Инамика материальной точки
Динамика – изучает движение тел, учитывая причины, вызывающие или изменяющие это движение.
Законы динамики основаны на трех законах Ньютона, которые были сформулированы для материальных точек.
Первый закон Ньютона
Первый закон динамики, также известный как закон инерции, утверждает, что тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие силы.
Торой закон Ньютона
Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него, и обратно пропорционально его массе.
Ретий закон Ньютона
Третий закон Ньютона гласит, что действия двух материальных точек друг на друга равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой.
Акон всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения был сформулирован Ньютоном и утверждает, что между двумя материальными телами действует сила притяжения, пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.
Гравитационные силы и второй закон Ньютона: основные принципы
Гравитационные силы всегда возникают взаимодействии между двумя телами и являются формой притяжения. Эти силы не зависят от среды, в которой находятся тела. Закон всемирного тяготения применим к телам, рассматриваемым как материальные точки или сферы.
Массы и гравитационные массы
Массы, участвующие в уравнении гравитационной силы, называются гравитационными массами. Это подчеркивает дифференциацию масс в контексте закона тяготения и второго закона Ньютона.
Если сравнить второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения, то гравитационная сила приводит к ускорению тела массы m на величину:
[F = ma = \frac{GMm}{r^2}]Ускорение свободного падения
На поверхности Земли ускорение свободного падения равно 9.81 м/с². Это ускорение является результатом гравитационной силы близко к поверхности любого небесного тела.
Сила тяжести и вес тела
Сила тяжести – это сила гравитации, действующая на тело массы m со стороны Земли. Если тело поднимается на высоту h над поверхностью Земли, сила тяжести уменьшается, что влияет на вес тела.
Второй закон Ньютона в классической механике
Второй закон Ньютона формулирует, что ускорение материальной точки пропорционально силе, действующей на неё, и обратно пропорционально её массе. Этот закон применим для описания движения центра масс механической системы.
Область применения закона
Помимо материальной точки, уравнение второго закона Ньютона применимо для описания движения центра масс механической системы.
Логическая роль второго закона Ньютона
Второй закон Ньютона играет ключевую роль в анализе и описании механического движения, позволяя предсказать поведение объектов под влиянием внешних сил.
из уравнений Гамильтона следует, что изменение функции Гамильтона по времени равно среднему значению силы, действующей на систему:
Таким образом, второй закон Ньютона можно обобщить с использованием уравнений Лагранжа и Гамильтона, что делает его применимым не только в классической механике, но и в более общей форме.
| Система координат | Запись закона Ньютона |
|---|---|
| Декартовая | |
| Цилиндрическая | |
| Сферическая |
Эти обобщения позволяют более удобно рассматривать различные типы движения и систем координат, что повышает гибкость и применимость закона Ньютона в различных физических задачах.
Таким образом, закон Ньютона остается одним из фундаментальных принципов классической механики, который нашел свое продолжение и развитие в более современных формах описания физических явлений.
Гравитационный потенциал в теории Ньютона
В теории Ньютона гравитационное поле является потенциальным, что позволяет использовать гравитационный потенциал для его описания. Если поле создается точечной массой M, то гравитационный потенциал определяется формулой:
[ \phi = -\frac{GM}{r} ]Где:
- ( \phi ) – гравитационный потенциал
- G – постоянная гравитации Ньютона
- M – масса точечного источника
- r – расстояние от источника до точки, в которой определяется потенциал
Потенциал на бесконечности, как обычно, принимается равным нулю.
Уравнение Пуассона в теории Ньютона
В общем случае, когда плотность вещества распределена произвольно, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:
[ \Delta \phi = 4 \pi G \rho ]Где:
- ( \Delta ) – оператор Лапласа
- ( \rho ) – плотность массы
Уравнение Пуассона важно для описания гравитационного поля в теории Ньютона и позволяет учитывать не только точечные источники, но и произвольное распределение плотности вещества в пространстве.
Здесь — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, — радиус-вектор элемента объёма c плотностью вещества , а интегрирование охватывает все такие элементы; — произвольная постоянная; чаще всего ее принимают равной нулю, как это сделано в формуле выше для одного точечного источника.
Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой , связана с потенциалом формулой:
Если поле создаётся точечной массой , расположенной в начале координат, то на точку массой действует сила
Величина этой силы зависит только от расстояния между массами, но не от направления радиус-вектора (см. формулу в преамбуле).
Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.
Аналогия с электростатикой
Среди теорем и методов, одинаково имеющих силу (и место для применения) в ньютоновской теории гравитации и электростатике, можно назвать теорему Гаусса, теорему Ирншоу, метод изображений, метод конформных отображений, полностью теорию потенциала, не говоря уже о принципе суперпозиции и других разного рода математических принципах и приёмах.
Ньютоновская гравитация гораздо более точно соответствует эксперименту, чем электростатика — она реже даёт существенную ошибку, и величина этой ошибки обычно гораздо меньше. Также можно заметить, что более общие теории для гравитации и электростатики (это соответственно ОТО и электродинамика) совершенно различны.
Точность закона всемирного тяготения Ньютона
(См. также Ньютон, Исаак#Всемирное тяготение и астрономия).
Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот. Закон Ньютона (гравитация)
В своём основном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) Исаак Ньютон вывел закон тяготения, основываясь на эмпирических законах Кеплера, известных к тому времени. Он показал, что:
Кроме того, Ньютон достиг существенного продвижения в таких практически значимых темах, связанных с тяготением, как проблема фигуры Земли, теория приливов, предварение равноденствий.
Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической. Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.
Теория Ньютона имела ряд существенных отличий от гипотез предшественников. Ньютон не просто опубликовал предполагаемую формулу закона всемирного тяготения, но фактически предложил целостную математическую модель:
В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел и тем самым создаёт основы небесной механики. До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить. Последующие исследователи достигли также существенного прогресса в небесной механике, и «астрономическая точность» расчётов вошла в поговорку.
Недостатки классической теории тяготения
В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главные из них следующие.
В течение XVIII—XIX веков делались неоднократные попытки модифицировать или обобщить классическую теорию тяготения — физики изменяли формулу ньютоновского закона, объясняли механизм тяготения участием мирового эфира. По мере осознания принципов теории относительности начались попытки построить релятивистское обобщение теории гравитации. По-видимому, первую чёткую формулировку проблемы опубликовал Анри Пуанкаре в 1905 году:
Релятивистская теория тяготения, развитая Пуанкаре, не привлекла внимания физиков, хотя в принципиальном отношении она была значительным шагом вперед в развитии гравитационной проблемы. Причины этого невнимания, с нашей точки зрения, таковы:
Далее наброски релятивистской теории тяготения опубликовали в начале 1910-х годов Макс Абрахам, Гуннар Нордстрём и Альберт Эйнштейн. Все они до создания ОТО не соответствовали данным наблюдений.
Общая теория относительности
На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году — созданием общей теории относительности Эйнштейна, в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона, в полном согласии с принципом соответствия, оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:
В слабых стационарных гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы (гравитационный потенциал). Для доказательства покажем, что скалярный гравитационный потенциал в слабых стационарных гравитационных полях удовлетворяет уравнению Пуассона
Известно, что в этом случае гравитационный потенциал имеет вид:
Найдём компоненту тензора энергии-импульса из уравнений гравитационного поля общей теории относительности:
где — тензор кривизны. Для мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса . Пренебрегая величинами порядка , можно положить все компоненты , кроме , равными нулю. Компонента равна и, следовательно . Таким образом, уравнения гравитационного поля принимают вид . Вследствие формулы