Применение прямоугольников в орнаментах
Благодаря своей симметрии, прямоугольники широко применяются в орнаментах, мозаиках и паркетах.
Теорема о сумме углов четырёхугольника
Согласно теореме о сумме углов многоугольника, сумма углов четырёхугольника без самопересечений равна 360°.
Определение длины и ширины прямоугольника
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.
Некоторые симметричные четырёхугольники
На рисунке показаны некоторые симметричные четырёхугольники, их переход друг в друга, а также дуальные к ним. Обозначения на рисунке:
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 21 января 2024 года; проверки требует 1 правка.
Прямоугольник 5 на 4
В евклидовой геометрии, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямыми, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°.
В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников в указанном приведённым определением смысле не существует, однако можно определить их обобщения.
Внеописанный четырёхугольник для окружности
Внеописанный четырёхугольник ABCD и его вневписанная окружность.
Внеописанный четырёхугольник для параболы
Седловидный прямоугольник имеет 4 непланарных вершины. В этом примере показаны 4 синих края прямоугольника и две зеленые диагонали, каждая из которых является диагональю прямоугольных граней.
Геометрия на сфере, в эллиптической и гиперболической плоскостях
Сферическая геометрия: Сферический прямоугольник представляет собой фигуру, чьи четыре ребра большой окружности дуги, которые встречаются под равными углами больше 90°. Противоположные дуги равны по длине.
Эллиптическая геометрия: Эллиптический прямоугольник представляет собой фигуру в эллиптической плоскости, четыре ребра эллиптические дуги, которые встречаются под равными углами больше 90°. Противоположные дуги равны по длине.
Гиперболическая геометрия: Гиперболический прямоугольник представляет собой фигуру в гиперболической плоскости, четыре ребра гиперболические дуги, которые встречаются под равными углами (менее 90°). Противоположные дуги равны по длине.
Замечание: Первая и вторая средние линии четырёхугольника — отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, где a, b, c, d — длины сторон.
Формула для вписанных четырёхугольников: p = (a + b + c + d) / 2.
Формула для диагоналей: e = sqrt((a^2+b^2 + 2abcos(α)) и f = sqrt((c^2+d^2 – 2cdcos(β)).
Вписанные четырёхугольники подчиняются формуле Брахмагупты: S = sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)), где S — площадь четырёхугольника.
Соотношения сторон в четырехугольниках
Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счёт усреднения исходных измерений.
Неравенство сторон и диагоналей
Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон. То есть, в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.
Неравенство Птолемея
Для сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника выполнено неравенство Птолемея, и равенство достигается только в случае, если четырёхугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.
Соотношения между сторонами и диагоналями четырёхугольника
Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением, которое можно представить в виде определителя.
Этот определитель выражает квадрат объёма тетраэдра через длины его рёбер. Длины рёбер могут представлять стороны или диагонали четырёхугольника.
Соотношения Бретшнайдера
Соотношение между сторонами и диагоналями простого четырёхугольника.
Особенности прямоугольников
Прямоугольник – параллелограмм, у которого углы равны 90 градусов. Диагонали прямоугольника равны между собой.
Доказательство равенства диагоналей
Рассмотрим треугольники ABC и DCB. Они равны по двум катетам, следовательно, диагонали, которые являются гипотенузами в данных треугольниках – равны.
Возможность описать окружность
Прямоугольник всегда можно описать окружность. Сумма противоположных углов равна 180 градусов, и равные отрезки между точками означают равноудаленность от центра, что позволяет провести окружность через четыре точки.
Определение квадрата
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
| Фигура | Все стороны равны | Все углы прямые |
|---|---|---|
| Прямоугольник | Нет | Да |
| Ромб | Да | Нет |
| Квадрат | Да | Да |
Прямоугольник
Прямоугольник – это геометрическая фигура, которая имеет четыре стороны и четыре угла. Все углы прямоугольника равны 90 градусам, что делает его особенно полезным и удобным для множества задач.
Прямоугольники широко используются в различных областях, таких как архитектура, инженерия, строительство и математика. Они являются основой для понимания более сложных фигур и имеют множество применений в повседневной жизни.
Ромб
Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны между собой. Он также называется ромбус.
Основные свойства ромба:
- Все стороны равны.
- Диагонали ромба перпендикулярны.
- Углы при основании ромба равны друг другу.
Ромбы также имеют множество применений в геометрии и инженерии. Они используются для создания устойчивых и симметричных конструкций, а также в дизайне и искусстве.
Квадрат
Квадрат – это особый вид прямоугольника, у которого все стороны равны друг другу и все углы прямые.
Основные свойства квадрата:
- Все стороны равны.
- Все углы прямые.
- Диагонали квадрата равны и перпендикулярны друг другу.
Квадраты широко используются в геометрии и математике. Они являются основой для изучения других фигур и имеют множество применений в различных областях, включая архитектуру, инженерию и компьютерную графику.
Заключение
В данной статье мы рассмотрели основные свойства прямоугольников, ромбов и квадратов. Каждая из этих фигур имеет свои уникальные характеристики, которые делают их полезными для различных областей науки и техники.
Изучение геометрических фигур помогает понять их взаимосвязь друг с другом и использовать их для решения разнообразных задач. Надеемся, что данная информация была полезной и понятной для вас.
Геометрические фигуры: прямоугольник, ромб и квадрат
Прямоугольник, ромб и квадрат – это геометрические фигуры, которые имеют свои особенности и свойства.
Прямоугольник
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Ромб
Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат
Квадрат – это особый вид прямоугольника и ромба, у которого все стороны равны и все углы прямые.
Знание этих фигур и их свойств поможет вам в решении различных задач и применении математических концепций.
Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника
Прямоугольник можно рассматривать как:
Параллелограмм, если выполняется любое из условий для прямоугольника.
Параллелограмм является прямоугольником.
Вид квадрата, когда все углы и стороны равны.
Каждый квадрат – прямоугольник, но не каждый прямоугольник – квадрат.
Площадь вписанно-описанного четырёхугольника
Разбиение сторон касательного четырехугольника точками касания с окружностью.
Частные случаи четырёхугольников
- Первая теорема Птолемея
- Вторая теорема Птолемея
Пары смежных сторон числителя а и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e.
Формулы для длин диагоналей
Японская теорема, теорема Микеля-Штейнера для четырехугольника.
Вписанные четырёхугольники
- С перпендикулярными диагоналями.
- С специальными точками.
- Со специальными прямыми линиями.
Специальные точки четырёхугольника
- Точка Понселе.
- Точка Микеля.
Специальные прямые линии четырёхугольника
- Прямая Ньютона.
- Ортополярные линии.
Прямоугольник – это параллелограмм, все углы которого равны, а значит равны по 90⁰.
Для получения более подробной информации и формул смотрите изображение ниже.
Можно сказать, что прямоугольник – это частный случай параллелограмма, поэтому он будет обладать всеми свойствами и признаками параллелограмма, но при этом имеет свои:
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма, а также:
Диагонали прямоугольника равны
Четырехугольник является прямоугольником, если обладает хотя бы одним свойством параллелограмма и одним из свойств прямоугольника:
1. Один из углов параллелограмма равен 90⁰ (тогда все остальные также равны 90⁰):
2. Диагонали параллелограмма равны:
Площадь прямоугольника находится также, как площадь параллелограмма, но из-за необычных свойств, формулы нахождения его площади можно упростить.
1. Через стороны
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (т.к. они являются высотами друг другу).
(S = ab)
2. Через диагональ и угол между диагоналями
Площадь прямоугольника равна половине квадрата его диагонали на синус угла между диагоналями.
Свойства диагоналей некоторых четырёхугольников
Четырёхугольник Деление диагоналей пополам в точке их пересечения Перпендикулярность диагоналей Равенство длин диагоналей Деление углов пополам диагоналями
Трапеция Нет См. замечание 1 Нет Нет
Равнобедренная трапеция Нет См. замечание 1 Да Хотя бы двух противоположных углов
Дельтоид См. замечание 2 Да См. замечание 2 См. замечание 2
Замечание 1: Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеций не имеют перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечное число (неподобных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые действительно имеют перпендикулярные диагонали и не похожи на какой-либо другой названный четырёхугольник.Замечание 2: У дельтоида одна диагональ делит пополам другую. Другая же диагональ делит его противоположные углы пополам. Наиболее общий дельтоид имеет неодинаковые диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) дельтоидов, у которых диагонали равны по длине (и дельтоиды не являются каким-либо другим из названных четырёхугольников).
Четырёхугольники с перпендикулярными сторонами
описанный четырёхугольник ортодиагональный четырёхугольник
– ортодиагональный четырехугольник, и прямоугольники, вписанные в , и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.
– ортодиагональный четырехугольник. и точки Паскаля, формируемые с помощью окружности , – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника вписанного в . и точки Паскаля, формируемые с помощью окружности , – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника вписанного в .