Вероятности и статистика
Начала теории вероятностей. Классическое определение вероятности
29.04.2023. Тест. Математика, 8 класс
Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного использования. Администрация сайта не проверяет возможные ошибки, которые могут встретиться в тестах.
Задание 5257
В турнире участвуют 6 футбольных клубов: Витязь, Парнас, Сириус, Бекас, Нептун и Буревестник. Команды случайным образом распределяют на две группы по три команды. Какова вероятность того, что Парнас и Сириус окажутся в одной группе?
Задание 5305
На экзамене 60 билетов, Василий не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Задание 5352
В корзинке у Красной Шапочки 20 пирожков, 4 из которых с мясом, 7 с картошкой, а остальные с капустой. Бабушка наугад взяла один пирожок. Какова вероятность того, что бабушка взяла пирожок с капустой?
Задание 5400
На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме Углы, равна 0,35. Вероятность того, что это окажется задача по теме Треугольник, равна 0,3. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
Для того, чтобы найти вероятность того, что достанется задача по одной из двух тем, необходимо сложить вероятности получения каждой темы по отдельности: $0.3 + 0.35 = 0.65$
Задание 5761
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А = сумма очков равна 5?
Задание 5762
Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда Барселона, распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда Зенит. Найдите вероятность того, что команды Барселона и Зенит окажутся в одной игровой группе.
Задание 5763
В соревновании по биатлону участвуют спортсмены из 25 стран, одна из которых ― Россия. Всего на старт вышло 60 участников, из которых 6 ― из России. Порядок старта определяется жребием, стартуют спортсмены друг за другом. Какова вероятность того, что десятым стартовал спортсмен из России?
Задание 6056
В соревнованиях по метанию копья участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Испании и 3 спортсмена из Канады. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяются жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России.
Задание 6103
В среднем на 147 исправных карманных фонариков, поступивших в продажу, приходится три неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен
Задание 6151
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 2, но не дойдя до отметки 5.
Задание 6198
На олимпиаде по математике 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 95 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Задание 6245
На экзамене 25 билетов, Гриша не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Задание 6294
На одной тарелке 12 пирожков, 4 из которых с капустой, а на другой тарелке 8 пирожков, 6 из которых с капустой. Из каждой тарелки взяли по одному пирожку. Какова вероятность того, что оба пирожка с капустой?
Задание 6341
Аня выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 11
Задание 6388
Теория для решения задач здесь
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему Внешние углы, равна $0,35.$ Вероятность того, что это вопрос на тему Вписанная окружность, равна $0,2.$ Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
При изготовлении подшипников диаметром $76$ мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на $0,01$ мм, равна $0,983.$ Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем $75,99$ мм или больше чем $76,01$ мм.
В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0,3.$ Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,16.$ Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0,12$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Биатлонист $5$ раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0,85.$ Найдите вероятность того, что биатлонист первые $3$ раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна $0,92.$ Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0,84.$ Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше $12$ задач, равна $0,78.$ Вероятность того, что У. верно решит больше $11$ задач, равна $0,88.$ Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно $12$ задач.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна $0,07.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Вероятностные задачи
Задача 1:
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, а вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:
Пусть $A$ — стекло приобретено на первой фабрике, $B$ — стекло приобретено на второй фабрике, $C$ — стекло оказалось бракованным.
$$P(A) = 0.7, P(B) = 0.3, P(C|A) = 0.01, P(C|B) = 0.03.$$
Тогда вероятность, что случайно купленное стекло окажется бракованным:
$$P(C) = P(A) * P(C|A) + P(B) * P(C|B) = 0.7 * 0.01 + 0.3 * 0.03 = 0.012 + 0.009 = 0.021.$$
Ответ:
Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна $0.021$.
Задача 2:
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение:
Пусть $A$ — яйцо приобретено из первого хозяйства, $B$ — яйцо приобретено из второго хозяйства, $C$ — яйцо является высшей категории.
$$P(A) = 0.5, P(B) = 0.5, P(C|A) = 0.4, P(C|B) = 0.9.$$
Тогда вероятность, что яйцо окажется из первого хозяйства:
$$P(A|C) = \frac{P(A) * P(C|A)}{P(C)} = \frac{0.5 * 0.4}{0.6} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} = 0.(3).$$
Ответ:
Вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства, равна $0.(3)$.
Задача 3:
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0.9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0.3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение:
Пусть $A$ — Джон стреляет из пристрелянного револьвера, $B$ — Джон стреляет из непристрелянного револьвера, $C$ — Джон промахивается.
$$P(A) = \frac{4}{10} = 0.4, P(B) = \frac{6}{10} = 0.6, P(C|A) = 0.1, P(C|B) = 0.7.$$
Тогда вероятность, что Джон промахнётся:
$$P(C) = P(A) * P(C|A) + P(B) * P(C|B) = 0.4 * 0.1 + 0.6 * 0.7 = 0.04 + 0.42 = 0.46.$$
Ответ:
Вероятность того, что Джон промахнётся, равна 0.46.
Задача 4:
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0.3.
Решение:
Пусть $A$ — команда выигрывает первую игру, $B$ — команда выигрывает вторую игру, $C$ — команда набирает необходимое количество очков.
$$P(A) = P(B) = 0.3, P(C) = P(A \cap B) + P(A \cap B) + P(A \cap B) = 0.09 + 0.09 + 0.09 = 0.27.$$
Ответ:
Вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований, равна 0.27.
Задача 5:
Чтобы поступить в институт на специальность Лингвистика, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность Коммерция, нужно набрать не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Решение:
Пусть $A$ — абитуриент поступает на специальность Лингвистика, $B$ — абитуриент поступает на специальность Коммерция, $C$ — абитуриент получает не менее 69 баллов по каждому из предметов.
$$P(A) = 0.6, P(B) = 0.9, P(C|A) = P(C|B) = 0.6.$$
Тогда вероятность, что абитуриент поступит хотя бы на одну из двух специальностей:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0.6 + 0.9 – 0.6 * 0.9 = 1.5 – 0.54 = 0.96.$$
Ответ:
Вероятность того, что абитуриент сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей, равна 0.96.
Задача 6:
На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Решение:
Пусть $A$ — тарелка имеет дефект, $B$ — тарелка не имеет дефект.
$$P(A) = 0.1, P(B) = 0.9, P(B|A) = 0.2.$$
Тогда вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов:
$$P(B) = 1 – P(A) * P(B|A) = 1 – 0.1 * 0.2 = 1 – 0.02 = 0.98.$$
Ответ:
Вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов, равна 0.98.
Задача 7:
В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Решение:
Всего вариантов выбрать 3 монеты из 6:
$$C^3_6 = 20.$$
Количество вариантов выбора обеих двухрублёвых монет:
$$C^2_2 * C^1_4 = 1 * 4 = 4.$$
Таким образом, вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане:
$$P = \frac{4}{20} = 0.2.$$
Ответ:
Вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане, равна 0.2.
Задача 8:
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0.8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа будет отличная погода.
Решение:
Пусть $A$ — погода хорошая, $B$ — погода отличная.
$$P(A) = 0.2, P(B) = 0.8.$$
Тогда вероятность того, что 6 августа будет отличная погода:
$$P(B) = 0.8.$$
Ответ:
Вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода, равна 0.8.
Вероятностные задачи
Паук в лабиринте
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке Вход. Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Вероятность болезни
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0.9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0.01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.
Тест на заболевание
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Артиллерийская стрельба
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0.4, а при каждом последующем — 0.6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.98?
Прогулка по парку
Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.
Игральные кубики
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?
Коллекционирование принцесс
Маша коллекционирует принцессы из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть четыре разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?
Выбор фломастеров
В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два броска? Ответ округлите до сотых.
В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?
Задача 29. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?
В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?
Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».
На диаграмме Эйлера показаны события A и B в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновозможных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите р(В/А) — условную вероятность события B при условии A.
Для подтверждения скидки магазин отправляет покупателю на телефон сообщение с трёхзначным кодом, ровно две из цифр которого совпадают. У Пети разряжен телефон. Какова вероятность того, что он случайно угадает код? Ответ округлите до тысячных.
На рисунке показано дерево некоторого случайного эксперимента. Событию A благоприятствуют элементарные события a, b и c, а событию B благоприятствуют элементарные события b, c и d. Найдите — условную вероятность события A при условии B.
Вы можете пройти Тест
ЕГЭ профильный уровень. №4 Теоремы о вероятностях событий. Задача 1
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Введем два события:
«А = выбор вопроса по теме Вписанная окружность»;
«В = выбор вопроса по теме Параллелограмм».
Два события А и В называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В.
Так как по условию задачи нет вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, то события А и В несовместные. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.
Тогда вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем, равна:
Список вопросов теста
На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,35. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Окружность», равна 0,45. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
Вопрос 2
В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя не найдет приз в своей банке.
Вопрос 3
Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не меньшее 1.
Вопрос 4
На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 3 с мясом, 3 с капустой и 4 с вишней. Саша наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.
Вопрос 5
Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
Вопрос 6
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Вопрос 7
Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.
Вопрос 8
Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется девочкой, равна 0,488. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 532 мальчика. Насколько частота рождения мальчика в 2010 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?
Вопрос 9
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.
Вопрос 10
Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.