Краткий ответ, как решать задачи на сплавы и смеси
В условиях задач на процентные доли в смесях смешиваются растворы (сплавы) с разными массами и концентрациями некоторого вещества, формируя раствор общей массы и новой концентрации. Какая-то из величин (масса какого-то из растворов, или процент содержания вещества) является искомой.
Задачи на сплавы и смеси ЕГЭ математика – основные формулы
Прежде чем зазубривать две формулы для решения задач на сплавы и смеси из ЕГЭ, надежнее будет понять, почему эти формулы справедливы.
Сохранение массы
При смешивании растворов (сплавов) сохраняется масса (объем). То есть, сумма начальных масс (объемов) равна массе конечной смеси:
m1 + m2 = m
Формула достаточно тривиальная, но иногда про нее попросту забывают.
Определение концентрации
Концентрация — это масса (объем) вещества, деленная на общую массу раствора.
Задачи на смеси ЕГЭ математика
Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задачи на сплавы ЕГЭ математика
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Подготовьтесь к ЕГЭ или ОГЭ за 4 месяца
Интенсивный онлайн курс в Годографе с экспертами МЦКО
Многие выпускники 11-х классов, которые выбирают ЕГЭ профильного уровня по математике в 2023 году, считают задание 9 трудным и опасаются его. И это несмотря на то, что с первого класса решали текстовые задачи на уроках математики.
На вопрос почему, отвечают так: научиться решать все текстовые задачи, поскольку их очень много и все они решаются по-разному.
Учащиеся, которые так думают, ошибаются Научиться решать все текстовые задачи Это только на первый взгляд задачи не похожи. Подходим к решению проблемы комплексно.
Первое, что нужно:
- знать, какие типы задач на экзамене,
- понимать, к какому типу относится задача, которую предстоит решить,
- владеть основными способами решения задач каждого типа.
Ниже на схеме представлены типы задач, которые встречаются в задании 9 ЕГЭ по математике.
## Для того, чтобы успешно справиться с текстовой задачей 9 ЕГЭ по математике?
Смеси и сплавы
- путь (км), – время (ч) масса раствора, содержащего вещества в растворе – вклад в банк (руб.) под Через 1 год на вкладе лет – руб.
Для того, чтобы успешно справиться с текстовой задачей?
Составлять математическую модель задачи, то есть перевести условие с русского языка на математический, например, составить уравнение (предварительно по данным текста можно составить таблицу или сделать рисунок).
Применять математические знания при реализации модели, чаще всего решать уравнение.
Приведём примеры задачи 9 ЕГЭ по математике профильного уровня на движение по прямой.
(движение в одном направлении)
Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
Решение. Через 1 час расстояние между пешеходами станет равным 1,5 км=1500 м, что в 5 раз больше 300 м, значит, расстояние между пешеходами станет 300 м через 1 ч. : 5 = 60 мин. : 5=12 мин.
Можно решить задачу иначе: пусть км/час – скорость первого пешехода, а (+1,5) км/ч, пусть через t часов расстояние между пешеходами станет равным 0,3 км. Тогда
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
м – длина скорого поезда.
Скорость сближения поездов равна 65+35=100 (км/ч) = (м/с). За 36 секунд скорый поезд прошёл путь, равный (+700) м. Тогда
Можно решить задачу иначе: пусть м – длина скорого поезда. Если бы пассажирский поезд стоял, а скорый поезд проезжал мимо него со скоростью 100 км/ч, то время, за которое скорый поезд прошёл мимо пассажирского, то есть путь, равный (+700) метров, было бы равно 36 секундам. Тогда м.
(движение по воде)
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
км/ч – скорость теплохода в неподвижной воде, тогда () км/ч и () км/ч скорость теплохода по течению и против течения соответственно.
Время на путь по течению равно а время на путь против течения – ч.
Так как в пути теплоход был 34-2=32 часа, то можно составить уравнение получим 32 16 , откуда
Приведём примеры задач на проценты и смеси и сплавы.
Задача 4 (проценты)
Акции компании: анализ изменения цен
В ходе торгов акции компании претерпели изменения цен в понедельник и во вторник. Рассмотрим, как изменилась стоимость акций в эти дни.
Изменение цен
- В понедельник цены на акции возросли на несколько процентов.
- Во вторник цены упали на то же количество процентов.
Результат изменений
Итоговая цена акций оказалась на 4% ниже начальной стоимости в понедельник. Чтобы узнать, на сколько процентов подорожали акции компании в понедельник, решим эту задачу.
Дано:
- Первоначальная стоимость акций.
- Цена акций в понедельник после подорожания.
- Цена акций во вторник после падения цены.
Задача 5 (смеси и сплавы)
Рассмотрим процентное содержание вещества в растворе и его изменение после добавления воды, а также решим задачу на вычисление процентного содержания вещества в новом растворе.
Условие задачи:
В первом сосуде содержится 5 литров 12-процентного раствора, во втором – 7 литров воды. Их содержимое перелили в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x-процентный раствор вещества.
Задача 7
Пусть первый сосуд содержит 5 л 12% раствора вещества, а второй содержит 7 л воды. Вылили их в третий сосуд. Пусть третий сосуд содержит x% раствора.
