Тест по геометрии
Какие из следующих утверждений верны? Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.
Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
Ответ: 1, 3
Свойства фигур
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.
Любой квадрат является прямоугольником
Ответ: 1, 2
Треугольники и окружности
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.
Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.
Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.
Ответ: 3
Симметрия фигур
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Диагонали прямоугольника равны.
У любой трапеции основания параллельны.
Ответ: 2
Оси симметрии
Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
Прямая не имеет осей симметрии.
Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.
Ответ: 1, 3
Окружность и треугольник
Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.
Квадрат является прямоугольником.
Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Ответ: 3
Подобие фигур
Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Сумма смежных углов равна 180°.
Любая медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
Ответ: 1
Четырехугольники и углы
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.
Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
Ответ: 1, 2
Разное
В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Ответ: 3
Углы и прямые
Смежные углы равны.
Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
Ответ: 1
Геометрические свойства треугольников
- Свойства прямоугольных треугольников:
- Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
- Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
- Свойства равнобедренных треугольников:
- Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
- Любые два равнобедренных треугольника подобны.
- Свойства равносторонних треугольников:
- Все высоты равностороннего треугольника равны.
- Треугольник со сторонами 10, 12, 4 существует.
Геометрические свойства прямоугольников и других фигур
- Свойства трапеции:
- Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
- Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.
- Свойства ромба:
- Если диагонали ромба равны 3 и 4, то его площадь равна 6.
- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
- В любой ромб можно вписать окружность.
- Свойства прямоугольников и квадратов:
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.
- Квадрат, который не является ромбом, существует.
Геометрические свойства плоских фигур
- Свойства параллелограмма:
- Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.
- Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.
- Свойства окружностей и хорд:
- Любые два равносторонних треугольника подобны.
- Все хорды одной окружности равны между собой.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
- Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
- Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
Дополнительные свойства геометрических фигур
- Свойства четырехугольников:
- Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
- Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
- Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
- Свойства прямых и углов:
- Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
- Если у впересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
- Через любые три точки проходит не более одной прямой.
- Через любую точку проходит не менее одной прямой.
- Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
- Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
- Третья сторона треугольника, длиной = 5, является тупоугольной.
- Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Геометрические теоремы
Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Все диаметры окружности равны между собой.
Теоремы о треугольниках
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно диаметру окружности, то эти прямая и окружность касаются.
Про прямоугольники и квадраты
Вертикальные углы равны.
Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
Про четырехугольники
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.
Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный угол равен 120°.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Про ромбы и треугольники
Все углы ромба равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Общие геометрические положения
Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
Сумма смежных углов равна 90°.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.
Через любые две точки проходит не более одной прямой.
Дополнительные факты
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
Треугольника со сторонами 2, 2, 4 не существует.
Заключение
Данная статья содержит базовые геометрические теоремы и утверждения, которые могут быть полезны при решении различных задач в математике. Помните, что хорошие знания геометрии могут пригодиться не только в школе, но и в повседневной жизни.
Геометрические утверждения
Трапеция:
- Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.
Прямые:
- Через любые две точки можно провести прямую.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.
- При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.
Ромб:
- Диагонали ромба перпендикулярны.
- Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.
Четырёхугольник:
- Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
- Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Окружность:
- Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 40°.
- Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.
- Вписанные углы окружности равны.
- Все хорды одной окружности равны между собой.
Равнобедренный треугольник:
- Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.
- Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
- Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Прямоугольный треугольник:
- Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна сумме длин его катетов.
- Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 4.
Трапеция и параллелограмм:
- Около любой трапеции можно описать окружность.
- Около прямоугольника можно описать окружность.
- Площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту.
- Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
Треугольник:
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
- Треугольника со сторонами 8, 8, 1 не существует.
Дополнительные утверждения:
- Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.
- Угол, вписанный в окружность, в два раза меньше соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
- Все углы прямоугольника равны.
- Все углы равнобедренного треугольника равны.
- Вертикальные углы равны.
- Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам.
- Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
- Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
- Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
- Биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
- Через любые три точки проходит не более одной окружности.
Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Основания любой трапеции параллельны.
Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.
Если сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
1. В параллелограмме есть два равных угла.
3. Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.
1. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
2. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
3. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180°.
1. Треугольника со сторонами 3, 2, 1 не существует.
2. Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.
3. Все диаметры окружности равны между собой.
1. Сумма углов любого треугольника равна 360°.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
3. Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
1. Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
1. В трапеции две стороны параллельны..
2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны
2. Высота равнобедренного треугольника является его медианой.
3. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
1. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
2. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3. Сумма двух углов вписанного четырехугольника равна 180°
1. Если угол прямой, то смежный с ним угол также является прямым.
2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
3. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
1. Биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
1. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
1. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
3. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Центром окружности, вписанной в квадрат, является точка пересечения его диагоналей.
Если стороны прямоугольника равны 3 и 4, то диаметр описанной около него окружности, равен 5.
Сумма противоположных углов описанного четырехугольника равна 180°
Если в четырехугольнике две стороны параллельны, а две другие равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Диагонали параллелограмма равны.
Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 130°.
Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.
Треугольник со сторонами 3, 2, 4 существует.
Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
В параллелограмме есть два равных угла.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов
Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3.Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
Если два угла в сумме составляют 180°, то они смежные.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.
Через любые три точки проходит не более одной прямой.
Сумма вертикальных углов равна 180°.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
Треугольника со сторонами 2, 2, 5 не существует.
Сумма углов любого треугольника равна 360°.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Около любого ромба можно описать окружность.
В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
1. Все квадраты имеют равные площади.
2. Основания равнобедренной трапеции равны.
3. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны
1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
3. Диагонали ромба равны.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Смежные углы равны.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180°,
Вписанные углы окружности равны.
Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
Через любые две точки проходит не более одной прямой.
Если расстояние от точки до прямой больше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 1.
Периметр прямоугольника равен произведению длин всех его сторон
Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.
Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований, деленной на 2.
3. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
Около любого прямоугольника можно описать окружность.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны 90°, то прямые параллельны.
Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°.
Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
1. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
Сумма углов остроугольного треугольника равна 180° .
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.
Через любую точку проходит более одной прямой.
Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
Диагонали параллелограмма равны.
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны
Если угол прямой, то смежный с ним угол также является прямым.
2. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
1. Диагональ ромба является биссектрисой угла, из которого она проведена.
1. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
2. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°.
3. Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
2. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.
Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Сумма сторон четырехугольника равна его периметру.
Площадь ромба равна произведению его диагоналей
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.
1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
3. Любой квадрат является прямоугольником.
1. Противоположные углы ромба равны.
3. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным.
1. Диагонали параллелограмма равны.
3. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Диагонали ромба равны.
3. Тангенс любого острого угла меньше единицы.
1. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2. Боковые стороны любой трапеции равны.
1. Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.
2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3. Основания любой трапеции параллельны.
1. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
2. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
3. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.
Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.
Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.
В прямоугольном треугольнике катет прилежащий к углу в 30° равен половине гипотенузы.
Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
1. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
3. Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
2. Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°.
3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
3. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
1. Смежные углы в сумме равны 180°.
2. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
3. Сумма углов трапеции равна 360°.
1. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
2. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3. Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
1. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной.
2. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к противолежащему катету
3. Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника не смежных с ним.
1. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
2. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно диаметру.
Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3. В четырёхугольник можно вписать окружность, если равны суммы противоположных сторон.
1. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
2. Квадрат – это ромб с равными углами.
3. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.