Параллельные и перпендикулярные прямые

Параллельные прямые и свойства

Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признаки параллельности:

Внутренние накрест лежащие углы:

• Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Внутренние накрест лежащие углы образуются двумя прямыми и секущей к ним.

Внутренние односторонние углы:

• Если сумма внутренних односторонних углов, образованных двумя прямыми и секущей к ним, равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Соответственные углы:

• Если соответственные углы равны, прямые параллельны.
• Соответственные углы образуются двумя прямыми и секущей к ним.

Свойства параллельных прямых:

• Накрест лежащие углы равны при параллельных прямых.
• Соответственные углы равны при параллельных прямых.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам при параллельных прямых.

Дополнительные признаки:

• Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
• Транзитивность параллельности: если две прямые параллельны третьей, то первые прямые параллельны между собой.

Вопросы для проверки знаний:

Укажите номера верных утверждений:

1. Биссектриса равнобедренного треугольника делит основание на две равные части.
2. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3. Расстояние от точки на окружности до центра равно радиусу.

Укажите номера верных утверждений:

1. При равных углах у двух треугольников, они подобны.
2. Вертикальные углы равны.
3. Любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой.

Укажите номера верных утверждений:

1. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
2. Квадрат не является ромбом.
3. Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°.

Задачи:

1. Угол между диагоналями прямоугольника, если одна из них образует угол 44° с одной из сторон.
2. Угол ORQ в ромбе OPQR, если точка O – центр и OPQR – ромб.
3. Площадь трапеции AECB, где ABCD – параллелограмм, площадь которого равна 56.
4. Периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8 и вписана окружность.

Ответы на задачи:

1. Угол между диагоналями прямоугольника: 68°.
2. Угол ORQ в ромбе: 106°.
3. Площадь трапеции AECB: 28.
4. Периметр параллелограмма: 32.

Подготовка к ОГЭ

Геометрия 9 класс

Верные утверждения

1. Против большей стороны треугольника лежит меньший угол.
2. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Верные утверждения

1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
3. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.

Верные утверждения

1. Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают.
2. Существует параллелограмм, который не является прямоугольником.
3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

Верные утверждения

1. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Сумма смежных углов равна 180°.
3. Любая медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 60, тангенс угла BAC равен 4:3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=19.

Верные утверждения

1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
3. Площадь треугольника не превышает произведения двух его сторон.

Верные утверждения

1. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
2. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
3. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Верные утверждения

1. Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
2. Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Верные утверждения

1. Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3. Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

Верные утверждения:

• 2. Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис.
• 1. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины угла, противолежащего основанию, делит этот угол пополам.
• 2. Не существует прямоугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
• 1. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
• 2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
• 2. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
• 2. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• 1. Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.
• 3. Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Ответы:

1. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2. Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

3. Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.

1. Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

3. Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Решение:

1. Длина отрезка HD равна 13.

2. Площадь трапеции ABCD равна 140.

3. Тангенс угла AOB равен 2.

1. Центр вписанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.

2. Ромб не является параллелограммом.

3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

1. Площадь равнобедренного треугольника равна 1420.

2. AH равно 21.

3. Периметр равностороннего треугольника равен 90.

1. Радиус равен (\sqrt{3}).

2. Координаты точки касания: (1, 2).

1. В четвёртом утверждении ошибка – нужно заменить на Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис треугольника.

2. Результат равен 0.5 м.

1. Существует прямоугольник, который не является параллелограммом.

2. Отрезки MA и MB будут равны только при равенстве углов AMV и BMV.

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=21 и CH=8. Найдите высоту ромба. Сторона ромба равна 20, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков? Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2)Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 3)Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой. 2)Диагонали прямоугольника равны. 3)У любой трапеции основания параллельны.

Укажите номера верных утверждений. 1) Существует ромб, который не является квадратом. 2) Если две стороны треугольника равны, то равны и противолежащие им углы. 3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Катеты прямоугольного треугольника равны 4√6 и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна 578√3:3. Один из острых углов равен 30∘. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 20√3, а сторона AB равна 40. Найдите cosB. В треугольнике ABC угол C равен 90∘, sinA=0,75, AC=√7. Найдите AB.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)У равнобедренного треугольника есть ось симметрии. 2)Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат. 3)Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

Укажите номера верных утверждений. 1)Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. 2)Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 3)В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2)В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3)У равностороннего треугольника есть центр симметрии.

Укажите номера верных утверждений. 1)Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию. 2)Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. 3)Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Площадь квадрата равна произведению его диагоналей. 2)Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. 3)Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.

Укажите номера верных утверждений. 1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны. 2) Сумма смежных углов равна 180°. 3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. 2)Диагонали прямоугольника равны. 3)У любой трапеции боковые стороны равны.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны. 2) В любой треугольник можно вписать окружность. 3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Коснитесь карточки, чтобы перевернуть ее 👆

Нет. Они все параллельны между собой.

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

Нет. Эти две прямые – параллельные прямые.

Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка. 2) В любой треугольник можно вписать окружность. 3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Любой параллелограмм можно вписать в окружность. 2)Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. 3)Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая. 2)Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис. 3)Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая. 2)В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3)У равностороннего треугольника три оси симметрии.

Укажите номера верных утверждений. 1)Любой квадрат является ромбом. 2)Против равных сторон треугольника лежат равные углы. 3)Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1)Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2)Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб. 3)Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

Укажите номера верных утверждений. 1)Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. 2)Смежные углы равны. 3)Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является его высотой.