическое значение от соседних членов прогрессии. Исключение составляют первый и последний члены, которые не имеют соседнего с одной из сторон.

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это разновидность числовой последовательности, в которой каждый новый компонент получается умножением предшествующего на фиксированное значение. Это значение называют знаменателем.

Прогрессия описывается правилом: bn = bn-1 * q, где q — знаменатель, n — номер члена прогрессии.

Например, последовательность чисел 3, 9, 27, 81, 243 может называться геометрической прогрессией, так как каждый последующий член отличается от предыдущего в фиксированные 3 раза. Элемент b1 = 3, знаменатель q = 3.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Последовательность тоже имеет определенную закономерность в построении. Квадрат элемента n — это всегда произведением предыдущего и последующего элемента. Исключение составляет первый элемент, который не имеет соседнего с одной из сторон.

an2 = (an-1 * an+1)

Что такое последовательность

Последовательность — это набор элементов, расположенных в определенном порядке. Каждый элемент в последовательности имеет свой индекс, который определяет его место в порядке следования.

Например, последовательность целых чисел может быть представлена в таком виде: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и далее. В этом случае каждое число имеет свой индекс, например, a1 = 1, a2 = 2 до конечного элемента аn, где n — это количество элементов в последовательности.

В задачах ОГЭ по математике 9 класса последовательности представлены арифметическими и геометрическими прогрессиями.

Школьникам часто задают задания, которые требуют определения элемента последовательности, нахождения суммы первых n элементов или нахождения количества элементов в последовательности.

Чтобы решать такие задачи, необходимо знать свойства и характеристики прогрессий, уметь применять формулы и методы для решения задач на последовательности.

Решение задач с использованием арифметических прогрессий

Задача 1

Требуется: найти конечную арифметическую прогрессию, состоящую из семи натуральных чисел, такую, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 39.

Решение:

1. Пусть первый член прогрессии равен а, количество членов равно n, разность прогрессии равна d.
2. Сумма первого и седьмого членов прогрессии равна нечетному числу 39.
3. Так как 39 нечетное число, сумма наибольшего и наименьшего члена прогрессии не может быть равна 39.

Ответ: нет

Задача 2

Требуется: найти конечную арифметическую прогрессию, состоящую из восьми натуральных чисел, сумма наибольшего и наименьшего членов которой равна 11.

Решение:

1. Сумма первого и восьмого члена прогрессии равна 11.
2. Искомая прогрессия: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Задача 3

Требуется: найти среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, которое равно 8,5.

Решение:

1. Среднее арифметическое прогрессии равно полусумме ее крайних членов, следовательно, среднее арифметическое равно 8,5.
2. Наибольшее возможное количество чисел в этой прогрессии равно 16.

Ответ: 16

Вывод

Мы рассмотрели несколько задач на использование арифметических прогрессий для нахождения конкретных значений. Арифметические прогрессии – это важное понятие в математике, которое применяется для решения различных задач и упражнений.

Формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

Применение формул при решении задач

Воспитательная цель

Важно пробуждать интерес учащихся к истории математики. Решение задач по арифметическим прогрессиям поможет развить навыки решения вычислительных задач и любознательность учащихся.

Немного из истории

Слово прогрессия происходит из латинского слова progressio, что буквально означает движение вперед. Этот термин был впервые использован римским автором Боэцием (V-VI вв.). Первое правило для нахождения суммы членов арифметической прогрессии было дано Леонардо Фибоначчи в Книге абака в 1202 году.

Арифметическая прогрессия

Задание для устного счета

Найдите разность арифметической прогрессии

Заключение

Арифметические прогрессии – важное понятие в математике, которое имеет большое значение для решения различных задач и упражнений. Разнообразные примеры и задачи по арифметическим прогрессиям помогут учащимся развивать свои аналитические и вычислительные способности.

Исследование арифметической прогрессии

На слайде 11 представлена концепция последовательности. Последовательности можно описать разнообразными способами: числами в арифметической прогрессии, элементами, которые составляют последовательность, и натуральными числами, обозначающими место члена в последовательности.

Игра Лото

Слайд 12 представляет игру “Лото”. Вам нужно выбрать правильный ответ и у вас есть некоторые варианты чисел натуральных чисел, включая числа кратные 5.

На слайде 18 задача состоит в поиске двадцать третьего члена арифметической прогрессии, если первый член равен 15 и разница равна 3.81396846.

Задача для размышлений

Слайд 24 предлагает задачу, как можно быстро сложить в уме все числа от единицы до ста. Пять первых связок изучили и вы найдете ключ к решению.

Заключение

Арифметическая прогрессия является важным элементом математики, и на примере из жизни немецкого математика Карла Фридриха Гаусса демонстрируется ее применение. Важно развивать навыки работы с арифметическими прогрессиями и применять их в повседневной жизни.

Арифметические прогрессии: решение задач

Задача 1: Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии

Дано: A5 = 26. Найти S5.

Вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии:

(6+26) : 2 × 5 = 80. Ответ: 80.

Задача 2: Нахождение S16

Дано: a1 = 12, d = -3. Найти S16.

Прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии: a16 = 12 + 15 × (-3) = 12 + (-45) = -33. Теперь вычислим сумму: S16 = (12 + (-33)) × 16 : 2 = (-21) × 8 = -168. Ответ: -168.

Задача 3: Решение учебных задач

Примеры задач:

1. Решить № 16.33 (в; г)
2. Решить № 16.35 (в; г)
3. Решить № 16.37 (в; г)

Решение примеров смотрите в тексте.

Домашнее задание

Задания:

1. Записать в тетради решение примеров 7 и 8
2. Решить № 16.33 (а; б) – 16.35 (а; б)
3. Решить № 16.37 (а; б)

Вывод

Арифметические прогрессии являются важным элементом в математике. Понимание основных концепций и умение решать задачи по ним помогут в улучшении математических навыков. Необходимо не только знать формулы, но и уметь их применять на практике.

для гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, у ко­то­рой сумма пер­во­го и тре­тье­го чле­нов равна 40, а сумма вто­ро­го и чет­вер­то­го равна 80.

1. 42. 63. 84. 12

Cумма трех дан­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, у ко­то­рой раз­ность боль­ше нуля, равна 15. Если к этим чис­лам при­ба­вить со­от­вет­ствен­но 1, 4 и 19, то по­лу­чен­ные числа со­став­ля­ют пер­вые три члена гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Дан­ные три числа равны:

1. 52. 83. 114. 145. 26. 8

В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сумма

Най­ди­те пятый член дан­ной про­грес­сии.

1. 152. 143. 104. 18

Най­ди­те пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, если сумма два­дца­ти яти пер­вых чле­нов про­грес­сии равна 250 и

1. 23,52) −243) −264) −20,5

Если сумма с пя­то­го по вось­мой член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равна 48, а раз­ность про­грес­сии равна 2, то ее пер­вый член равен

1. 32. 23. −34) 1

В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии

Най­ди­те вось­мой член про­грес­сии.

1. 392. 183. 94. 27

Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем:

1. 522. 323. 484. 24

Какая из пред­ло­жен­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей за­да­ет­ся фор­му­лой:

Сумма бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии равна 32, а сумма ее пер­вых пяти чле­нов равна 31. Най­ди­те пер­вый член про­грес­сии.

1. 322. 163. 124. 24

Пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равен 8, раз­ность про­грес­сии равна 3. Най­ди­те a25.

1. 772. 723. 854. 80

Знаем, что (an) — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, седь­мой член, ко­то­рой равен 5, тогда сумма три­на­дца­ти пер­вых чле­нов этой про­грес­сии равна

1. −652) 653) 4) 5) 6)

Най­ди­те по­ло­жи­тель­ное число С, ко­то­рое нужно рас­по­ло­жить между чис­ла­ми А = 81 и В = 9 так, чтобы по­лу­чи­лось три по­сле­до­ва­тель­ных члена А, С и В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

1. 182. 273. 454. 36

Между чис­ла­ми А = 6 и

вставь­те по­ло­жи­тель­ное число С так, чтобы по­лу­чи­лось три по­сле­до­ва­тель­ных члена А, С и В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Число С равно

1. 2. 3. 4. 3

Сумма чле­нов бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии в 3 раза боль­ше ее пер­во­го члена. Най­ди­те от­но­ше­ние

Пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равен 5, раз­ность про­грес­сии d = −7. Най­ди­те ко­ли­че­ство чле­нов дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, если

1. 362. 413. 254. 30
2. 1222. 363. 814. 108

Най­ди­те пер­вые пять чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел крат­ных 5.

1. 5; 10; 15; 20; 252) 10; 20; 30; 40; 503) 0; 5; 25; 125; 6254) 0; 5; 10; 15; 20

2. 7; 29; 50; 712) 7; 21; 37; 513) 7; 28; 49; 824) 7; 19; 43; 91

Ука­жи­те фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, если

Опре­де­ли­те, какая из пред­ло­жен­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей не яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей.

Най­ди­те сумму бес­ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, опре­де­ля­ю­щей­ся по фор­му­ле

1. 0,42) 13) 0,24) 0,5

Най­ди­те наи­боль­ший член чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти, за­дан­ной фор­му­лой об­ще­го члена

1. 32. 13. 1,54) −15) −1,56) −3

Из пред­ло­жен­ных ниже ва­ри­ан­тов от­ве­тов, най­ди­те общую фор­му­лу n-го члена по­сле­до­ва­тель­но­сти:

2. 6n – 12) 5n + 33) 4n – 14) 5n – 2

В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии a1 = −2, d = 16, най­ди­те номер члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, рав­но­го 174.

1. 152. 143. 124. 13

По­сле­до­ва­тель­ность (bn) гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия. Най­ди­те: b4, если

1. −162) −183) −204) −17

2. 2. 183. 4. 9

Сумма бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей про­грес­сии равна 32, а сумма ее пер­вых че­ты­рех чле­нов 30. Чему равен пер­вый член дан­ной про­грес­сии?

1. 82. 123. 154. 16

Дана по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 170, да­ю­щих оста­ток 1 при де­ле­нии на 19. Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния.

1. Сумма всех чисел равна 690.2) Таких чисел 8.3) Сумма всех чисел равна 695.4) Раз­ность двух рядом сто­я­щих чисел равна 18.5) Раз­ность между пер­вым и по­след­ним чис­лом равна 150.6) Сумма всех чисел равна 692.

Учи­тель дал за­да­ние: из пред­ло­жен­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей

вы­брать бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию и найти сумму всех его чле­нов. Если уче­ник вы­пол­нил за­да­ние верно, то в от­ве­те он по­лу­чил.

1. 2. 3. 34. 1

Най­ди­те зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии (bn), если

Сумма цифр че­ты­рех­знач­но­го числа равна 16 и все цифры числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. При­чем, цифра еди­ниц на 4 боль­ше цифры сотен. Вы­бе­ри­те вер­ные утвер­жде­ния.

1. по­след­няя цифра чет­ная2) пер­вые две цифры в сумме боль­ше по­след­ней3) вто­рая и по­след­няя цифры в сумме дают 104) пер­вая цифра не­чет­ная5) число из по­след­них двух цифр мень­ше 506) про­из­ве­де­ние всех цифр мень­ше 105

Зна­че­ние суммы пер­вых трех чле­нов воз­рас­та­ю­щей ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с по­ло­жи­тель­ны­ми чле­на­ми равно 15, а зна­че­ние суммы их квад­ра­тов равно 93. Най­ди­те пятый член этой про­грес­сии.

1. 202. 183. 144. 115. 156. 12

Tело, падая с не­ко­то­рой вы­со­ты, про­хо­дит в первую се­кун­ду 4,5 м, а каж­дую сле­ду­ю­щую — на 5,8 м боль­ше. С какой вы­со­ты упало тело, если па­де­ние про­дол­жа­лось 11 с?

1. м2) м3) 343,75 м4) 72,5 м5) м6) 368,5 м

Даны три числа, об­ра­зу­ю­щие гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Если от пер­во­го числа вы­честь 12, то эти числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­чеcкую про­грес­сию, ко­то­рые в сумме равны боль­ше­му члену гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Най­ди­те эти числа и вы­бе­ри­те из пред­ло­жен­ных ва­ри­ан­тов числа, со­от­вет­ству­ю­щие гео­мет­ри­че­ской или ариф­ме­ти­чеcкой про­грес­си­ям

1. 18; 10; 22) 13; 5; 13) 32; 8; 24) 27; 9; 35) 15; 9; 36) 37; 18,5; 9,25

Завершить работу, свериться с ответами, увидеть решения.

Как решать задачи с геометрической прогрессией на ОГЭ

Для решения задач на ОГЭ также нужно знать формулы и правила, которые описывают свойства прогрессии. Задания могут включать в себя нахождение суммы компонентов, нахождение n-го члена и прочее.

При решении задач нужно внимательно читать условия и уметь работать со степенями и извлечениями корней.

Как решать задачи с арифметической прогрессией на ОГЭ

Для решения задач экзамена после 9 класса нужно знать основные формулы и правила, которые применяются для арифметических прогрессий. Задания могут включать в себя поиск суммы, определения конкретного элемента и прочее.

Важно внимательно читать условие задачи, чтобы понимать, какие данные уже имеются, и что конкретно тебя просят найти.

В каких заданиях ОГЭ есть задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию

Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии могут иметь разный уровень сложности, поэтому для успешного решения на ОГЭ нужно иметь хорошее понимание основных понятий и формул, связанных с арифметическими и геометрическими прогрессиями.

Если прогрессии все еще кажутся тебе сложными, то начинай подготовку в «СОТКЕ». Наши преподаватели объяснят так, чтобы ты понял абсолютно все. А разнообразные практические задания и качественная проверка с работой над ошибками помогут закрепить твои знания и повысить уверенность в себе.

Записывайся на бесплатный вводный урок, в «СОТКЕ» ты сможешь подготовиться к 4-м предметами по цене одного.