План урока по физике: Механические колебания
Приглашаем всех учителей физики с высшим образованием (или студентов последнего курса) и опытом подготовки к выпускным экзаменам.
Задачи урока:
Колебательные процессы:
- Устойчивое и неустойчивое положение тела.
- Условия, необходимые для наличия колебаний.
Механические колебания:
- Определение.
- Примеры простых колебательных систем.
Свободные и вынужденные колебания:
- Описание и различия.
Колебательные процессы
В окружающем нас мире постоянно происходят периодические процессы, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Для возникновения колебаний необходимо наличие устойчивого положения равновесия и силы, возвращающей систему в это положение.
- Пример: Ребенок на батуте – сила тяжести и сила упругости.
- Пример: Подвешенное тело на нити – сила натяжения и сила тяжести.
Простые колебательные системы
Примерами могут служить груз на пружине или математический маятник. Графическое изображение сил в таких системах показано на рисунке:
Свободные и вынужденные колебания
- Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после вывода ее из состояния равновесия.
- Вынужденные колебания происходят под действием внешних периодически изменяющихся сил.
Заключение
Механические колебания – это периодические изменения физической величины, определяющей механическое движение. Урок по механическим колебаниям позволит ученикам лучше понять принципы колебательных процессов в природе.
Присоединяйтесь к нам и учите с удовольствием!
Гармонические колебания: основы и примеры
Самое простое колебательное движение тела — гармоническое колебание. Гармоническим называют колебание, в процессе которого величины, характеризующие движение (смещение, скорость, ускорение и др.), изменяются по закону синуса или косинуса (гармоническому закону).
Описание формулы гармонического колебания
В общем виде этот закон задается формулой:
[x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)
]
где:
- ( x(t) ) — значение изменяющейся величины в момент времени ( t )
- ( A ) — амплитуда колебаний
- ( \omega ) — циклическая (круговая) частота колебаний
Гармонические колебания являются периодическими. Период ( T ) этих колебаний равен периоду функции ( \sin(\omega t) ).
Основные характеристики колебательной системы
Частота
Частота — физическая величина, характеризующая колебательный процесс и показывающая, какое количество колебаний совершается колебательной системой в единицу времени.
[ f = \frac{N}{t} ]где:
- ( N ) — количество колебаний
- ( t ) — время, за которое эти колебания совершены
Единица измерения частоты в системе СИ — Герц (Гц).
Круговая частота
Круговая (циклическая) частота — число колебаний, совершенных колебательной системой за ( 2 \pi ) секунд.
Единица измерения циклической частоты в системе СИ — с(^{-1}).
Период колебаний
Период колебаний ( T ) — время одного полного колебания.
[ T = \frac{1}{f} ]Единица измерения периода ( T ) в системе СИ — секунда.
Амплитуда колебаний
Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Пример: пружинный маятник
Пружинный маятник рассматривают в двух вариациях: вертикальный и горизонтальный. Груз в таких системах совершает колебания под действием силы упругости пружины, к которой он прикреплен.
Изобразим на рисунке колебательную систему, находящуюся в устойчивом равновесии. Выберем ось координат, вдоль которой будут происходить колебания, и укажем все силы, действующие на груз.
Важно помнить, что гармонические колебания широко применяются в описании различных механических систем, и понимание их основ поможет в изучении физики.
Колебания тела, прикрепленного к пружине
После того как тело, прикрепленное к пружине, толкнуть в какую-либо сторону вдоль оси OX (т.е. вывести его из положения устойчивого равновесия, сообщив телу кукую-то скорость или передав энергию) оно начнет совершать колебания в окрестности точки, называемой положением равновесия.
Положение равновесия
Положение равновесия — это положение, в котором ускорение тела равно нулю, так как результирующая всех сил, действующих на тело в этой точке, равна нулю. А, поскольку ускорение тела в этой точке равна нулю, то скорость тела будет максимальной.
Предположим, что телу сообщили скорость в направлении увеличения вдоль оси OX. В результате тело сместится на какое-то расстояние x, пружинка растянется на длину x. Со стороны пружины на тело будет действовать сила упругости, равная по модулю k∙x.
Торможение и изменение скорости
Вектор этой силы упругости будет направлен в сторону положения равновесия. Легко понять, что возникающая сила будет тормозить тело. Ускорение, действующее на тело, направлено в ту же сторону, что и сила. Скорость тела постепенно будет уменьшаться и рано или поздно станет равной нулю.
Кинетическая и потенциальная энергия
Сперва тело обладало кинетической энергией. В процессе удаления от положения равновесия кинетическая энергия уменьшается, но возрастает потенциальная энергия пружины. В амплитудном положении вся кинетическая энергия перешла в потенциальную.
Заключение
Далее тело по инерции проходит положение равновесия и начинает отклоняться в противоположную сторону. Пружина начнет сжиматься, сила упругости начнет возрастать и будет направлена снова к положению равновесия, но с другой стороны. Кинетическая энергия тела станет равной нулю, а потенциальная энергия пружины — достигнет максимального значения. Ускорение и сила упругости снова будут максимальными.
И для завершения колебания тело возвращается в положение равновесия. Всего получается четыре этапа колебания. Такие колебания будут повторяться бесконечно долго, если нет трения.
Обратите внимание, что сила упругости направлена всегда в сторону, противоположную смещению тела от положения равновесия.
Математические аспекты
На языке математики ускорение называют второй производной от координаты по времени, а второй закон Ньютона записывают в виде дифференциального уравнения второго порядка:
[ F = m \cdot a = -k \cdot x ]Несмотря на внешнюю сложность и непонятность этого уравнения, его решением является уже известные вам тригонометрические функции.
Сравнение амплитуды и периода колебаний
Для успешного решения этих задач необходимо запомнить, как определить по графику амплитуду и период колебаний. Все остальные параметры определяются по формулам.
Чаще всего такие задачи включают сравнение двух графиков колебаний. Например, задание может звучать так: сравните амплитуду и период двух колебаний, представленных на двух разных графиках.
Домашние задания
- Проведите исследование на изменение циклической частоты пружинного маятника, увеличивая или уменьшая массу тела, прикрепленного к пружинке, в 4, 9, 16 и т. д. раза.
Решение задачи можно провести методом стрелочек: записать формулу интересующей величины и пририсовать стрелочки вверх или вниз, указывая на изменение. После анализа математических выражений сделать выводы. Например, если масса увеличилась в 4 раза, циклическая частота уменьшится в 2 раза.
- Придумайте 5 задач такого типа для циклической частоты пружинного и математического маятника.
Также можно рассмотреть задачу: как изменится период математического маятника, если длина нити маятника увеличена в 9 раз, а маятник движется с ускорением 30 м/с2.
С уверенностью в решении этих задач помогут знания по физике колебаний и математическим формулам.
Задача 1. Как изменится период свободных колебаний математического маятника, если его переместить на планету, где ускорение свободного падения меньше земного в 2 раза, и увеличить длину нити в 2 раза? Выберите верный вариант ответа:
Задача 2. При свободных колебаниях математического маятника в некоторый момент времени его кинетическая энергия оказалась равной 20 Дж, что было в два раза меньше максимальной потенциальной энергии. Чему равна полная механическая энергия колебаний этого маятника? Ответ выразите в Дж, округлив до целых.
Ответ: 40 Дж
Задача 3. «Колебательное движение задано уравнением
, где A=20 см, b=5с-1. Чему равно максимальное ускорение колеблющегося тела? Ответ дать в
, округлив до целых.»
Задача 4. «Брусок массой 200 г совершает гармонические колебания по гладкой
горизонтальной поверхности под действием пружины жесткостью
. Определите амплитуду колебаний A, если максимальное значение возвращающей силы (по модулю) в два раза меньше действующей на груз силы тяжести. Ответ выразите в миллиметрах, округлив до целых.»
Ответ: 8 мм
Задача 5. Груз массой m=400 г совершает гармонические колебания на гладкой
горизонтальной поверхности под действием пружины с жесткостью
. Амплитуда колебаний A=4 см. Найдите максимальную скорость движения груза. Ответ дайте в метрах в секунду.