Все варианты 16 задания математика ЕГЭ Профиль 2022
(28.03.2022 досрочная волна) В треугольник АВС вписана окружность, которая касается АВ в точке Р. Точка М – середина стороны АВ.
(28.03.2022 досрочная волна) Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, а FC = ED.
а) Докажите, что angle BCF = angle AFE;
(28.03.2022 досрочная волна) На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что АМ : МВ = CN : NB = 1 : 2. Прямая MN касается окружности, вписанной в треугольник ABC в точке L.
a) Докажите, что AB+ BC= 5 AC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML = 1 и LN = 3.
(02.06.2022 основная волна) В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
a) Докажите, что AL * BC = AB * AC;
(02.06.2022 основная волна) На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что АМ = МС.
a) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
(02.06.2022 основная волна) На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.
(02.06.2022 основная волна) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АА1, ВВ1 и СС1, которые пересекаются в точке H. Через точку С1 провели прямую, параллельную ВВ1. Данная прямая пересекает АА1 в точке К.
a) Докажите, что CN = BM.
б) Пусть MN и ВС пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 7.
(02.06.2022 основная волна) В квадрате ABCD точки M и N – середины сторон АВ и ВС, соответственно. Отрезки СМ и DN пересекаются в точке К.
(02.06.2022 основная волна) В треугольнике ABC на стороне BC отметили точку D так, что AB = BD. Биссектриса BF пересекает AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
a) Докажите, что АВ: ВС= АЕ : ЕК.
б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если известно, что BD : DC = 3 : 2.
- (02.06.2022 основная волна) В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырехугольника AMNC можно описать окружность.
a) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
- (27.06.2022 резервная волна) Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки I и J — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно.
a) Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.
- (27.06.2022 резервная волна) Две окружности пересекаются в точках А и В. Общая касательная к этим окружностям касается их с точках С и D. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке М, центры окружностей лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ, точка В лежит между точками А и М.
a) Докажите, что CM = MD.
Решение задачи по геометрии
Расстояние между центрами окружностей
Для нахождения расстояния между центрами данных окружностей с радиусами 1 и 3, а также с точкой B, которая является серединой отрезка AM, можно использовать следующий метод:
- Найдем расстояние между центром окружности с радиусом 1 и точкой B.
- Найдем расстояние между центром окружности с радиусом 3 и точкой B.
- Сложим полученные расстояния, чтобы найти итоговое расстояние между центрами.
Расстояние между центром окружности с радиусом 1 и точкой B
Для нахождения данного расстояния можно воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
r1 = 1
AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Где:
r1 - радиус первой окружности
AB - расстояние между центром первой окружности и точкой B
(x1, y1) - координаты центра первой окружности
(x2, y2) - координаты точки B
Расстояние между центром окружности с радиусом 3 и точкой B
Для расчета данного расстояния также используем формулу для расстояния между двумя точками:
r2 = 3
AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Где:
r2 - радиус второй окружности
AB - расстояние между центром второй окружности и точкой B
(x1, y1) - координаты центра второй окружности
(x2, y2) - координаты точки B
Итоговое расстояние между центрами окружностей
Для нахождения итогового расстояния между центрами окружностей сложим расстояния от центров до точки B:
Final_distance = AB1 + AB2
Где:
AB1 - расстояние между центром первой окружности и точкой B
AB2 - расстояние между центром второй окружности и точкой B
Таким образом, найдем расстояние между центрами окружностей с радиусами 1 и 3 при условии, что точка B является серединой отрезка AM.
Решение трапеции ABCD
Рассмотрим трапецию ABCD, где основание AD, диагонали пересекаются в точке O, а AD равно 2BC. Пусть через вершину A проведена параллельная диагонали BD прямая, а через вершину D проведена параллельная диагонали AC прямая, пересекающиеся в точке E.
а) Доказательство: BO : AE = 1 : 2
Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться геометрическими свойствами трапеции ABCD.
б) Нахождение MN
Продолжение следует…