Решение геометрических задач
Основания равнобедренной трапеции 12 и 28, боковая сторона равна 17. Найдите высоту трапеции.
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, медиана BL равна 18. Площадь треугольника ABC равна 108√7. Найдите длину стороны BC.
Стороны параллелограмма равны 30 и 40. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 38. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.
Стороны параллелограмма равны 16 и 20. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 15. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.
В треугольнике MNK MN = NK, угол MNK равен 48°. Найдите внешний угол LMN. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол при вершине A равен 152°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол ADC равен 100°, угол CAD равен 61°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол ABC равен 80°, угол ACD равен 39°. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.
В окружности по разные стороны от диаметра AC взяты точки B и D. Известно, что ∠BAC = 41°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
В окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки D и C. Известно, что ∠ABC = 38°. Найдите угол CDB. Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике LNK боковые стороны LN = NK = 5, основание LK = 6, NM – биссектриса угла LNK. Найдите sin∠NLM.
В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB = BC = 10, медиана BM = 8. Найдите cos∠BCA.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 8, а тупой угол равен 150°.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 3, а острый угол равен 30°.
Прямые a и b параллельны. Найдите угол 2, если угол 1 равен 74°, а угол 3 равен 68°. Ответ дайте в градусах.
Прямые a и b параллельны. Найдите угол 3, если угол 1 равен 52°, а угол 2 равен 71°. Ответ дайте в градусах.
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла B, пересекающая сторону AD в точке L. Найдите LD, если периметр параллелограмма равен 32, а сторона CD равна 6.
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке F. Найдите FC, если AB = 5, а периметр параллелограмма равен 24.
Основания равнобедренной трапеции 26 и 56, боковая сторона равна 25. Найдите высоту трапеции.
Касательные, секущие, хорды
Окружность – это фигура, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).
Отрезок, соединяющий любую точку на окружности с центром окружности, называется радиусом (R).
Отрезок, соединяющий любые две точки на окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, – диаметром (d).
BC – хорда
CE – диаметр
Свойства хорды и диаметра
Диаметр равен двум радиусам d=2R; CE=2CO
Равные хорды стягивают равные дуги
Если AB=CD, то ∪AB=∪CD.
Вся окружность составляет 360°. Диаметр делит окружность на две полуокружности по 180°.
Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.
## Геометрия окружности
### Свойства хорд
Из двух хорд больше та, которая менее отдалена от центра.
#### Касательные и секущие
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. $AB$ - касательная
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. $CD$ - секущая
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
$AC=BC; OC$ - биссектриса
3. Если хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Найдите $ED$, если $AE=16, BE=9, CE=ED$.
Подставим числовые значения
4. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.
5. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.
### Углы в окружности
1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Точки $A, B, C$, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как $2:3:7$. Найдите больший угол треугольника $ABC$. Ответ дайте в градусах.
Данное условие можно рассмотреть как задачу на части:
1. Найдем общее количество частей, на которые разделили окружность.
$2+3+7=12$ (всего частей)
2. Найдем, сколько градусов приходится на одну часть.
3. $∠AB$ составляет две части, следовательно, $∠AB=2·30=60°.$
4. В треугольнике $ABC$ самым большим углом является $∠A$, он вписанный, опирается на дугу $CB$ и равен ее половине.
### Углы и дуги
1. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, отсекаемой хордой.
2. Угол между хордами равен полусумме дуг, на которые этот угол опирается.
3. Угол между двумя касательными равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.
4. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.
5. Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.