.
Т.к. точка E является серединой стороны BC, то CE = 2∙AE, а также DE = 0.5∙AC = 0.5∙2∙DE = DE. Значит, треугольник ADE является равнобедренным с основанием AD. Т.е. ∠ADE = ∠AED.
Т.к. DE параллелен AC, то ∠A = ∠ADE. Также, ∠ADE = ∠AED. Следовательно, ∠A = ∠AED, т.е. треугольники ACD и AEC подобны.
Т.е. AC/CD = AE/EC = AC/AC, т.е. k = 2.
Отсюда получаем, что CD = 9, AC = 2∙DE = 18, CO = DE = 4.5.
Ответ: 4.5
Задача (Продолжаем линию)
В треугольнике ABC проведена медиана AM. Оказалось, что ∠ACM = 1/3∙∠ACB. Найдите ∠C.
Т.к. M — середина стороны BC, ∠AMC = ∠ABM. Т.к. AM — медиана, ∠CAC = ∠MAB.
Какие углы равны в смежных треугольниках?
∠AMC = ∠ABM
∠ACM = ∠AMB
∠ACM = 1/3∙∠ACB
∠ACM = 1/3∙(180 – ∠ACB)
360 – 2∙∠ACM = 1/3∙3∙180 – ∠ACB
720 – 6∙∠ACM = 540 – ∠ACB
6∙∠ACM – ∠ACB = 180
5∙∠ACM = ∠ACB = 30
Ответ: 30
SEO keywords:
- Подобие треугольников
- Основы планиметрии
- Геометрия
- Признаки подобия треугольников
- Задачи на подобие треугольников
- Средняя линия треугольника
- Серединный перпендикуляр
- Медиана треугольника
Задачи ЕГЭ по математике: решения на треугольники
Задача 1
Рассмотрим треугольники AOC и EOD.
∠EAC = ∠AED
∠DCA = ∠CDE
Следовательно, AOC и EOD подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен k=AC/ED = 2.
Пусть CO=x. Тогда CO/AC = ED/AD.
Подставив значения, получаем:
x/4 = (x + 4)/8
Решая уравнение, находим x=6.
Ответ: 6
Задача 2
В треугольнике ABC BC=5, AC=4. Проведена биссектриса CD. Треугольник CBD — равнобедренный (основание CB). Найдите сторону AB.
Так как треугольник CBD равнобедренный, то углы при основании равны. Рассмотрим треугольники CDA и BCA.
Дана пропорция: x/(x+y) = 2/4
Решив уравнения, получаем x=6.
Ответ: 6
Задача 3
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Отрезки соответственно равны BE=2, AB=5, DE=2,4. Найдите AC.
Из прямоугольного треугольника AEB и CDB получаем:
AB^2 – BE^2 = x^2
AC^2 – DC^2 = y^2
Рассматривая треугольники EBD и ABC, находим соотношение сторон и находим AC.
Задача 4
Точка M лежит на боковой стороне AB трапеции ABCD, причём AM:MB = 1:2. Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если AD=10 и BC=7.
Для решения задачи рассмотрим треугольники MKN и BKC. Находим соотношение сторон и находим длину MN.
Удачи при решении задач из планиметрии!
Список вопросов теста
Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторонв АВ и ВС в точках M и N соответсвенно, АВ = 9, АС = 18, MN = 8. Найдите АМ
Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторонв АВ и ВС в точках M и N соответсвенно, АВ = 28, АС = 24, MN = 18. Найдите АМ
Вопрос 3
Решение
Вопрос 4
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Дано: AC = 21, MN = 14, площадь треугольника ABC = 27. Необходимо найти площадь треугольника MBN.
Вопрос 5
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Дано: AC = 30, MN = 12, площадь треугольника ABC = 25. Необходимо найти площадь треугольника MBN.
Вопрос 6
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 15, CM = 12. Необходимо найти ON.
Вопрос 7
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 33, CM = 15. Необходимо найти ON.
Вопрос 8
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 27, CM = 18. Необходимо найти AO.
Вопрос 9
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 4, BH = 16. Необходимо найти CH.
Вопрос 10
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 7, BH = 28. Необходимо найти CH.
Вопрос 11
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 6, BH = 54. Необходимо найти CH.
Решение
Вопрос 4
Given: AC = 21, MN = 14, Area of triangle ABC = 27. Find the area of triangle MBN.
Вопрос 5
Given: AC = 30, MN = 12, Area of triangle ABC = 25. Find the area of triangle MBN.
Вопрос 6
Points M and N are the midpoints of sides AB and BC of triangle ABC respectively. Segments AN and CM intersect at point O, AN = 15, CM = 12. Find ON.
Вопрос 7
Points M and N are the midpoints of sides AB and BC of triangle ABC respectively. Segments AN and CM intersect at point O, AN = 33, CM = 15. Find ON.
Вопрос 8
Points M and N are the midpoints of sides AB and BC of triangle ABC respectively. Segments AN and CM intersect at point O, AN = 27, CM = 18. Find AO.
Вопрос 9
A height CH is dropped onto the hypotenuse AB of right triangle ABC, AH = 4, BH = 16. Find CH.
Вопрос 10
A height CH is dropped onto the hypotenuse AB of right triangle ABC, AH = 7, BH = 28. Find CH.
Вопрос 11
A height CH is dropped onto the hypotenuse AB of right triangle ABC, AH = 6, BH = 54. Find CH.