Многоугольники
Многоугольник – это геометрическая фигура, образованная ограниченной ломаной. Каждый многоугольник имеет вершины, стороны, внутренние и внешние углы.
n – угольник – это многоугольник, в котором n вершин, n сторон и n углов. При этом 3.
Многоугольник с наименьшим количеством углов, вершин и сторон является треугольник.
Каждый многоугольник характеризуется площадью и периметром.
Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.
Площадь для различных n-угольников рассчитывается по-разному, в зависимости от n.
Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который полностью лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей между его соседними вершинами. Другими словами, у выпуклого многоугольника любой внутренний угол меньше 180⁰.
Диагональ
Диагональ – это отрезок между двумя не соседними вершинами многоугольника.
Количество диагоналей в n-угольнике:
Таким образом треугольники не имеют диагоналей, т.к. каждая вершина является соседней всем остальным.
Правильный многоугольник
Правильный многоугольник – это многоугольник, стороны и углы которых равны между собой.
Каждый угол правильного многоугольника будет равен:
Так же диагонали правильного многоугольника равны.
Периметр правильного n-угольника:
\(P = a \bullet n\)
Где a – длина его стороны.
Примерами правильных многоугольников служат правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д.
УГЛЫ, ВЫСОТЫ И ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ:
1. Правильный треугольник:
- Все углы правильного треугольника равны по 60⁰
- Высота правильного треугольника равна:
- Тогда площадь правильного треугольника через его высоту:
2. Правильный четырёхугольник:
- Все углы квадрата равны по 90⁰
- Высота квадрата (правильного четырёхугольника) равна его стороне:
- Тогда его площадь равна:
3. Правильный шестиугольник:
- Все углы правильного шестиугольника равны по 120⁰
- Правильный шестиугольник можно представить как шесть одинаковых правильных треугольников. Тогда высота шестиугольника будет равна двум высотам этого треугольника:
- Тогда площадь правильного шестиугольника равна площади шести правильных треугольников, из которых он состоит:
Свойства прямых и плоскостей в пространстве
У каждого правильного многоугольника совпадают центры вписанной и описанной окружностей:
Параллельность в пространстве
Параллельные прямые
- Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
- Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
- Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.
Параллельность прямой и плоскости
- Если прямая a, не лежащая в плоскости α, параллельна некоторой прямой b, которая лежит в плоскости α, то прямая a параллельна плоскости α.
- Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Перпендикулярность в пространстве
Перпендикулярные прямые
- Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
- Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
- Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.
Теорема о трех перпендикулярах
- Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
- Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные:
- Перпендикуляр короче наклонных.
- Равные наклонные имеют равные проекции на плоскости.
- Большей наклонной соответствует большая проекция на плоскости.
Скрещивающиеся прямые
Скрещивание прямых в пространстве
- Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
- Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
- Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
- Угол между скрещивающимися прямыми – это острый угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Удобство и важность SEO-копирайтинга
SEO-копирайтинг – это процесс создания контента для веб-сайтов, который оптимизирован с учетом поисковых систем. Правильное использование ключевых слов и фраз в тексте помогает улучшить рейтинг сайта в поисковых системах и привлечь больше потенциальных клиентов.
Преимущества SEO-копирайтинга
- Увеличение посещаемости веб-сайта за счет высоких позиций в поисковых результатах.
- Привлечение целевой аудитории и увеличение конверсии.
- Создание уникального и качественного контента для пользователей.
- Улучшение пользовательского опыта и повышение доверия к бренду.
- Конкурентное преимущество перед другими сайтами в поисковых системах.
Важность SEO-копирайтинга для бизнеса
SEO-копирайтинг играет ключевую роль в привлечении оптимального трафика на веб-сайт, что способствует росту продаж и увеличению прибыли. Без оптимизированного контента, шансы сайта оказаться на первых позициях в поисковых результатах крайне малы, что ведет к упущенным возможностям для привлечения клиентов.
Поэтому вложения в SEO-копирайтинг становятся все более важными для успешного онлайн-бизнеса. Создание качественного и оптимизированного контента поможет увеличить видимость сайта в поисковых системах, а также улучшит пользовательский опыт и повысит доверие к бренду.
Повышение эффективности SEO-копирайтинга требует комплексного подхода, включая анализ ключевых слов, создание уникального контента, оптимизацию метатегов и URL-адресов, а также учет всех изменений алгоритмов поисковых систем.
Многогранники
Введение
Для изучения многогранников в математике вводятся общие обозначения.
Прямоугольный параллелепипед
- Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
- Противоположные грани попарно равны и параллельны.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Обозначения:
- $V$ – объем прямоугольного параллелепипеда
- $a, b, c$ – длина, ширина и высота соответственно
Формулы:
- Объем $V = a \cdot b \cdot c$
- Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a+b) \cdot c$
- Площадь всех граней $S_{п.п} = 2(ab + bc + ac)$
Эти формулы позволяют рассчитать объем и площадь прямоугольного параллелепипеда.
| Куб | 1. Противоположные грани попарно параллельны. 2. Все двугранные углы куба – прямые. 3. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра.$B_1 D=АВ√3$ 4. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.$DС1=DC√2$ | Пусть $а$ – длина ребра куба, $d$ – диагональ куба, тогда справедливы формулы:$V=a^3={d^3}/{3√3}$.$S_{п.п}=6а^2=2d^2$$R={a√3}/{2}$, где $R$ – радиус сферы, описанной около куба.$r={a}/{2}$, где $r$ – радиус сферы, вписанной в куб. |
| Призма | Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. В правильной четырехугольной призме диагонали точкой пересечения делятся пополам. | $S_{бок}=P_{осн}·h$$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$$V=S_{осн}·h$ |
| Пирамида | У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник). Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками. | Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.$h_a$ – высота боковой грани (апофема)$S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$$V={1}/{3} S_{осн}·h$ |
| Усеченная пирамида | Усеченной пирамидой называется многогранник, заключенный между пирамидой и секущей плоскостью, параллельной. Правильная усечённая пирамида получается при сечении правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. У правильной усеченной пирамиды апофемы равны | $V={h(F+f+√{Ff})}/{3}$Где $F,f$ – площади оснований;$h$ – высота (расстояние между основаниями);Для правильной ус. пирамиды $S_{бок}={(P+p)·a}/{2}$, где $P$ и $p$ – периметры оснований; $а$ – апофема. |
| Цилиндр | Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра. Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра – образующими цилиндра. Если цилиндр вписан в призму, то ее основания – равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра. Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра. $R_{сферы}=R_{цилиндра}={h_{цилиндра}}/{2}$ | $S_{бок.пов.}=2πR·h$$S_{полной.пов.}=2πR(R+h)$$V=πR^2·h$ |
| Конус | Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса. Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$. Если радиус или диаметр конуса увеличить в $n$ раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз. Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз. | $S_{бок.пов.}=πR·l$$S_{полной.пов.}=πR^2+πR·l=πR(R+l)$$V={πR^2·h}/{3}$ |
| Усеченный конус | Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. | $S_{бок}=πl(R+r)$$S_{п.п.}=π(R^2+r^2+l(R+r))$$V={πH(R^2+r^2+Rr)}/{3}$Где $R$ и $r$ – радиусы оснований; $Н$ – высота усеченного конуса. |
| Сфера, шар | Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара. Если радиус или диаметр шара увеличить в $n$ раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз. | $S_{п.п}=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ – радиус сферы, $d$ – диаметр сферы$V={4π·R^3}/{3}={π·d^3}/{6}$, где $R$ – радиус шара, $d$ – диаметр шара. |
Тетраэдр
Радиус описанной сферы тетраэдра.
Вокруг тетраэдра можно описать сферу, радиус которой находим по формуле, где $R$ – радиус описанной сферы, $a$ – ребро тетраэдра.
Радиус вписанной в тетраэдр сферы.
В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже.
Где $r$ – радиус вписанной в тетраэдр сферы,
$a$ – ребро тетраэдра.
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
Найти объем каждого параллелепипеда.
Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
– Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
– Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
– Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.
Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| —— | ———- | ———- | ———- |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей
$АВ=a_n$ – сторона правильного многоугольника
$R$ – радиус описанной окружности
$r$ – радиус вписанной окружности
$n$ – количество сторон и углов
Формула нахождения градусной меры угла в правильном многоугольнике:
Формулы площадей треугольников и многоугольников, которые могут находиться в основании многогранников
В основании лежит треугольник
3. $S=p·r$, где $r$ – радиус вписанной окружности
В основании лежит четырехугольник
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.
Ромб
$S=a^2·sinα$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.
Трапеция
Площади правильных многоугольников:
$S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, равен 156°. Найдите число вершин многоугольника
Угол между соседними сторонами правильного многоугольника равен 156°. Это означает, что все углы этого многоугольника равны между собой и составляют 156°. Для того чтобы найти число вершин многоугольника, можно воспользоваться формулой для суммы углов многоугольника: S = (n-2)*180, где S – сумма углов многоугольника, n – число вершин.
Так как все углы правильного многоугольника равны, то каждый угол равен (S/n) градусов. Следовательно, (S/n) = 156°. Подставляем в формулу для суммы углов: (n-2)*180 = S = n*156. Получаем уравнение: n*156 = (n-2)*180. Раскрываем скобки и переносим все слагаемые с n в одну часть уравнения: 156n = 180n – 360. Решаем уравнение: 24n = 360, n = 15.
Ответ: число вершин многоугольника равно 15.
Написать сочинение по запросу
Сложные математические задачи больше не проблема с нашей нейросетью онлайн! Она быстро и легко решит даже самые запутанные вопросы. Наша программная система способна восстановить ответы на математические задачи в режиме реального времени и предоставить вам точный результат.
Наша нейросеть пишет текст, который затем может быть использован для развития знаний и навыков. Это лучший способ быстро решить задачу правильного многоугольника с углом 156°. Эта функциональность, доступная в любое время, позволяет со степенью точности решать большинство математических задач. Не откладывайте на завтра то, что можете сделать сегодня – попробуйте нашу нейросеть онлайн прямо сейчас и убедитесь сами!
Создать текст по запросам:
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, равен 160°. Найдите число вершин многоугольника
Для решения этой задачи нужно использовать следующую формулу:
Сумма углов в вершинах правильного многоугольника равна 180°(n-2), где n – число вершин многоугольника.
Мы знаем, что угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника равен 160°. Так как в правильном многоугольнике все углы равны, то нам нужно найти сумму углов в вершинах, чтобы вычислить число вершин.
Используя формулу, подставляем известные значения:
180° (n-2) = сумма углов в вершинах
Угол между соседними сторонами равен 160°, а значит, каждый угол в вершине равен (180° – 160°) / 2 = 10°.
Таким образом, сумма углов в вершинах равна 10° * n, где n – число вершин многоугольника. Подставляем это значение в формулу:
180° (n-2) = 10° * n
Решаем уравнение:
180° n – 360° = 10° n
170° n = 360°
n = 360° / 170°
n ≈ 2,12
Из ответа видим, что число вершин многоугольника не целое. Однако мы знаем, что число вершин должно быть целым и не может быть меньше трех. Значит, мы округляем ответ в большую сторону и получаем, что число вершин равно 3.
Ответ: число вершин многоугольника равно 3.
Написать сочинение по запросу
Счастливчики, кто знает, что такое правильный многоугольник, поставьте лайк! А тем временем, наш онлайн сервис головоломок нашел решение! Наша нейросеть позаботится об этом. Вам нужно всего лишь ввести данные и нейросеть пишет текст с ответом. Не нужно тратить свое время на решение сложных математических задач – наша нейросеть справится за вас! Используйте наш онлайн сервис головоломок и получайте готовые решения в несколько кликов. Вперед, решайте и не забудьте поделиться этой новостью!
Создать текст по запросам: