7 прототип задания 13 26584 два велосипедиста

Решение задачи о велосипедистах

Два велосипедиста отправились в 88-километровый пробег одновременно. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет равна (x+3) км/ч.

Уравнения и решение

Пусть первый велосипедист прибыл на финиш за t1 часов. Тогда расстояние, которое он проехал, равно 88 км. Расстояние равно произведению скорости на время:

[88 = (x+3) \times t1]

Аналогично, второй велосипедист проехал также 88 км:

[88 = x \times t2]

Из условия задачи следует, что первый велосипедист прибыл на финиш на три часа раньше второго:

[t1 = t2 – 3]

Из первого уравнения можно выразить t1:

[t1 = \frac{88}{x+3}]

Подставим это выражение в третье уравнение:

[\frac{88}{x+3} = t2 – 3]

Выразим t2 из этого уравнения:

[t2 = \frac{88}{x+3} + 3]

Теперь подставим оба выражения для t1 и t2 во второе уравнение:

[88 = x \times \left( \frac{88}{x+3} + 3 \right)]

Раскроем скобки:

[88 = \frac{88x}{x+3} + 3x]

Умножим обе части уравнения на (x+3):

[88(x+3) = 88x + 3x(x+3)]

Раскроем скобки и упростим:

[88x + 264 = 88x + 3x^2 + 9x]

Сократим и перенесем все члены в одну сторону:

[3x^2 – 175x – 264 = 0]

Решение уравнения

Решим уравнение квадратного типа:

[x_{1,2} = \frac{175 \pm \sqrt{175^2 + 4 \times 3 \times 264}}{6}]

Получаем два корня:

[x_1 \approx 32.5 \text{ км/ч}] и [x_2 \approx -19.1 \text{ км/ч}]

Отбросим отрицательный корень и получаем ответ:

[x_2 \approx 32.5 \text{ км/ч}]

Итак, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, составляет примерно 32.5 км/ч.

Решение задач по математике

Прототип задания 13 №26594

Дано:

• Первый рабочий делает 475 деталей за 6 часов меньше, чем второй рабочий делает 550 деталей.
• Первый рабочий делает на 3 детали больше, чем второй за час.

Решение:

1. Пусть x – количество деталей, которое делает первый рабочий в час.
2. Тогда (x + 3) – количество деталей, которое делает второй рабочий в час.
3. У первого рабочего: 475 деталей / x часов = 550 деталей / (x + 3) часов
4. Решая уравнение, получаем x = 25.
5. Итак, первый рабочий делает 25 деталей в час.

Прототип задания 13 №26595

Дано:

• Первый рабочий делает 99 деталей за 2 часа меньше, чем второй рабочий делает 110 деталей.
• Первый рабочий делает на 1 деталь больше, чем второй за час.

Решение:

1. Пусть y – количество деталей, которое делает второй рабочий в час.
2. Тогда (y – 1) – количество деталей, которое делает первый рабочий в час.
3. У второго рабочего: 99 деталей / (y – 1) часов = 110 деталей / y часов
4. Решая уравнение, получаем y = 11.
5. Итак, второй рабочий делает 11 деталей в час.

Прототип задания 13 №26596

Дано:

• Два рабочих вместе могут выполнить работу за 12 дней.
• Первый рабочий за 2 дня делает такую же часть работы, как второй за 3 дня.

Решение:

1. Пусть m – работа, которую делает первый рабочий за 1 день, и n – работа, которую делает второй рабочий за 1 день.
2. Из условия: 1/m + 1/n = 1/12
3. Также из условия: 2m = 3n
4. Решая систему уравнений, получаем m = 3, n = 2.
5. Итак, первый рабочий делает 1/3 работы за день.

Прототип задания 13 №26597

Дано:

• Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая.
• Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая.

Решение:

1. Пусть z – количество литров воды, которое пропускает первая труба в минуту.
2. Тогда z + 1 – количество литров воды, которое пропускает вторая труба в минуту.
3. У первой трубы: 110 литров / (z + 1) минут = 110 литров / z минут
4. Решая уравнение, получаем z = 10.
5. Итак, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

Прототип задания 13 №26598

Дано:

• Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая.
• Резервуар объемом 110 литров вторая труба заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая.

Решение:

1. Пусть w – количество литров воды, которое пропускает вторая труба в минуту.
2. Тогда w – 1 – количество литров воды, которое пропускает первая труба в минуту.
3. У второй трубы: 110 литров / w минут = 110 литров / (w – 1) минут
4. Решая уравнение, получаем w = 11.
5. Итак, вторая труба пропускает 11 литров воды в минуту.

Прототип задания 13 №26599

Дано:

• Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая.
• Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая резервуар объемом 99 литров.

Решение:

1. Пусть p – количество литров воды, которое пропускает первая труба в минуту.
2. Тогда p + 1 – количество литров воды, которое пропускает вторая труба в минуту.
3. У первой трубы: 110 литров / (p + 2) минут = 99 литров / p минут
4. Решая уравнение, получаем p = 10.
5. Итак, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

Прототип задания 13 №26600

Дано:

• Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая.
• Резервуар объемом 375 литров вторая труба заполняет на 10 минут быстрее, чем первая резервуар объемом 500 литров.

Решение:

1. Пусть q – количество литров воды, которое пропускает вторая труба в минуту.
2. Тогда q + 5 – количество литров воды, которое пропускает первая труба в минуту.
3. У второй трубы: 375 литров / q минут = 500 литров / (q + 10) минут
4. Решая уравнение, получаем q = 25.
5. Итак, вторая труба пропускает 25 литров воды в минуту.

Прототип задания 13 №26610

Данные:

• Баржа из пункта А в пункт В, который находится в 15 км от А, вышла в 10:00.
• Провела в пункте В 1 час 20 минут, вернулась на 16:00.
• Скорость баржи – 7 км/ч.

Решение:

1. Пусть v – скорость течения реки.
2. Первый отрезок: 15 км / (7 км/ч + v) = 80 минут.
3. Второй отрезок: 15 км / (7 км/ч – v) = 340 минут.
4. Решая систему уравнений, получаем v = 2 км/ч.
5. Итак, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Прототип задания 13 №27482

Данные:

• Расстояние между пристанями А и В – 390 км.
• Баржа отправилась из А в В и обратно с остановкой в 9 часов.
• Время в обе стороны одинаково.

Решение:

1. Пусть u – скорость баржи на пути из А в В, v – скорость баржи на обратном пути.
2. Условие: 390 км / u = 390 км / v.
3. Также учитываем время остановки: 390 км / u + 9 часов = 390 км / v.
4. Решая систему уравнений, получаем u = 30 км/ч.
5. Итак, скорость баржи на пути из А в В составляет 30 км/ч.

Прототип задания 13 №99565

Данные:

• В 2008 году в городском квартале жило 40000 человек.
• В 2009 году число жителей выросло на 8%, в 2010 году – на 9%.

Решение:

1. Первоначальное количество жителей в 2008 году – 40000.
2. В 2009 году: 40000 + 8% = 43200 человек.
3. В 2010 году: 43200 + 9% = 47088 человек.
4. Итак, в 2010 году в квартале проживает 47088 человек.

Source

Вариант №7 ЕГЭ (профиль) математика ФИПИ

Тренировочный вариант №7 из сборника вариантов ЕГЭ по математике Ященко (профиль) 2024 с ответами. Здесь вы можете прорешать вариант КИМ ЕГЭ по математике (профиль) из сборника вариантов ФИПИ.

Первая часть (задания 1-12) выполняется с автоматической проверкой, вторую часть необходимо будет проверить по ключам самостоятельно (пока в разработке).

---

1. Задание 1:
   В треугольнике АВС средняя линия DE параллельна стороне АВ. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь трапеции ABED равна 36.

2. Задание 2:
   Даны векторы (2;−5) и (5; 7). Найдите скалярное произведение векторов 0,6 и 1,4.

3. Задание 3:
   Площадь полной поверхности конуса равна 66. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

4. Задание 4:
   В сборнике билетов по математике всего 60 билетов, в 9 их них встречается вопрос по теме Производная. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме Производная.

5. Задание 5:
   В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по-прежнему будет 10 белых и 15 черных кубиков.

6. Задание 6:
   Найдите корень уравнения 7.

7. Задание 7:
   Найдите значение выражения log0,25 64.

8. Задание 8:
   Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому 𝑃 = 𝜎𝑆𝑇4, где 𝑃 — мощность излучения звезды (в ваттах),— постоянная, 𝑆 — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а 𝑇 — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна м2, а мощность ее излучения равна 1,824 · 1026 Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

9. Задание 9:
   Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, который прибыл к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

10. Задание 10:
    На рисунке изображены графики функций которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.

11. Задание 11:
    Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 3cos𝑥 + 8𝑥 − 5 на отрезке

---

Тренажер задания 10 профильного ЕГЭ по математике (с ответами)

1 / 10
От пристани 𝐴 к пристани 𝐵, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт 𝐵 оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

2 / 10
На изготовление 312 деталей первый рабочий тратит на 11 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

3 / 10
Два велосипедиста одновременно отправились в 110-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, который прибыл к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

4 / 10
Расстояние между пристанями 𝐴 и 𝐵 равно 144 км. Из 𝐴 в 𝐵 по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт 𝐵, тотчас повернула обратно и возвратилась в 𝐴. К этому времени плот проплыл 18 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

5 / 10
Заказ на изготовление 238 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?

6 / 10
Боря и Ваня могут покрасить забор за 10 часов. Ваня и Гриша могут покрасить тот же забор за 15 часов, а Гриша и Боря — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

7 / 10
Баржа в 10:00 вышла из пункта 𝐴 в пункт 𝐵, расположенный в 15 км от 𝐴. Пробыв 45 минут в пункте 𝐵, баржа отправилась назад и вернулась в пункт 𝐴 в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

8 / 10
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% никеля, второй — 14% никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% никеля. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

9 / 10
Катер в 8:40 вышел из пункта 𝐴 в пункт 𝐵, расположенный в 48 км от 𝐴. Пробыв 40 минут в пункте 𝐵, катер отправился назад и вернулся в пункт 𝐴 в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

10 / 10
Имеется два сплава. Первый содержит 50% никеля, второй — 15% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 175 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

1. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 621 литр она заполняет на 9 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 486 литров?

2. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 120 литров она заполняет на 2 минуты быстрее, чем первая труба?

3. На изготовление 312 деталей первый рабочий тратит на 11 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

4. На изготовление 40 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

5. От пристани 𝐴 к пристани 𝐵, расстояние между которыми равно 240 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним, со скоростью на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт 𝐵 оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

6. От пристани 𝐴 к пристани 𝐵, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт 𝐵 оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

7. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, который прибыл к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

8. Два велосипедиста одновременно отправились в 110-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, который прибыл к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

9. Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 76% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 82% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

10. Имеется два сосуда. Первый содержит 50 кг, а второй — 10 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

11. Моторная лодка прошла против течения реки 96 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Моторная лодка прошла против течения реки 247 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

13. Заказ на изготовление 238 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?

14. Заказ на изготовление 216 деталей первый рабочий выполняет на 6 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 6 деталей больше второго?

15. Расстояние между пристанями 𝐴 и 𝐵 равно 144 км. Из 𝐴 в 𝐵 по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт 𝐵, тотчас повернула обратно и возвратилась в 𝐴. К этому времени плот проплыл 18 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

16. Расстояние между пристанями 𝐴 и 𝐵 равно 140 км. Из 𝐴 в 𝐵 по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт 𝐵, тотчас повернула обратно и возвратилась в 𝐴. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

17. Смешав 8-процентный и 26-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 16-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 20-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 8-процентного раствора использовали для получения смеси?

18. Смешав 41-процентный и 63-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 35-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 41-процентного раствора использовали для получения смеси?

19. Первый насос наполняет бак за 35 минут, второй — за 1 час 24 минуты, а третий — за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

20. Боря и Ваня могут покрасить забор за 10 часов. Ваня и Гриша могут покрасить тот же забор за 15 часов, а Гриша и Боря — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

21. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города 𝐴 в город 𝐵, расстояние между которыми равно 105 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из 𝐴 в 𝐵. Найдите скорость велосипедиста на пути из 𝐵 в 𝐴. Ответ дайте в км/ч.

22. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города 𝐴 в город 𝐵, расстояние между которыми равно 135 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 9 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из 𝐴 в 𝐵. Найдите скорость велосипедиста на пути из 𝐴 в 𝐵. Ответ дайте в км/ч.

23. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

24. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% никеля, второй — 14% никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% никеля. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

25. Баржа в 10:00 вышла из пункта 𝐴 в пункт 𝐵, расположенный в 15 км от 𝐴. Пробыв 45 минут в пункте 𝐵, баржа отправилась назад и вернулась в пункт 𝐴 в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

26. Лодка в 5:00 вышла из пункта 𝐴 в пункт 𝐵, расположенный в 30 км от 𝐴. Пробыв 2 часа в пункте 𝐵, лодка отправилась назад и вернулась в пункт 𝐴 в 23:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.

27. Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 4 минуты, второй насос перекачивает тот же объем воды за 6 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 60 литров воды?

28. Первый садовый насос перекачивает 10 литров воды за 5 минут, второй насос перекачивает тот же объем воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 72 литра воды?

29. Расстояние между городами 𝐴 и 𝐵 равно 180 км. Из города 𝐴 в город 𝐵 выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе 𝐶 и повернул обратно. Когда он вернулся в 𝐴, автомобиль прибыл в 𝐵. Найдите расстояние от 𝐴 до 𝐶. Ответ дайте в километрах.

30. Расстояние между городами 𝐴 и 𝐵 равно 84 км. Из города 𝐴 в город 𝐵 выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 65 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе 𝐶 и повернул обратно. Когда он вернулся в 𝐴, автомобиль прибыл в 𝐵. Найдите расстояние от 𝐴 до 𝐶. Ответ дайте в километрах.

31. Катер в 8:40 вышел из пункта 𝐴 в пункт 𝐵, расположенный в 48 км от 𝐴. Пробыв 40 минут в пункте 𝐵, катер отправился назад и вернулся в пункт 𝐴 в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

32. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 416 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 21 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 50 часов. Ответ дайте в км/ч.

33. Имеется два сплава. Первый содержит 50% никеля, второй — 15% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 175 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

34. Смешали 3 кг 24-процентного раствора, 4 кг 32-процентного раствора и некоторое количество 48-процентного раствора одного и того же вещества. Сколько килограммов 48-процентного раствора использовали, если в результате получили 40-процентный раствор вещества?

35. Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 18 часов 40 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 40 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

36. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 35 минут, второй и третий за 40 минут, а первый и третий — за 56 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?