Реальный вариант ЕГЭ по математике-2023 (профиль) с ответами и решениями
Это один из вариантов досрочного экзамена 28 марта 2023 года. Здесь вы можете увидеть, каков по сложности реальный профильный ЕГЭ по математике.
Задание 1
Острые углы прямоугольного треугольника равны 24º и 66º. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение
Пусть ∠C — прямой, CD — биссектриса, CM — медиана.
Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то треугольник BMC — равнобедренный. Тогда имеем: ∠MCB = ∠ABC = 66º. Так как CD — биссектриса, то ∠BCD = ∠ACD = 45º. Тогда искомый угол равен
∠MCD = ∠MCB − ∠BCD = 66º − 45º = 21º
Задание 2
Найдите объем пирамиды, вписанной в куб, если ребро куба равно 3.
Решение
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на высоту:
V = 1/3 Sh
Площадь основания пирамиды равна площади грани куба:
S = 32 = 9
Высота пирамиды равна высоте куба, то есть длине его ребра. Значит, она равна 3. Тогда объем пирамиды равен
V = 1/3 · 9 · 3 = 9
Задание 3
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда Физик играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда Физик как минимум один раз начнет игру первой.
Решение
Нужно найти вероятность того, что команда Физик хотя бы один раз начнет матч первой. Найдем сначала вероятность того, что команда ни разу не начинает матч первой, а потом посчитаем противоположную к ней вероятность. Перед началом матча судья бросает монетку, то есть вероятность того, что команда Физик не начинает матч, равна 0,5. Тогда вероятность того, что команда не начинает ни один из трех матчей первой, равна
0,53 = 0,125.
Найдем искомую вероятность:
1 − 0,125 = 0,875
Задание 4
Решение: Пусть событие A : кофе закончился в первом автомате, событие B : кофе закончился во втором автомате, событие AB : кофе закончился в двух автоматах.
По условию мы знаем вероятности этих событий P(A) = P(B) = 0,2, P(AB) = 0,16. Найдем вероятность того, что кофе закончился хотя бы в одном автомате:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 2P(A) − P(AB) = 2 · 0,2 − 0,16 = 0,24
Тогда искомая вероятность — это противоположная вероятность:
1 − P(A + B) = 1 − 0,24 = 0,76
Задание 5
Решите уравнение
Решение
Уравнение в общем виде выглядит как
Условие A ⩾ 0 излишне, так как A = B2, а B2 ⩾ 0 как любое выражение в квадрате. Следовательно, исходное уравнение равносильно
4x + 32 = 64 ⇔ x = 8
Конец документа
Решение математических задач
Найдите 5 cos 2α, если sin α = −0, 4
Ответ: 3, 4
Решение:
По формуле косинуса двойного угла
cos 2α = 1 − 2 sin^2 α
Искомое значение равно
5 cos 2α = 5 · (1 − 2 sin^2 α) = 5 · (1 − 2 · (−0,4)^2) = 5 · (1 − 2 · 0,16) = 5 · (1 − 0,32) = 5 · 0, 68 = 3, 4
Водолазный колокол
Решение:
На указанном отрезке производная положительна, то есть функция возрастает. Тогда наименьшее значение функция f(x) принимает в левом конце отрезка в точке x = −7.
Водолазный колокол
Водолазный колокол, содержащий ν = 2 моль воздуха при давлении p1 = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = αν, где α = 5,75 — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, p2 (в атмосферах) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.
Решение:
Подставим все известные из условия величины в формулу:
6900 = 5,75 · 2 · 300 · log2 p2/1,5
23 = 11,5 · log2 p2/1,5
log2 p2/1,5 = 23/11,5
p2/1,5 = 22
p2/1,5 = 4
p2 = 6
Один рабочий
Один рабочий пропалывает грядку за 12 часов, а двое рабочих вместе пропалывают грядку за 4 часа. За сколько часов прополет грядку второй рабочий?
Решение:
Пусть x — скорость первого рабочего, а y — скорость второго рабочего. По условию имеем:
Вычтем первое уравнение из второго, получим
y = 1/4 − 1/12 = (3 − 1)/12 = 1/6
Таким образом, второй рабочий пропалывает одну грядку за 6 часов.
Найдите значение x
На рисунке изображен график функции f(x) = ax + b. Найдите значение x, при котором f(x) = 29.
Решение:
Найдем коэффициент b, подставив в уравнение функции точку (0; −2), через которую проходит график. Тогда
f(0) = −2 ⇔ a0 + b = −2 ⇔ 1 + b = −2 ⇔ b = −3
Теперь найдем основание a, подставив в уравнение функции точку (1; −1), через которую проходит график:
f(1) = −1 ⇔ a1 − 3 = −1 ⇔ a = 2
Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид f(x) = 2x − 3, тогда
f(x) = 2x − 3 = 29 2x = 32 2x = 25 x = 5
Найдите точку минимума функции
Найдите точку минимума функции y = x^3 − 24x^2 + 11.
Решение:
Найдем производную функции:
y′ = (x^3 − 24x^2 + 11)′ = 3x^2 − 48
y′ = 0 3x^2 − 48x = 0 x(x − 16) = 0
Нули производной разбивают область определения функции (она равна R) на промежутки, на каждом из которых производная непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом таком промежутке:
Следовательно, функция убывает на промежутке (0, 16) и возрастает на промежутке (16, +∞). Тогда точка минимума функции равна x = 16
Решите уравнение
а) (2 cos x) − 5 log3(2 cos x) + 2 = 0
Ответ: ±π/6 + 2πк, к ∈ z
б) 11π/6; 13π/6
Решение:
а) Сделаем замену t = log3(2 cos x). Тогда уравнение примет вид
2t^2 − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2; 2
Сделаем обратную замену:
Первое уравнение совокупности равносильно
Статья завершена.
375,000 рублей, поэтому:
3x + x / 4 = 375,000
12x + x = 1,500,000
13x = 1,500,000
x = 115,384 рубля
Тогда общая сумма кредита:
S = 3x + 3x / 4 = 345,192 рублей
Ответ: 221,400 рублей
Решение уравнений в математике
Подставим это значение x в полученное нами уравнение и выразим S:
Следовательно, в кредит было взято 221 400 рублей.
Задача 16
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Решение:
а)
Проведем через точку A общую касательную l к окружностям. Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между AM и l равен вписанному углу AKM.
Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между AC и l равен углу ABC. Тогда, так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то ∠AKM = ∠ABC.
Опустим перпендикуляр O1S на BC. В равнобедренном треугольнике BO1C отрезок O1S — высота, а значит и медиана. Тогда BS = SC. По теореме Пифагора для треугольника BO1S :
O1S2 = BO21 – BS2 = 102 – 82 = 62 ⇒ O1S = 6
Так как отрезки O1O2 и O2P — радиусы меньшей окружности, то
O1O2 = O2P = 5
Рассмотрим прямоугольную трапецию O2PSO1. Пусть O2H — перпендикуляр к O1S, тогда O2HSP — прямоугольник и
O1H = O1S – HS = O1S – O2P = 6 – 5 = 1
Следовательно, по теореме Пифагора
Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку A, относятся как их диаметры, то KM — средняя линия в треугольнике ABC. Тогда KL — средняя линия в треугольнике ABP и ML — средняя линия в треугольнике ACP, следовательно
По теореме о произведении отрезков хорд имеем:
Задача 17
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Решение: Перепишем уравнение в виде системы
Будем рассматривать параметр a как переменную. Построим в системе координат xOa множество S решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами (x0; a0) принадлежит этому множеству S, то для исходной задачи это означает, что если параметр a принимает значение a0, то x0 будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения a0 параметра a, при каждом из которых ровно две из точек вида (x0; a0), где x0 ∈ R, принадлежат множеству решений S, изображенному на плоскости xOa. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая a = a0 имеет ровно две точки пересечения с множеством S. Решением совокупности на плоскости xOa является объединение двух лучей, а решением уравнения a = x2−x является парабола. Следовательно, множеством S на плоскости xOa будет являться множество точек эти лучей за исключением тех точек параболы a = x2 − x, которые являются точками пересечения параболы и этих лучей. Найдем точки пересечения луча a = 3x − 3, x ⩾ 0, и параболы a = x2 − x:
Найдем точки пересечения луча a = −5x − 3, x < 0, и параболы a = x2 — x:
Изобразим множество S на плоскости xOa (получим множество всех точек двух лучей с выколотыми точками A, B, C, D):
18. Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину. а) Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см? б) Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см? в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?
Ответ: а) Да б) Нет в) 9
18. У Пети дома лежат по 100 монет номинала 1, 2, 5 и 10 рублей. Он хочет купить пирожное в магазине без сдачи, но до момента покупки Петя не знает, сколько стоит пирожное. а) Может ли Петя выбрать дома 16 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 100 рублей? б) Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей? в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если он знает, что пирожное стоит не более 100 рублей?
Ответ: а) Да б) Нет в) 13
Решение: а) Петя может взять десять монет номиналом 10. Тем самым он сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 10. Еще Петя возьмет одну монету номиналом 5 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 5. Петя возьмет одну монету номиналом 1 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5. Петя возьмет две монеты номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 2 или 4 при делении на 5. Еще Петя возьмет одну монету номиналом 1 и одну монету номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 3 при делении на 5. Таким образом, Петя возьмет с собой 10 + 1 + 1 + 2 + 2 = 16 монет и сможет без сдачи оплатить пирожное стоимостью до 100 рублей. б) Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 1. Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 4 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой две монеты номиналом 2. Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 9 при делении на 10, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 5. Итого, Петя уже обязательно должен взять четыре монеты, которые в сумме дают 10 рублей. Тогда максимум Петя можем взять с собой 20 рублей. Следовательно, Петя не может выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей. в) По соображениям из пункта б) Петя обязательно должен взять четыре монеты следующими номиналами: 1, 2, 2 и 5.
Чтобы оплатить пирожное стоимостью 100 рублей, Петя должен взять дома еще 90 рублей. Минимальное количество монет, которыми можно набрать 90 рублей — 9. Тогда Петя обязан взять с собой хотя бы 13 монет: 1, 2, 2, 5 и 9 монет по 10 рублей. Докажем, что любую цену Петя сможет оплатить без сдачи. Очевидно, что он может оплатить любую стоимость, кратную 10. При этом, если стоимость не равна 100, то у него всегда останутся монеты 1, 2, 2 и 5. Тогда осталось доказать, что монетами 1, 2, 2 и 5 Петя может набрать любое число от 1 до 9.
1 = 1 2 = 2 3 = 1 + 2 4 = 2 + 2 5 = 5 6 = 5 + 1 7 = 5 + 2 8 = 5 + 1 + 2 9 = 5 + 2 + 2
Значит, Петя должен взять дома минимум 13 монет, чтобы гарантированно оплатить без сдачи пирожное стоимостью не более 100 рублей.