Призмы
Если мы не можем покрутить в руках треугольник (мы можем только из
Площадь боковой, полной поверхности, объем прямоугольного параллелепипеда и куба
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 июня 2023 года; проверки требует 1 правка.
Призма
У этого термина существуют и другие значения, см. Призма.
При́зма (-угольная) (лат. от др.-греч. нечто отпиленное) — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками (-угольниками), лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
Множество однородных призм
Свойства:
- вершинно транзитивный
- выпуклый многогранник
Медиафайлы на Викискладе
Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Терминология
| Название | Определение | Обозначения на чертеже | Чертеж |
|---|---|---|---|
| Основания | Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. | Призма | |
| Боковые грани | Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. | ||
| Боковая поверхность | Объединение боковых граней. | ||
| Полная поверхность | Объединение оснований и боковой поверхности. | ||
| Боковые рёбра | Общие стороны боковых граней. | ||
| Высота | Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. | ||
| Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. | ||
| Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. | ||
| Диагональное сечение | Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм. | ||
| Перпендикулярное сечение | Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру. |
(здесь s — длина стороны многоугольника).
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
Усечённая треугольная призма
Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).
Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Призматические многогранники и связанные многогранники
Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n-1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n-1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Однородные призматические многогранники
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Многогранник Шёнхардта
- Скрученная квадратная антипризма
- Квадратная антипризма
- Скрученная двенадцатиугольная антипризма
Связанные многогранники и мозаики
- Купол
- Диагональный купол
- Трёхскатный купол
- Четырёхскатный купол
- Пятискатный купол
- Шестискатный купол (плоский)
Связанные однородные многогранники
- Треугольная призма
- Кубооктаэдр
- Ромбокубо-октаэдр
- Ромбоикосо-додекаэдр
Варианты симметрии *n32 усечённых мозаик: 3.2n.2n
Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: 3.4.n.4
Существует 4 однородных соединения треугольных призм: соединение четырёх треугольных призм, соединение восьми треугольных призм, соединение десяти треугольных призм, соединение двенадцати треугольных призм.
Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм в пространстве размерности n.
Группа Коксетера
- E₃=A₂A₁
- E₄=A₄
- E₅=D₅
- E₆
- E₈
- E₉ = Ẽ₈ = E₈+
- E₁₀ = ₈ = E₈++
Усечённая додекаэдральная призма, усечённая кубическая призма, плосконосая додекаэдральная призма, n-угольная антипризматическая призма.
Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n-го количества параллелограммов.
Многоугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ – называются основаниями призмы.
Параллелограммы АА₁В₁В, ВВ₁С₁С и т.д.- боковыми гранями.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. C₁Н – высота.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
h – высота призмы.
В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
S=a·b, где а и b – смежные стороны.
Ромб
S=a²·sinα, где а – длина стороны ромба, а α – угол между соседними сторонами.
Трапеция
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.
Рассмотрим площади правильных многоугольников
- Квадрат: S=a², где а – сторона квадрата.
- Правильный треугольник
- Прямоугольник
Пример: Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 10 и 24, а её боковое ребро равно 20.
Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.
Формула площади полной поверхности прямой призмы
В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$.
Нахождение периметра основания
Чтобы найти периметр основания, необходимо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся при пересечении диагоналей, и воспользуемся теоремой Пифагора.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.
Нахождение площади основания
Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.