Квадратные уравнения егэ по математике 2024

Принципы решения квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

equation

Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант:

discriminant

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если

two_roots

один корень, если

one_root

и не имеет корней, если

no_roots

Формулы нахождения корней квадратного уравнения

Количество корнейФормула решения
2 корняtwo_roots_formula
1 кореньone_root_formula
0 корнейКвадратное уравнение не имеет корней

Примеры решений квадратных уравнений

Пример 1

Дано уравнение:

example_1

Решение:

  1. Вычисляем дискриминант:

example_1_discriminant

  1. Подставляем значения в формулу:

example_1_roots

Ответ: x₁ = -3, x₂ = 1

Пример 2

Дано уравнение:

example_2

Решение:

  1. Вычисляем дискриминант:

example_2_discriminant

  1. Подставляем значения в формулу:

example_2_roots

Ответ: x = -2

Таким образом, решение квадратных уравнений – интересная и несложная задача, требующая внимательности и умения работать с формулами.

Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение – это равенство с неизвестным следующего вида:
[ax^2 + bx + c = 0], где (a) – первый член, (b) – второй, а (c) – свободный. Для решения этой задачи необходимо вычислить дискриминант, который обозначается (D).

Вычисление дискриминанта

Дискриминант – это математический знак, который помогает определить количество верных решений квадратного уравнения:

  • Если (D < 0), то корней нет
  • Если (D = 0), то решение одно
  • Если (D > 0), то у уравнения есть два корня

Формула расчета дискриминанта:
[D = b^2 – 4ac]

Нахождение корней

Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула:
[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]

Если дано уравнение с одним корнем, используйте формулу:
[x_{1,2} = \frac{-b}{2a}]

Типы квадратных уравнений

Есть два типа квадратных уравнений:

  1. Приведенное – когда первый член равен единице
  2. Неприведенное – во всех остальных случаях

Также уравнения могут быть полными и неполными:

  • Полное уравнение имеет стандартный вид
  • Неполное уравнение – хотя бы один из членов равен 0

Пример

Давайте рассмотрим пример: (5x^2 + 2x – 7 = 0)

  1. Находим дискриминант: (D = 4 – 4 \times 5 \times (-7) = 144)
  2. Уравнение имеет два корня:
    • (x_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \times 5} = 1)
    • (x_2 = \frac{-2 – \sqrt{144}}{2 \times 5} = -1.4)

Заключение

Решение квадратных уравнений может показаться сложным, но следуя предложенному алгоритму, вы всегда сможете найти верное решение. В случае затруднений, обратитесь за помощью на соответствующие форумы по математике.
Успехов вам!

Галина Семенова, преподаватель математики


Имеются противопоказания. Перед применением проконсультируйтесь со специалистом.

Конспект открытого урока по алгебре в 8 классе по теме Решение квадратных уравнений

  • Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И., М.И.Шабунин –4-е изд. – М. : Просвещение, 2016. – 336 с.

  • Цель: закрепить знание формулы корней квадратного уравнения, знание количества корней в зависимости от значения дискриминанта, умение находить корни квадратного уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения

  • Задачи:

    1. Предметные:
      • закрепить знание формулы корней квадратного уравнения
      • знание количества корней в зависимости от значения дискриминанта
      • умение находить корни квадратного уравнения по формуле корней
    2. Личностные:
      • выступать перед публикой (классом)
      • умение представлять задачу
      • коммуникабельность
      • умение работать в коллективе
      • умение оценивать свою деятельность и деятельность коллектива
      • умение правильно вести себя на уроке
    3. Метапредметные:
      • развивать умения самостоятельно определять цели обучения
      • оценивать

Как решаются квадратные уравнения из ЕГЭ?

Квадратные уравнения – это уравнения вида ax2 + bx + c = 0, где:

  • a — первый или старший коэффициент, не равный нулю
  • b — второй коэффициент
  • c — свободный член

Они решаются через нахождение дискриминанта или по теореме Виета.

Нюансы решения квадратных уравнений ЕГЭ профиль теория

Как сделать вывод решения квадратного уравнения? Для этого:

  • в квадратном уравнении выделяем полный квадрат
  • берем корень от обеих частей
  • выражаем неизвестную

Формула, которая может позволить уменьшать расчеты в трех заданиях с квадратными уравнениями в ЕГЭ:

  • D1 = k2 – ac, где k = b/2 (используется только для четного коэффициента b)

Решение квадратных уравнений – это не магия

Ребята, слабые в математике, часто жалуются на то, что для них математика – это магия, и в школах просто забивают головы алгоритмами решения без пояснений. Это не способствует изучению предмета и нельзя быстро получить полноценное представление о математике.

Соответственно, стоит вникать в каждый момент изучения математики и иметь представление о каждой формуле и методе решения, включая теорему Виета.

Теорема Виета для решения квадратных уравнений в ЕГЭ

Теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения равна отношению коэффициента при (x^{n-1}) и коэффициента при (x^{n-2}), где n – степень уравнения.

Разбор теоремы о разложении квадратного многочлена на множители

Теперь рассмотрим теорему о том, что квадратный многочлен, имеющий 2 решения в нуле, разбивается на множители: a (x – x1) * (x – x2). Но для начала стоит напомнить и показать справедливость теоремы Виета.

Теорема Виета

Допустим, у нас есть квадратное уравнение с одним из корней x = 3. Тогда, подставив x = 3, мы получим ноль. А в каком еще случае мы будем получать ноль в любом уравнении при подстановке x = 3? Мы тоже будем получать ноль, если у нас в уравнении есть множитель x–3. Тогда при x = 3 всё уравнение станет равно нулю.

А не значит ли это, что квадратное уравнение, которое при x = 3 обращается в ноль, можно преобразовать, выделив из него множитель x – 3? Если это предположение верно, оно должно работать для обоих корней, то есть тогда можно выделить множители x – x1 и x – x2. Если мы просто перемножим их, то получим x2, а не ax2, как в квадратном уравнении общего вида. Поэтому давайте попробуем, перемножив их, умножить еще на a: a(x – x1)(x – x2) — и это должно быть равно ax2 + bx + c. Раскрываем скобки, делим все на a – и вуаля – знакомая нам теорема Виета.

Примеры квадратных уравнений в ЕГЭ

  1. Решите уравнение: (2x + 7)2 = (2x – 5)2

  2. Найдите корень уравнения: x2 + 12x + 35 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

  3. Решите уравнение: x2 + 1 = (x + 1)2.

Картинка сверху

Картинка собаки

Подготовьтесь к ЕГЭ или ОГЭ за 4 месяца

Интенсивный онлайн курс в Годографе с экспертами МЦКО

Картинка снизу

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *