Нахождение длины ванты
На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Y направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось 0X направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке.
В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой y = 0,0043x^2 – 0,74x + 35, где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
Решение
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 112° и 125°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 19. Найдите объём шара.
Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
На рисунке изображён график f(x) производной функции f(x), определённой на интервале (-2; 11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x – 5 или совпадает с ней.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображен график функции f(x) = acos(x) + b. Найдите b.
Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов. а)
- 2πn, n∈Z
- π/6 + 2πn, n∈Z
- π/4 + 2πn, n∈Z
- π/3 + 2πn, n∈Z
- π/2 + 2πn, n∈Z
- 2π/3 + 2πn, n∈Z
- 3π/4 + 2πn, n∈Z
- 5π/6 + 2πn, n∈Z
- π + 2πn, n∈Z
- -π/6 + 2πn, n∈Z
- -π/4 + 2πn, n∈Z
- -π/3 + 2πn, n∈Z
- -π/2 + 2πn, n∈Z
- -2π/3 + 2πn, n∈Z
- -3π/4 + 2πn, n∈Z
- -5π/6 + 2πn, n∈Z
- -7π/2
- -10π/3
- -13π/4
- -19π/6
- -3π
- -17π/6
- -11π/4
- -8π/3
- -5π/2
- -7π/3
- -9π/4
- -13π/6
Площади пирамид и сечений
В правильной треугольной усечённой пирамиде (ABCA_1B_1C_1) площадь нижнего основания (ABC) в девять раз больше площади меньшего основания (A_1B_1C_1). Через ребро (AB) проведена плоскость (alpha), которая пересекает ребро (CC_1) в точке (N) и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Решение:
- Докажем, что точка (N) делит ребро (CC_1) в отношении 5 : 13, считая от точки (C_1).
- Найдем площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью (alpha), если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
б) Решение:
- По условию, площадь нижнего основания в 9 раз больше меньшего: (S(ABC) = 9 \times S(A_1B_1C_1)).
- Пусть высота пирамиды равна 13, ребро меньшего основания равно 3.
- Применим подобие пирамид: (AB / A_1B_1 = 13 / 3).
- Найдем площади оснований по формулам: (S(ABC) = \frac{1}{2} \times AB \times h), (S(A_1B_1C_1) = \frac{1}{2} \times A_1B_1 \times h).
- Решим систему уравнений и найдем нужные площади.
Задача о кредите
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если он был погашен двумя равными платежами?
Решение данной задачи требует вычисления суммы кредита и последующего анализа платежей.
Окружность и параллелограмм
Окружность проходит через вершины (A), (B) и (D) параллелограмма (ABCD), пересекает сторону (BC) в точках (B) и (M), а также пересекает продолжение стороны (CD) за точку (D) в точке (N).
Решение:
- Докажем, что (AM = AN).
- Найдем все значения параметра (a), при которых система уравнений имеет одно решение.
Средний балл и переселение учеников
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся набрал натуральное количество баллов.
Задачи:
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Первоначальный средний балл в школе №2 был 7, уменьшился на 10%. Возможно ли такое?
в) Минимальное значение первоначального среднего балла в школе №2.
Задача ЕГЭ
Задача 28 на профильном уровне сводится к решению неравенства (f \geqslant 160) Гц и поиску максимального значения с.
Ответ: максимальное значение c = 390 м/с.