Принципы решения квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида:
Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант:
Квадратное уравнение имеет 2 корня, если
один корень, если
и не имеет корней, если
Формулы нахождения корней квадратного уравнения
Количество корней | Формула решения |
---|---|
2 корня | ![]() |
1 корень | ![]() |
0 корней | Квадратное уравнение не имеет корней |
Примеры решений квадратных уравнений
Пример 1
Дано уравнение:
Решение:
- Вычисляем дискриминант:
- Подставляем значения в формулу:
Ответ: x₁ = -3, x₂ = 1
Пример 2
Дано уравнение:
Решение:
- Вычисляем дискриминант:
- Подставляем значения в формулу:
Ответ: x = -2
Таким образом, решение квадратных уравнений – интересная и несложная задача, требующая внимательности и умения работать с формулами.
Как решать квадратные уравнения
Квадратное уравнение – это равенство с неизвестным следующего вида:
[ax^2 + bx + c = 0], где (a) – первый член, (b) – второй, а (c) – свободный. Для решения этой задачи необходимо вычислить дискриминант, который обозначается (D).
Вычисление дискриминанта
Дискриминант – это математический знак, который помогает определить количество верных решений квадратного уравнения:
- Если (D < 0), то корней нет
- Если (D = 0), то решение одно
- Если (D > 0), то у уравнения есть два корня
Формула расчета дискриминанта:
[D = b^2 – 4ac]
Нахождение корней
Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула:
[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]
Если дано уравнение с одним корнем, используйте формулу:
[x_{1,2} = \frac{-b}{2a}]
Типы квадратных уравнений
Есть два типа квадратных уравнений:
- Приведенное – когда первый член равен единице
- Неприведенное – во всех остальных случаях
Также уравнения могут быть полными и неполными:
- Полное уравнение имеет стандартный вид
- Неполное уравнение – хотя бы один из членов равен 0
Пример
Давайте рассмотрим пример: (5x^2 + 2x – 7 = 0)
- Находим дискриминант: (D = 4 – 4 \times 5 \times (-7) = 144)
- Уравнение имеет два корня:
- (x_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \times 5} = 1)
- (x_2 = \frac{-2 – \sqrt{144}}{2 \times 5} = -1.4)
Заключение
Решение квадратных уравнений может показаться сложным, но следуя предложенному алгоритму, вы всегда сможете найти верное решение. В случае затруднений, обратитесь за помощью на соответствующие форумы по математике.
Успехов вам!
Галина Семенова, преподаватель математики
Имеются противопоказания. Перед применением проконсультируйтесь со специалистом.
Конспект открытого урока по алгебре в 8 классе по теме Решение квадратных уравнений
Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И., М.И.Шабунин –4-е изд. – М. : Просвещение, 2016. – 336 с.
Цель: закрепить знание формулы корней квадратного уравнения, знание количества корней в зависимости от значения дискриминанта, умение находить корни квадратного уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения
Задачи:
- Предметные:
- закрепить знание формулы корней квадратного уравнения
- знание количества корней в зависимости от значения дискриминанта
- умение находить корни квадратного уравнения по формуле корней
- Личностные:
- выступать перед публикой (классом)
- умение представлять задачу
- коммуникабельность
- умение работать в коллективе
- умение оценивать свою деятельность и деятельность коллектива
- умение правильно вести себя на уроке
- Метапредметные:
- развивать умения самостоятельно определять цели обучения
- оценивать
- Предметные:
Как решаются квадратные уравнения из ЕГЭ?
Квадратные уравнения – это уравнения вида ax2 + bx + c = 0, где:
- a — первый или старший коэффициент, не равный нулю
- b — второй коэффициент
- c — свободный член
Они решаются через нахождение дискриминанта или по теореме Виета.
Нюансы решения квадратных уравнений ЕГЭ профиль теория
Как сделать вывод решения квадратного уравнения? Для этого:
- в квадратном уравнении выделяем полный квадрат
- берем корень от обеих частей
- выражаем неизвестную
Формула, которая может позволить уменьшать расчеты в трех заданиях с квадратными уравнениями в ЕГЭ:
- D1 = k2 – ac, где k = b/2 (используется только для четного коэффициента b)
Решение квадратных уравнений – это не магия
Ребята, слабые в математике, часто жалуются на то, что для них математика – это магия, и в школах просто забивают головы алгоритмами решения без пояснений. Это не способствует изучению предмета и нельзя быстро получить полноценное представление о математике.
Соответственно, стоит вникать в каждый момент изучения математики и иметь представление о каждой формуле и методе решения, включая теорему Виета.
Теорема Виета для решения квадратных уравнений в ЕГЭ
Теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения равна отношению коэффициента при (x^{n-1}) и коэффициента при (x^{n-2}), где n – степень уравнения.
Разбор теоремы о разложении квадратного многочлена на множители
Теперь рассмотрим теорему о том, что квадратный многочлен, имеющий 2 решения в нуле, разбивается на множители: a (x – x1) * (x – x2). Но для начала стоит напомнить и показать справедливость теоремы Виета.
Теорема Виета
Допустим, у нас есть квадратное уравнение с одним из корней x = 3. Тогда, подставив x = 3, мы получим ноль. А в каком еще случае мы будем получать ноль в любом уравнении при подстановке x = 3? Мы тоже будем получать ноль, если у нас в уравнении есть множитель x–3. Тогда при x = 3 всё уравнение станет равно нулю.
А не значит ли это, что квадратное уравнение, которое при x = 3 обращается в ноль, можно преобразовать, выделив из него множитель x – 3? Если это предположение верно, оно должно работать для обоих корней, то есть тогда можно выделить множители x – x1 и x – x2. Если мы просто перемножим их, то получим x2, а не ax2, как в квадратном уравнении общего вида. Поэтому давайте попробуем, перемножив их, умножить еще на a: a(x – x1)(x – x2) — и это должно быть равно ax2 + bx + c. Раскрываем скобки, делим все на a – и вуаля – знакомая нам теорема Виета.
Примеры квадратных уравнений в ЕГЭ
Решите уравнение: (2x + 7)2 = (2x – 5)2
Найдите корень уравнения: x2 + 12x + 35 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
Решите уравнение: x2 + 1 = (x + 1)2.
Подготовьтесь к ЕГЭ или ОГЭ за 4 месяца
Интенсивный онлайн курс в Годографе с экспертами МЦКО