Неверное утверждение
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Новые вопросы в Геометрия
признак равенства треугольников:
- Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
признак равенства треугольников:
- Если сторона и два прилегающих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилегающим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
признак равенства треугольников:
- Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Другие свойства треугольников
- Биссектриса, медиана и высота проведенные к основанию совпадают.
- Углы при основании равны.
Центр описанной окружности треугольника
Центр окружности, описанной вокруг треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Однако, в общем случае, серединный перпендикуляр к стороне треугольника не проходит через противоположную вершину треугольника.
Свойства и признаки параллельных прямых
Обобщенная теорема Фалеса:
Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки.
Обратная обобщенная теорема Фалеса:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них пропорциональные между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
Признаки подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Свойства медианы треугольника
Медиана треугольника делит его на два равных по площади треугольника. Также:
- Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне.
- Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
- Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.
Свойства и признаки треугольников
Сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны, а разность длин двух сторон меньше длины третьей стороны.
Сумма внутренних углов треугольника всегда равна $180^circ $:
$alpha + beta + gamma = 180^circ $,
а сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, также равна $180^circ $.
Четыре важные точки треугольника
Медианы
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в точке, называемой центроидом или центром тяжести треугольника. Центр тяжести делит медиану в отношении 1:2, считая от основания.
Центр вписанной окружности
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Радиус окружности вписанной в треугольник можно вычислить по формуле.
Ортоцентр
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону. Три высоты треугольника всегда пересекаются в точке, называемой ортоцентром треугольника.
Центр описанной окружности
Серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной вокруг треугольника. Радиус окружности описанной около треугольника можно вычислить по формуле.
Свойства средней линии треугольника:
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Периметр и площадь треугольника
Периметр $O$ и площадь $P$ треугольника можно вычислить по формулам:
$O = a + b + c$,
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства треугольников включают совпадение сторон и углов, соответствие сторон и прилежащих углов, равенство треугольников, подобных по трем сторонам, равенство равнобедренных треугольников и другие признаки.
Признак равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Четвёртый признак равенства треугольников
Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и угол, лежащий против большей из этих сторон, равен соответствующему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признак подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, один из углов, противолежащих этим сторонам первого треугольника, равен соответстветствующиму углу второго треугольника, а второй угол, противолежащей этим сторонам, одног типа, что и соответствующий ему угол второго треугольника (т. е. острый, прямой или тупой), то такие треугольники подобны.
Формулы и определения
Площадь прямоугольного треугольника: $\frac{1}{2}ab$
Периметр и площадь равностороннего треугольника: Периметр = $3a$, Площадь = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
Определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике: $\sin\alpha = \frac{a}{c}$, $\cos\alpha = \frac{b}{c}$, $\tan\alpha = \frac{a}{b}$
Формулы тригонометрических функций половинных углов: $c = a\cos\eta + b\cos\alpha$
Равенство треугольников
Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равенство треугольников по стороне и двум к ней прилежащим к ней углам: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равенство треугольников по трем сторонам: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Подобие треугольников
Подобие треугольников – это свойство, при котором соответственные стороны и углы треугольников имеют одинаковые отношения. Существует несколько способов определения подобия треугольников.
Подобие треугольников по двум углам
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
В подобных треугольниках все сходственные стороны относятся с коэффициентом подобия k. Подобие треугольников широко используется в различных математических и инженерных задачах.