Задачи ЕГЭ по стереометрии многообразны. В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номерами 5 и 13 для профильного уровня. На этом сайте они расположены на нескольких страницах и упорядочены по геометрическим телам. Соответствующие ссылки расположены справа и в конце статьи. Непосредственно на этой странице рассмотрены темы – конус, цилиндр и прямоугольный параллелепипед.
Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с нахождением характеристик геометрических тел.
В ЕГЭ 2022 профильного уровня геометрическим телам и объектам в пространстве (линиям, плоскостям, двугранным углам и пр.) посвящены два задания – 5 (с кратким ответом) и 13 (с развёрнутым решением). Они могут различаться по трудности, но по набору рассматриваемых объектов практически неотличимы. В обоих есть тела вращения и многогранники, сечения и проекции, требования определить размеры отдельных элементов – ребер, углов, радиусов оснований и т.д. – и общие характеристики тел, такие как объём, площадь всей или боковой поверхности и пр. Только задание 13 чуть комплекснее, т.е. содержит больше задач на сочетание различных тел, чем предыдущее по номеру.
В ЕГЭ 2022 базового уровня задачи на шар и сферу могут встретиться под номерами 13 или 16.
Если Вы еще не занимались заданиями по стереометрии, то настоятельно рекомендую начать со следующих разделов этого сайта.
Там более подробно представлены формулы и описаны свойства названных фигур. А здесь начнем с задач, содержащих сферу и шар.
Площадь поверхности цилиндра. В этой статье мы рассмотрим задания связанные с площадью поверхности . На блоге уже рассмотрены задания с таким телом вращения как конус. Цилиндр тоже относится к телам вращения. Что требуется и нужно знать о площади поверхности цилиндра? Давайте посмотрим на развёртку цилиндра:
Верхнее и нижнее основание это два равных круга:
Боковая поверхность это прямоугольник. При чём одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра, а другая длине окружности основания. Напомню, что длина окружности равна:
Итак, формула поверхности цилиндра:
*Учить эту формулу не нужно! Достаточно знать формулы площади круга и длины его окружности, тогда вы всегда сможете записать указанную формулу. Важно её понимание! Рассмотрим задачи:
Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту и площадь поверхности цилиндра (считайте, что число Пи равно 3,14 и результат округлите до десятых).
Площадь полной поверхности цилиндра:
Даны длина окружности основания и площадь боковой поверхности цилиндра. То есть, нам дана площадь прямоугольника и одна его сторона, требуется найти другую сторону (это есть высота цилиндра):
Требуется радиус и тогда мы сможем найти указанную площадь.
Длина окружности основания равна трём, тогда запишем:
Округляем до десятых, получаем 7,4.
Ответ: h = 2; S = 7,4
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72Пи, а диаметр основания — 9. Найдите высоту цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 64Пи, а высота — 8 . Найдите диаметр основания.
Найдём радиус основания и далее определим диаметр:
Диаметр равен двум радиусам, значит:
27058. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на Пи.
27133. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
27173. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на Пи.
284361. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2Пи, а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.
284362. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2Пи, а высота — 1. Найдите диаметр основания.
Будет ещё пару статей с цилиндрами, не пропустите!
На этом всё. Успеха Вам!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Конус
В школе рассматривают не конус вообще, а только прямой круговой конус, называя его просто конусом. Поэтому вместо общего определения используем следующий факт:
Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Катет, который служит осью вращения, – высота конуса. Боковая поверхность конуса создается “следом” гипотенузы треугольника, основание – “следом” второго катета.
Ниже вы видите чертежи на плоскости вместе с формулами, которыми можно пользоваться в этом разделе. На синем рисунке представлены развёртка боковой поверхности конуса и его основание.
На красном рисунке – осевое сечение конуса со всеми обозначениями, которые могут понадобиться при решении следующих трёх задач.
1) В решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки.
2) Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)
Высота конуса равна 4, а диаметр основания – 6. Найдите образующую конуса.
1) Чертим треугольник SAO (выше есть готовый чертеж). 2) Делаем краткую запись задачи, соотнося всё с чертежом.
Дано: SO = h = 4, AC = 2r = 6. Найти: SA = l = ?
3) Подставляем значения с чертежа в известные формулы:
l 2 = r 2 + h 2; r = 6/2 = 3; l 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25; l 2 = 25; l = 5.
Высота конуса равна 4, а длина образующей – 5. Найдите диаметр основания конуса.
Порядок наших действий такой же, как в предыдущей задаче: чертеж, краткая запись, формулы. Только в конце неизвестная величина оказывается в правой части равенства, что несколько удлиняет вычисления. SO = h = 4, SA = l = 5, AC = 2r = ? l 2 = r 2 + h 2; 52 = r 2 + 42; 52 − 42 = r 2 или r 2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9; r 2 = 9; r = 3; AC = 2r = 2×3 = 6.
Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей – 5. Найдите высоту конуса.
См. пояснения к предыдущим задачам. AC = 2r = 6, SA = l = 5, SO = h = ? l 2 = r 2 + h 2; r = 6/2 = 3; 52 = 32 + h 2; 52 − 32 = h 2 или h 2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16; h 2 = 16; h = 4.
Ответы
В учебниках и справочниках по математике мы можем встретить определение:
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник.
При этом нужно знать (вспомнить, повторить, полистать справочник назад), что называется прямым параллелепипедом и параллелепипедом вообще. Тогда будет полное и верное представление о изучаемом объекте. Однако, для того, чтобы было легче запомнить, мы всё же двинемся вперед и прочитаем следующее определение:
Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется кубом.
Важно: У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники. Все двугранные углы прямые. Параллельные ребра равны. Длины непараллельных ребер называют его линейными размерами. Например, говорят, прямоугольный параллелепипед размером 2×5×8 или a×b×с, как на рисунке. Квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его линейных размеров
d 2 = a 2 + b 2 + c 2.
Давайте для краткости назовем эту формулу “трёхмерной теоремой Пифагора”.
Алгоритм решения задач:
1. Чертим прямоугольный параллелепипед. Не обязательно в масштабе, можно от руки. 2. Подписываем вершины. Отмечаем на чертеже упомянутые в условии точки. Соединяем линиями, где это необходимо. 3. Ставим известные (заданные) значения прямо на чертеже. 4. Если получился треугольник внутри тела, то выясняем есть ли в нем прямой угол и какой именно. Для этого пользуемся теоремами о перпендикуляре к плоскости или о трех перпендикулярах.5. Чертим этот треугольник на плоскости. На нем также отмечаем заданные и искомые величины, если нужно, перенося числа с параллельных ребер.6. Проводим необходимые вычисления по известным формулам. Как правило, это будут теорема Пифагора и определения синуса и косинуса острых углов прямоугольного треугольника.
В решениях задач, которые даны ниже, рисунки цветные. Строго говоря, это не чертеж, а картинка, раскрашенная для лучшего восприятия. Если занимаетесь серьезно, то повторите их для себя в черно-белом варианте. При необходимости, пользуйтесь штриховкой.
Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.
Отмечаем на чертеже вершины A и D1, соединяем их прямой линией. Длина отрезка AD1 и есть искомое расстояние. Из чертежа видно, что нужный отрезок является диагональю передней грани, т.е. прямоугольника AA1D1D со сторонами 3 и 4. Находим квадрат диагонали (по обычной теореме Пифагора) AD12 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Следовательно, AD1 = 5.
Замечание: Получается так, что AB = 5 дано, но не нужно для этой задачи. Пусть вас это не смущает. Просто параллелепипед задан полностью, а задача касается только одной грани.
Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.
Отмечаем на чертеже вершины C и A1, соединяем их прямой линией. Видим, что отрезок A1С находится внутри тела, соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани, т.е. является диагональю параллелепипеда размером 5×4×3. Квадрат диагонали находим по “трёхмерной теореме Пифагора”:
d 2 = 52 + 42 + 32 = 25 + 16 + 9 = 50.
Это и есть ответ.
Начинаем также, как в первом способе. Нужно вычислить квадрат отрезка A1С. Соединяем точки С и A, чтобы получить прямоугольный треугольник, в котором A1С – гипотенуза. Убеждаемся, что это так рассуждением: так как ребро AA1 перпендикулярно плоскости грани ABCD, значит оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и АС (теорема о перпендикуляре к плоскости). Таким образом, угол A1AC прямой. Чертим этот треугольник на плоскости, отмечаем на нем известные и искомые величины. Чтобы найти квадрат гипотенузы нужно знать два катета, а у нас на плоском чертеже подписан один. AC неизвестен, но из объемного чертежа видно, что он является диагональю нижней грани, т.е. прямоугольника со сторонами 5 и 4. Вычисляем, дважды применяя обычную теорему Пифагора:AС 2 = 52 + 42 = 25 + 16 = 41.A1С 2 = AС 2 + AA1 2 = 41 + 32 = 41 + 9 = 50.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1 = 1, CD = 2, AD = 2. Найдите длину диагонали CA1.
Задача, по-существу, такая же, как предыдущая. Ведь в формуле
d – любая диагональ прямоугольного параллелепипеда, a,b,c – три его характерных размера, каким бы образом их не задали. Поэтому
d 2 = 12 + 22 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9. d = 3.
Следовательно, диагональ CA1 = 3.
Найдите угол ABD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3. Ответ дайте в градусах.
Отмечаем на чертеже вершины A, B, D1, соединяем их прямыми линиями. Закрашиваем треугольник, который содержит искомый угол. Этот треугольник прямоугольный, так как ребро AB перпендикулярно плоскости грани AA1D1D, значит оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и АD1, т.е. угол BAD1 прямой. Рисуем прямоугольный треугольник на плоскости, отмечаем известные и искомые величины. Чтобы найти острый угол прямоугольного треугольника, нужно знать его синус или косинус, т.е. отношение одного из катетов к гипотенузе. Длина гипотенузы BD1 неизвестна, но из объемного чертежа видно, что эта линия соединяет вершины, не принадлежащие одной грани, т.е. является диагональю параллелепипеда размером 5×4×3. Находим квадрат диагонали
Следовательно, BD1 = d = = 5. К искомому углу прилежит известный катет AB. Отношение прилежащего катета к гипотенузе – косинус: cos ABD1 = AB/BD1 = 5/(5) = 1/() = /2. Это табличное значение косинуса, которое так часто встречалось на уроках, что вы должны были уже запомнить его наизусть: cos45° = /2. Значит угол ABD1 = 45°
Найдите угол C1BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 4. Ответ дайте в градусах.
Все 3 точки искомого угла принадлежат одной грани BB1C1C. Таким образом, сразу видно, что угол C1BC находится в прямоугольном треугольнике с катетами ВС = AD = 4 и CС1 = AA1 = 4. Получилось, что катеты BC и CС1 равны (оба по 4). Пользуясь этим, делаем вывод, что этот треугольник равнобедренный, значит его острые углы по 45° 180 − 90 = 90; 90/2 = 45.
Замечание: Вместо равенства катетов, можно воспользоваться значением тангенса или синуса искомого угла, предварительно вычислив их, как это сделано в следующей задаче. А если катеты не равны, то нужно вычислять
синус, или косинус, или тангенс, смотря, какие стороны вам известны.
Найдите угол DBD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 5. Ответ дайте в градусах.
Строим треугольник с вершинами в точках D, B, D1. Отрезок D1D перпендикулярен BD, потому что перпендикулярен всей плоскости ABCD. Катет, противолежащий искомому углу известен. Если мы найдем второй катет, то сможем определить тангенс угла, а если найдем гипотенузу, то – синус. Обычно, я предпочитаю второй вариант, но он не всегда лучший. Давайте, сделаем обоими способами:
a) найдём BD как диагональ прямоугольника ABCD. BD 2 = 42 + 32 = 25; BD = 5. tgD1BD = D1D/BD = 5/5 = 1. Это табличное значение тангенса. Угол равен 45°. b) найдём BD1 как диагональ всего параллелепипеда. BD12 = 42 + 32 + 52 = 50; BD1 = 5. sinD1BD = D1D/BD1 = 5/(5) = 1/() = /2. Это табличное значение синуса. Угол равен 45°.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 3, CD = 2, AD = 2. Найдите длину ребра AA1.
Все параллельные ребра равны, т.е. AA1 = BB1 = CC1 = DD1, и вместо AA1 можно находить любое из трех последних. Строим прямоугольный треугольник, который включает данный отрезок BD1. Одной из его сторон является D1D, её длину и будем находить.D1D перпендикулярно BD, потому что перпендикулярно всей плоскости ABCD, значит BD1 – гипотенуза, DD1 – катет. Найдём BD2 как квадрат диагонали прямоугольника ABCD: BD2 = 22 + 22 = 8. По теореме Пифагора для треугольника BDD1 находим: DD12 = BD12 − BD2 = 32 − 8 = 9 − 8 = 1; D1D2 = 1, значит D1D = 1.
Упомянутая литература:
1. Гусев В.А., Мордкович А.Г. “Математика: Справочные материалы”
Очевидно, что этими темами варианты задания не ограничиваются. Чтобы продолжить подготовку к заданию по стереометрии, перейдите по ссылкам на другие станицы сайта.
Вернуться к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математике.
Цилиндр
Так же, как и в случае с конусом, нам не потребуется общее определение цилиндра. В школьном курсе изучают прямой круговой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.
Прямой круговой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.
На рисунках изображен цилиндр, полученный вращением закрашенного прямоугольника. Сторона, которая служит осью вращения, – высота цилиндра. Боковая поверхность цилиндра создается “следом” противолежащей стороны, а основания – “следами” двух оставшихся сторон.
Такой цилиндр очень простое тело. Все его сечения плоскостями, параллельными оси, прямоугольники, а сечения плоскостями, перпендикулярными оси, равные круги. Длина образующей равна длине высоты. Развертка боковой поверхности тоже является прямоугольником. Можно свернуть стандартный лист “в трубочку” или оторвать и развернуть этикетку от консервной банки, например, из-под сгущенки, чтобы убедиться, что одна сторона этого прямоугольника (развертки) равна высоте цилиндра, а другая – длине окружности основания. А если вы это сделаете буквально, то ассоциативная память поможет легче и надежнее запомнить все нужные формулы.
Объем цилиндра V = πr 2h; площадь боковой поверхности цилиндра Sб = 2πrh; площадь полной поверхности цилиндра Sп = 2πrh + 2πr2, где r – радиус основания цилиндра, h – его высота (см. рисунок).
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания – 1. Найдите высоту цилиндра.
Диаметр и радиус связаны соотношением d = 2r. Подставим d вместо 2r в формулу площади боковой поверхности Sб = 2πrh = πdh. Тогда h = Sб/(πd). Подставляя известные величины, получаем h = 2π/(π·1) = 2π/π = 2.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а высота – 1. Найдите диаметр основания.
d = 2r, Sб = 2πrh = πdh. Тогда d = Sб/(πh). Подставляем известные величины: d = 2π/(π·1) = 2π/π = 2.
Задачи, содержащие сферу и шар.
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии,
не большем заданного,
от данной точки. Эта точка называется центром шара, а заданное расстояние – его радиусом.
Вспомним еще одно очень похожее определение:
Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой находятся
расстоянии от данной точки, называемой её центром. Заданное расстояние называется её радиусом
Таким образом, чтобы не смущал вопрос “Чем сфера отличается от шара?”, зрительно представьте себе, что сфера это “полый шар” или шар это “заполненная сфера”. Более строго математическим языком можно сказать так:
“Часть пространства, ограниченная сферой и содержащая её центр, называется шаром.” Или так: “Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.”
Теперь, когда мы разобрались с шаром и сферой, мы понимаем, что понятия объём, сегмент, сектор, слой относятся к шару. (Шаровой сегмент, шаровой сектор, шаровой слой.) Понятия площадь, криволинейные треугольники, координаты и т.п. относятся к сфере. (Существует целая сферическая геометрия, которая изучает геометрические образы находящиеся на сфере так же, как планиметрия – на плоскости. В частности, с понятием сферических координат вы впервые познакомились на географии: широта и долгота. Координатная сетка состоит из меридианов и параллелей.) Центр, радиус, диаметр (отрезок, соединяющий две точки сферы, и проходящий через центр), сечения есть и у шара, и у сферы.
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Сравните “Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.”
Большим кругом (или большой окружностью) называется сечение плоскостью, проходящей через центр.
Плоскость, проходящая через некоторую точку шаровой поверхности (сферы) перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку называется касательной плоскостью. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания. Прямая, проходящая через точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. Таких прямых через одну точку можно провести бесконечное множество, но все они будут лежать в одной плоскости – в касательной плоскости шара.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Поскольку одна плоскость рассекает шар на две части, то на рисунке фактически присутствуют два сегмента, хотя указатель ориентирован на меньший.Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса и получается таким образом: если шаровой сегмент меньше полушария, то к нему добавляется конус с вершиной в центре шара и основанием равным основанию сегмента; если же сегмент больше полушария, то такой конус из него вырезается. На рисунке представлены два сектора. Задачи чаще решают с тем, к которому отнесен указатель. Параметры второго всегда можно определить вычитанием.
Шаровой слой – это часть шара, “вырезанная” двумя параллельными плоскостями.
Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра, как оси.
Пусть символом R обозначен радиус шара (сферы), а в точке О находится её центр.
Верны следующие формулы.
D = 2·R.
Радиус сечения шара плоскостью
r = √R2 − OA2,
где точка А – центр круга в плоскости сечения.
S = 4πR2.
Объём шарового сегмента высотой Н
V = πH2(R − H).
Объём шарового сектора
где Н – высота соответствующего шарового сегмента.
Обратите внимание: Шар – предельно симметричное тело. Любой диаметр – ось симметрии. Любой большой круг – плоскость симметрии. Таким образом, шар имеет бесконечное число осей симметрии и бесконечное число плоскостей симметрии. Поэтому задачи с ним очень легко решать с помощью построения плоских сечений. Выбирай любое удобное и переходи к планиметрической задаче.
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите площадь его поверхности.
Многогранник описан около сферы, следовательно, многогранник снаружи, сфера внутри, и все грани многогранника являются сферы.
Прямоугольный параллелепипед является 6-тигранником, имеет 3 пары параллельных граней и прямые двугранные углы. У прямоугольного параллелепипела есть центр – точка пересечения диагоналей – и, как минимум, три плоскости симметрии, проходящие через его центр параллельно граням.
Совместим центр шара и центр параллелепипеда и построим сечения упомянутыми плоскостями симметрии параллелепипеда. Они же будут и плоскостями симметрии сферы.
Одна из этих плоскостей, параллельна основаниям. Вторая представлена на моём рисунке ниже. О третьей подумайте самостоятельно.
В каждой их этих плоскостей сечением сферы будет большая окружность, а сечением параллелепипеда – прямоугольник. При построении этого прямоугольника убеждаемся, что касаться окружности его стороны будут тогда и только тогда, когда они равны между собой и равны диаметру окружности, т.е. в сечении получится квадрат со стороной 2R, где R – радиус сферы. Иначе не будут соблюдены определения плоскостей и прямых касательных к сфере и к окружности.
Таким образом, делаем вывод, что из всех прямоугольных параллелепипедов описать вокруг сферы можно только куб. Из рисунка получаем, что ребро куба равно диаметру сферы.
Проводим вычисления:Радиус сферы R = 1. Значит сторона квадрата равна 2. Площадь одной из граней, площадь квадрата, равна 4. А площадь поверхности всего куба – это суммарная площадь всех шести граней, т.е. 6×4 = 24.
Замечания
1) В тексте задания (особенно для базового уровня) часто присутствует рисунок. Иногда составители его туда помещают формально, иногда – в качестве подсказки или намёка к решению. Иногда чертёж при решении задачи действительно необходим, иногда достаточно вспомнить готовую формулу и можно ничего не рисовать. В любом случае на этапе подготовки к экзамену чертёж нужно делать всегда и самостоятельно, чтобы набить руку. Поэтому далее все условия задач без чертежа. 2) В задачах по стереометрии особое значение имеет доказательство каждого утверждения. В заданиях этой группы (задания с коротким ответом) ваших доказательств проверять никто не будет, кроме вас самих! Но они нужны. Ведь без ответа на вопрос “Почему так?” не может быть уверенности, что задача решена верно. В этой задаче ответы на все “почему” сводятся к “по построению”, “из соображений симметрии”, “потому, что в точках касания радиус перпендикулярен касательной прямой”.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 28. Найдите объём конуса.
Конус вписан в шар – конус внутри, сфера снаружи. Вершина конуса находится на сфере, и граница основания конуса (окружность) проходит по сфере. Таким, образом с поверхностью шара конус имеет общую точку и общую линию. На объёмном рисунке они изображены синим цветом.
По условию задачи радиус основания конуса равен радиусу шара, значит в нашей задаче основание конуса совпадает с большим кругом шара, а рассматриваемому осевому сечению соответствует положение треугольника ABC на нижнем рисунке.
Объём конуса находится по формуле
Vкон. = .
Здесь r – радиус основания конуса, на нашем рисунке он совпадает с OC и, следовательно, с радиусом шара R, h – высота конуса, на чертеже она совпадает с отрезком OB, который также является радиусом шара R.
Подставим R вместо r и h в формулу для объёма конуса.
Vкон. = = .
Чтобы определить радиус шара, воспользуемся формулой для его объёма. Ведь именно эта величина дана в условии задачи.
Vшара = .
Подставим в эту формулу вместо Vшара число 28 и решим уравнение относительно R3.
28 = ; 28·3 = 4πR3; R3 = =
Подставляем эту величину в полученную выше формулу объёма конуса
Vкон. = = π· = 7.
(Последнюю дробь сократили на 3 и на π.)
Замечания
1) Если забыты формулы для конуса, их можно повторить, перейдя по ссылке. 2) Старайтесь не делать лишних действий при вычислениях, чтобы не было лишних ошибок. Например, здесь в стоящее выше выражение нужно было подставить R3, поэтому совершенно бессмысленно было находить R через кубический корень, а затем снова возводить выражение в 3-ю степень. Что и показано в примере. Но если быть еще внимательнее, то сравнивая преобразованную формулу для Vкон. (вторая строка формул) и следующую за ней формулу для Vшара, можно обнаружить, что эти объёмы отличаются в 4 раза. Тогда вычисления укладываются вообще в одно действие – 28/4 = 7.
Теперь проверьте себя.
Для усиления обучающего эффекта ответы и решения временно скрыты. Они показываются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 6. Найдите объём шара.
Задача обратная к приведенной в Примере 2.Проводим те же рассуждения, строим те же чертежи и используем те же формулы.
r (радиус конуса) = R (радиус шара) по условию задачи. h (высота конуса) = R (радиус шара) из чертежа сечения.
Vкон. = = = .
Сравним полученное выражение с формулой объёма шара
Они отличаются только коэффициентом 4, т.е. объем шара в 4 раза больше объёма конуса. Таким образом,
Vшара = 4·Vкон. = 4·6 = 24.
Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.
Куб вписан в шар – куб внутри, сфера снаружи. Все вершины куба лежат на поверхности шара. Т.е. куб имеет со сферой 8 общих точек. У куба есть центр симметрии – точка пересечения диагоналей. Центр принадлежит 9-ти плоскостям симметрии куба, которые проходят через пары противоположных ребер либо через середины противоположных ребер. Центр шара и центр симметрии вписанного куба совпадают. Поэтому для успешного решения подобных задач нужно просто выбрать одно из сечений плоскостью симметрии куба – то, в котором больше известных величин.
Строим одно из диагональных сечений куба, например, BB1D1D. Оно является плоскостью симметрии куба. Точка O – центр куба и шара – принадлежит этой плоскости. Сечением шара будет его большой круг.
Дальше задача решается, как в планиметрии. На плоском чертеже подписываем известные из условия значения величин и те, которые определили сами. Чтобы найти объём куба, нужно знать длину его ребра. Обозначим её за x. Отрезок B1D1 является диагональю верхней грани куба, т.е. квадрата A1B1C1D1, поэтому его длина ·x. (Это можно помнить как формулу из учебника или определить по теореме Пифагора из треугольника A1B1D1.) Отрезки OB и OD1 являются радиусами большой окружности, поэтому их длины равны по условию задачи. Треугольник BB1D1 – прямоугольный, т.к. является сечением куба плоскостью, перпендикулярной его основанию. Поэтому применим к треугольнику BB1D1 теорему Пифагора. BD12 = BB12 + B1D12 ( + )2 = x2 + (·x)2
Преобразуем уравнение и решаем его относительно x. (2·)2 = x2 + (·x)2; 4·3 = x2 + 2·x2; 12 = 3×2;x2 = 4; x = 2.
Вычисляем объём куба V = x3 = 23 = 8.
Как я уже упоминала, в банке заданий ФИПИ экзаменационные задачи по стереометрии распределены на две части -задания 8 и 14. На мой взгляд, независимо от уровня трудности задачи к стереометрии надо готовиться не по номеру задания, а по типам фигур. Следующие задачи формально относятся к заданию 8. Но поскольку они продолжают тему шара, то помещены в этом разделе сайта.
Если вы попали по ссылке непосредственно в это место страницы, чтобы повторить нужные формулы и понятия для сферы и шара, прокрутите страницу вверх.
Куб описан около сферы радиуса 6,5. Найдите объём куба.
Объём куба V = a3, где a – длина его ребра.
Если Вы внимательно читали решение примера 1, то уже поняли, что ребро куба равно удвоенному радиусу, т.е. диаметру, описанной сферы.
a = 2·R = 2·6,5 = 13; V = 133 = 132·13 = 169·13 = 2197.
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Пусть R – радиус шара. Площадь его поверхности определяется по формуле
Sш = 4πR2.
Большой круг – сечение, которому принадлежит центр шара, поэтому радиус круга равен радиусу шара. Площадь круга определяется по формуле
Sк = πR2.
Сравнивая эти два выражения, видим, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади круга, следовательно
Sш = 4·Sк = 4·3 = 12.
Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Пусть R – радиус второго шара. Площадь его поверхности S2 = 4πR2.
Тогда 2·R – радиус первого шара и S1 = 4π(2·R)2 = 4π·4·R2 – площадь его поверхности.
Чтобы ответить на вопрос задачи, составим отношение площадей
= = 4.
(Дробь сократилась на 4π и на R2.)
Замечания
1) Не торопитесь перемножать числа в дробных выражениях промежуточных вычислений. Может оказаться, что на следующем шаге дробь легче сократить.
2) Вообще говоря, это известный факт, в том числе и для школьной программы, что площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров. Поэтому, если радиусы шаров различаются в 2 раза, то площади поверхностей будут различаться в 22 = 4 раза. Задача решается в одно действие. Разумеется теми учениками, которые хорошо знают тему “Подобие фигур”. Рекомендую повторить и следующую задачу решить этим способом.
Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров, а их объёмы относятся как кубы линейных размеров. Все шары являются подобными фигурами и имеют характерный линейный размер – радиус. Если объем одного шара в 27 раз больше объема второго, то радиус первого шара в 3 раза больше радиуса второго (27 = 33).Тогда площадь поверхности первого шара в 9 раз больше площади поверхности второго (32 = 9).
Замечание: Если вы плохо помните тему “Подобие фигур”, то задачу можно решить с использованием формул для площади поверхности и объёма шара, как это было показано в решении задачи 5.
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Шар вписан в цилиндр, следовательно шар внутри, цилиндр снаружи, центр шара лежит на оси симметрии цилиндра. Поверхность шара имеет с цилиндром 2 общие точки и одну общую окружность – “экватор” шара.
Площадь полной поверхности цилиндра Sцил. = 2πrh + 2πr2, где r – радиус основания цилиндра, h – его высота. Площадь поверхности шара Sшара = 4πR2, где R – радиус шара.
Строим сечение шара плоскостью, проходящей через ось симметрии цилиндра. В сечении получаем прямоугольник и вписанный в него большой круг шара. На плоском чертеже сечения обозначаем R – радиус шара, это например, отрезки OO1, OO2, OE, соединяющие центр шара с общими точками цилиндра и поверхности шара; r – радиус основания цилиндра, например, отрезок O1C; h – высота цилиндра O1O2.
Пользуясь симметрией шара и прямого кругового цилиндра легко доказать, что все упомянутые отрезки – стороны прямоугольников. Поэтому r = R, h = 2R. Подставим эти величины в формулу площади полной поверхности цилиндра и произведем преобразования для упрощения выражения:
Sцил. = 2πrh + 2πr2 = 2πR·(2R) + 2πR2 = 4πR2 + 2πR2 = 6πR2.
Сравниваем с формулой поверхности шара: Sшара : Sцил. = 4πR2 : 6πR2 = 2:3. Таким образом, площадь шара составляет две третьих площади цилиндра: Sшара = 18·2/3 = 12.
Замечание: Если забыты формулы для цилиндра, их можно повторить, перейдя по ссылке.
Вернуться к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математке.